Theoretische Informatik II
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1 Vorlesung Theoretische Informatik II Bernhard Beckert Institut für Informatik Wintersemester 2007/2008 B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/08 1 / 258
2 Dank Diese Vorlesungsmaterialien basieren zum Teil auf den Folien zu den Vorlesungen von Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal) Christoph Kreitz (gehalten an der Universität Potsdam) Ihnen gilt mein herzlicher Dank. Bernhard Beckert, Oktober 2007 B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/08 2 / 258
3 Teil VII Berechenbarkeit 1 Satz von Rice B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 258
4 Teil VII Berechenbarkeit 1 Satz von Rice B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/ / 258
5 Teil VII Berechenbarkeit 1 Satz von Rice B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
6 Unentscheidbare Eigenschaften von Turing-Maschinen und Algorithmen Bekanntlich unentscheidbar (Theoretische Informatik I) Spezielles Halteproblem Halteproblem Äquivalenzproblem B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
7 Unentscheidbare Eigenschaften von Turing-Maschinen und Algorithmen Bekanntlich unentscheidbar (Theoretische Informatik I) Spezielles Halteproblem Halteproblem Äquivalenzproblem B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
8 Unentscheidbare Eigenschaften von Turing-Maschinen und Algorithmen Bekanntlich unentscheidbar (Theoretische Informatik I) Spezielles Halteproblem Halteproblem Äquivalenzproblem B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
9 Informell Für jede nicht-triviale Eigenschaft P (partieller) Funktionen: Es unentscheidbar, ob die von einer Turing-Maschine berechnete Funktion die Eigenschaft P hat. Nicht-triviale Eigenschaft Jede Eigenschaft, die mindestens eine Funktion hat und mindestens eine Funktion nicht hat. Merke P ist Eigenschaft von Funktionen, nicht Turing-Maschinen B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
10 Informell Für jede nicht-triviale Eigenschaft P (partieller) Funktionen: Es unentscheidbar, ob die von einer Turing-Maschine berechnete Funktion die Eigenschaft P hat. Nicht-triviale Eigenschaft Jede Eigenschaft, die mindestens eine Funktion hat und mindestens eine Funktion nicht hat. Merke P ist Eigenschaft von Funktionen, nicht Turing-Maschinen B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
11 Informell Für jede nicht-triviale Eigenschaft P (partieller) Funktionen: Es unentscheidbar, ob die von einer Turing-Maschine berechnete Funktion die Eigenschaft P hat. Nicht-triviale Eigenschaft Jede Eigenschaft, die mindestens eine Funktion hat und mindestens eine Funktion nicht hat. Merke P ist Eigenschaft von Funktionen, nicht Turing-Maschinen B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
12 Verallgemeinerbar Gleiches gilt für andere Berechnungsmodelle: Algorithmen Java-Programme λ-ausdrücke µ-rekursive Funktionen etc. B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
13 Anwendungsbeispiele Einige nicht-triviale Eigenschaften: Monotonie: {f f(i) f(i + 1) für alle i} Äquivalenz: {f f = g} für gegebenes g Bildbereich: {f j range(f)} für gegebenes j Quadratfunktion: {f f(i) = i 2 für alle i} B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
14 Anwendungsbeispiele Einige nicht-triviale Eigenschaften: Monotonie: {f f(i) f(i + 1) für alle i} Äquivalenz: {f f = g} für gegebenes g Bildbereich: {f j range(f)} für gegebenes j Quadratfunktion: {f f(i) = i 2 für alle i} B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
15 Anwendungsbeispiele Einige nicht-triviale Eigenschaften: Monotonie: {f f(i) f(i + 1) für alle i} Äquivalenz: {f f = g} für gegebenes g Bildbereich: {f j range(f)} für gegebenes j Quadratfunktion: {f f(i) = i 2 für alle i} B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
16 Anwendungsbeispiele Einige nicht-triviale Eigenschaften: Monotonie: {f f(i) f(i + 1) für alle i} Äquivalenz: {f f = g} für gegebenes g Bildbereich: {f j range(f)} für gegebenes j Quadratfunktion: {f f(i) = i 2 für alle i} B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
17 Satz von Rice [Henry Gordon Rice, 1953] Sei /0 P {f : N N f Turing-berechenbar} Sei M 1,M 2,M 2,... eine Aufzählung aller Turing-Maschinen. Es ist unentscheidbar, ob für ein i N gilt: die von M i berechnete Funktion ist in P Beweis siehe Tafel B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
18 Satz von Rice [Henry Gordon Rice, 1953] Sei /0 P {f : N N f Turing-berechenbar} Sei M 1,M 2,M 2,... eine Aufzählung aller Turing-Maschinen. Es ist unentscheidbar, ob für ein i N gilt: die von M i berechnete Funktion ist in P Beweis siehe Tafel B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
19 Satz von Rice [Henry Gordon Rice, 1953] Sei /0 P {f : N N f Turing-berechenbar} Sei M 1,M 2,M 2,... eine Aufzählung aller Turing-Maschinen. Es ist unentscheidbar, ob für ein i N gilt: die von M i berechnete Funktion ist in P Beweis siehe Tafel B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
20 Satz von Rice [Henry Gordon Rice, 1953] Sei /0 P {f : N N f Turing-berechenbar} Sei M 1,M 2,M 2,... eine Aufzählung aller Turing-Maschinen. Es ist unentscheidbar, ob für ein i N gilt: die von M i berechnete Funktion ist in P Beweis siehe Tafel B. Beckert Theoretischen Informatik II: Satz von Rice WS 2007/ / 258
Theoretische Informatik II
Vorlesung Theoretische Informatik II Bernhard Beckert Institut für Informatik Wintersemester 2007/2008 B. Beckert Theoretischen Informatik II: WS 2007/08 1 / 175 Dank Diese Vorlesungsmaterialien basieren
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