Lehrstuhl für Fluiddynamik und Strömungstechnik Prof. Dr.-Ing. W. Frank

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1 Lehrstuhl für Fluiddynmik und Strömungstechnik Prof. Dr.-Ing. W. Frnk 3. Hydro- und Aerodynmik 3. Stromfdentheorie Stromfdentheorie = näherungsweise eindimensionle Untersuchung von zwei- oder dreidimensionlen Strömungen Stromfden: Stromlinien bernden die Querschnitte A und A und bilden die sogennnte Stromröhre. Durch den Mntel der Stromröhre erfolgt kein Mssendurchtritt. Wird der Durchmesser der Stromröhre solnge zusmmengezogen, bis die Zustndsgrößen im Querschnitt A oder A durch einen einzigen Wert drstellbr sind (Grenzübergng: A, A 0), spricht mn von einem Stromfden. In einem Stromfden treten in einem Querschnitt (A, A ) jeweils nur ein Wert für p, c, ρ und T unter der Vorussetzung uf, dss die Änderungen dieser Zustndsgrößen in der Querrichtung sehr viel kleiner ls in der Längsrichtung usfllen. Diese Größen hängen dnn nur von der Bogenlänge s und gegebenenflls von der Zeit t b. 3.. Grundgleichungen der Stromfdentheorie. Kontinuitätsgleichung: D die Mntelfläche der Stromröhre us Stromlinien besteht, knn keine Msse durch diese Mntelfläche ustreten. Der Mssenstrom durch die Flächen A und A muss gleich sein. m = ρ c A = ρ c A = konst.

2 . Kräftegleichgewicht in Richtung des Stromfdens: Aus dem Kräftegleichgewicht n einem infinitesimlen Stromfdenelement in Richtung des Stromfdens folgt die Eulersche Gleichung längs des Stromfdens s dc c c p dz = + c = g dt t s ρ s ds wobei gilt: c = c(s, t); p = p(s, t); ρ = ρ(s, t) In der Eulerschen Gleichung wird ein ideles Fluid, d.h. ohne Zähigkeit, betrchtet. Somit ist die Reibungsfreiheit der Strömung vorusgesetzt! Unter der Vorussetzung sttionärer Strömung, d.h. = 0 und somit t sich die Gleichung zu d = s ds vereinfcht dc dp dz c + +g = 0 ds ρ ds ds Integrtion längs des Stromfdens von unter der Vorussetzung inkompressibler Strömung, d.h. ρ = konstnt, ergibt ρ ρ c + p+ρ g z = c + p +ρ g z = konst. s z g

3 Lösungen zu dem Aufgbenbltt A ufgbe Gegeben: h, H, d, g, p, ρ, D Gesucht: ) c, c, p, p, V b ) c, c, c 3, p, p, p 3, V c) Verluf von c und p bzw. c und p durch ds System Begriffe: - großer Behälter, konstnte Spiegelhöhe c freie Oberfläche, konstnter Außendruck p 0 = p - Wsser ρ = konst. - sttionär = 0 t - reibungsfrei Stromfdentheorie nwenden Bernoulli-Gleichung - Freistrhl, d.h. konstnter Druck der Umgebung p wird dem Fluid (hier: Wsser) ufgeprägt p = p bzw. p 3 = p 3

4 reibungsfrei Stromfdentheorie Verwirbelungen, reibungsbehftete Strömung Strömung nicht mehr eindimensionl Stromfdentheorie verliert Gültigkeit p = p 3 = p ) c, c, p, p,v B ernoulli 0 : p p g ρ ρ + ρ H + c = p + c p 0 0 = 0 c = g H ( vergleiche Toricellische Formel) Kontinuitätsgleichung (Mssenerhltung): m = konst. m = m ρ c A = ρ c A; ρ = konst.; A = A c = c = g H V d V = V = V = c A = π g H Bernoulli 0 : ρ p + ρ g H = p+ + ( ) p = p + ρ g h ρ c > 0 c ρ g H h p = p ρ g ( H h) p < p V

5 b) c, c, c 3, p, p, p 3, V B ernoulli 0 3 : ρ p g H p c = g H (Toricelli) + ρ = + c3 3 V D = π g H > V durch Anbringen des Diffusors wird der Volumenstrom erhöht K ontinuitätsgleichung: m = m = m =ρ c A =ρ c A =ρ c A ρ= konst.; A = A A3 D 3 A d c = c = c = g H > c = c B ernoulli 0 : ρ p + ρ g H = p + ρ g ( H h) + c D p = p + ρ g h ρ g H d > H durch Anbringen des Diffusors n gleicher Position höhere Geschwindigkeit p < p ; p < p durch Anbringen des Diffusors n gleicher Position niedrigerer Druck B ernoulli 0 : ρ p + ρ g H = p + c D p = p + ρ g H d < 0 p < p durch Anbringen des Diffusors n gleicher Position niedrigerer Druck 5

6 c) Verluf von c und p bzw. c und p durch ds System Berechnung des sttischen Druckverlufs und der Geschwindigkeit längs einer Stromlinie von 0 mittels Bernoulli- und Konti-Gleichung: p + ρ g H = p z + ρ c z pz = p + ρ g H z = 0( großer Behälter ) + ρ g z Berechnung des sttischen Druckverlufs und der Geschwindigkeit längs einer Stromlinie von mittels Bernoulli- und Konti-Gleichung: ρ ρ p+ ρg H h + c = p z + c z + ρgz ρ gh ρ c = ρgh p ρg H h + ρg H h = p z + ρgz p z = p ρ gz Berechnung des sttischen Druckverlufs und der Geschwindigkeit längs einer Stromlinie von 0 mittels Bernoulli- und Konti-Gleichung: p + ρ g H = p z + ρ c z pz = p + ρ g H z = 0( großer Behälter ) + ρ g z Berechnung des sttischen Druckverlufs und der Geschwindigkeit längs einer Stromlinie von mittels Bernoulli- und Konti-Gleichung: ρ ρ p + g H h + c = p z + c z + ρ gz ρ D p + ρ g h ρ g H D d ρgh ρ D c = ρ gh d d D p + ρgh p = ( z) + ρgz d D p( z) = p + ρgh ρgz d 6

7 Berechnung des sttischen Druckverlufs und der Geschwindigkeit längs einer Stromlinie von 3 :. Bernoulli-Gleichung: ρ ρ p + c = p x + c x D p + ρ g H D d ρ gh d D D ρ p + ρgh + ρgh p x c x = + d d ρ p( x) = p + ρgh c( x). Konti-Gleichung: π D x π d ρ c( x) = ρ c D gh d π D x D π d c( x) = gh d D c( x) = gh D x c(x) in p(x) eingesetzt: D p( x) = p + ρgh D x 7

8 p p + ρgh p0 = p = p = p0 = p 3 p = p + ρ g h H D = + ρ p p gh d ρ c = ρ gh ρ D c = ρgh d D = + ρ ρ p p gh gh d 0 3 s c D = = c c gh d c = c = c3 = gh c = c s 8

9 Aufgbe Gegeben: Meniskendifferenz h = 36 mm Dichte des Wssers ρ HO = 0 3 kg m -3 Rohrdurchmesser D = 00 mm Lufttempertur t = 6 C Umgebungsdruck p = 09 hp Normdichte der Luft ρ N =,93 kg m -3 (bei 0 C und 03 hp) Erdschwere g = 9,807 m s - Gesucht: c und m Vorrussetzungen: - reibungsfreie Strömung (keine Druckverluste) Stromfdentheorie nwenden Bernoulli-Gleichung - sttionäre Strömung = 0 t - Luft drf in der Düse ls inkompressibel betrchtet werden, d.h. ρ 0 = ρ z 9

10 Bernoulli 0 mit c 0 = 0; z 0 = z ; ρ 0 = ρ ; p 0 = p ρ0 p = p+ c (.) Hydrosttik m U-Rohr-Mnometer: p + ρ g h= p (.) H O mit (.) in (.) ρ 0 ρ g h c HO = (.3) idele Gsgleichung: p0 p0 pn p0 ρn TN = T0 ρ0 ρ = = = 0 ρ0 T 0 ρn TN T0 p (.) N mit (.) in (.3) p0 ρn TN ρho g h= c T p c = 0 ρho g h T 0 p N p 0 ρn N T N p 73,5K 0 C c =,6 m s t 03hP (.5). π m= ρ0 c A = ρ0 c D² (.6) mit (.) und (.5) in (.6). m = 0,8 kg s 0