TASCHENBUCH MATHEMATISCHES GRUNDWISSEN

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1 TASCHENBUCH MATHEMATISCHES GRUNDWISSEN BAND 2: Höhere Mathematik VON Dr. ALFRED HILBERT Mit 274 Bildern und 282 vorgerechneten Beispielen VERLAG HARRI DEUTSCH THUN UND FRANKFURT/M.

2 Inhaltsverzeichnis Übersicht über die in den einzelnen Abschnitten eingeführten Zeichen und ihre Bedeutung 6. Reelle Funktionen 6.1. Zum Funktionsbegriff Definition des Begriffs»Funktion« Einteilung der reellen Funktionen Umkehrfunktionen Allgemeine Eigenschaften von reellen Funktionen Beschränkte Funktionen Gerade und ungerade Funktionen (Symmetrieeigenschaften) Monotone Funktionen Periodische Funktionen Nullstellen einer Funktion Verknüpfungen von reellen Funktionen Bildung neuer Funktionen durch rationale Rechenoperationen Verkettung von Funktionen Geometrische Transformationen der Graphen reeller Funktionen Spiegelungen Translationen Streckungen (Dehnungen bzw. Stauchungen) Rationale Funktionen Zum Begriff»Rationale Funktion« Ganzrationale Funktionen in mehreren Variablen Eigenschaften der Potenzfunktion mit natürlichen Exponenten Einige Eigenschaften ganzrationaler Funktionen Hornersches Schema Einige Eigenschaften gebrochenrationaler Funktionen Eigenschaften der Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten Irrationale Funktionen 44

3 8 Inhaltsverzeichnis Zum Begriff»irrationale Funktion« Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Wurzelfunktionen Transzendente Funktionen Zum Begriff»transzendente Funktion« Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Winkelfunktionen Die Arcusfunktionen Zahlenfolgen und Reihen Zum Begriff»Zahlenfolge« Eigenschaften von Zahlenfolgen Verknüpfungen von Zahlenfolgen Partialsummen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Konvergente Zahlenfolgen Divergente Zahlenfolgen Reihen Grenzwerte von Funktionen, stetige Funktionen Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x Grenzwerte einiger nichtrationaler Funktionen Grenzwertsätze für Funktionen Stetige Funktionen Vektorrechnung 7.1. Zum Begriff»Vektor« Beispiele für Vektorräume Vektorräume der geordneten Zahlen-«-tupel Vektorräume der Ortsvektoren Vektorräume der Translationen eines geometrischen Punktraumes Weitere Beispiele für Vektorräume Endlichdimensionale Vektorräume Linearkombinationen von Vektoren Basis und Dimension von Vektorräumen Koordinatensysteme in geometrischen Punkträumen Das Skalarprodukt Der Winkel zwischen zwei Vektoren Definition des Skalarprodukts Geometrische Deutung des Skalarprodukts Eigenschaften des Skalarprodukts Skalarprodukt zweier Ortsvektoren aus V Skalarprodukt zweier Vektoren des Vektorraums der geordneten «-Tupel Das Vektorprodukt 100

4 Inhaltsverzeichnis Definition des Vektorprodukts Geometrische Deutung des Vektorprodukts Eigenschaften des Vektorprodukts Vektorprodukt zweier Vektoren des Vektorraums der geordneten Tripel Matrizenrechnung 8.1. Zum Begriff»Matrix« Die Koeffizientenmatrix Die Inzidenzmatrix Spezielle Formen quadratischer Matrizen Relationen zwischen Matrizen Gleichheit von Matrizen Kleiner-/Größer-Relation zwischen Matrizen Der Vektorraum der Matrizen gleichen Typs Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Das Transponieren einer Matrix Multiplikation von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Multiplikation zweier Matrizen Gesetzmäßigkeiten der Multiplikation von Matrizen Der Ring der quadratischen Matrizen gleicher Ordnung Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung linearergieichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus für ein System von drei Gleichungen mit drei Variablen Verkettete Form des Gaußschen Algorithmus Rang einer Matrix, Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Die Determinante einer quadratischen Matrix, reguläre Matrizen Die Inverse einer quadratischen Matrix Die Gruppe der regulären Matrizen Lösung von Matrizengleichungen mit Hilfe des verketteten Algorithmus Das Austauschverfahren Bestimmung der inversen Matrix mit Hilfe des Austauschverfahrens^ Austauschregeln Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe des Austauschverfahrens (mit Spaltentilgung) Determinanten Zum Determinantenbegriff Eigenschaften der Determinanten Unterdeterminanten, Adjunkten 139

5 10 Inhaltsverzeichnis Zur Berechnung von Determinanten Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe von Determinanten Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung; beschreibende Statistik 9.1. Zufällige Ereignisse Zum Begriff»zufälliges Ereignis« Relationen zwischen zufälligen Ereignissen Operationen mit zufälligen Ereignissen Das Ereignisfeld Wahrscheinlichkeitsbegriff Relative Häufigkeit Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit zufälliger Ereignisse Zum Begriff»bedingte Wahrscheinlichkeit« Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten Unabhängigkeit zufälliger Ereignisse Spezieller Additionssatz Totale Wahrscheinlichkeit Der Satz von BAYES Beschreibende Statistik Erfassung und Darstellung statistischen Zahlenmaterials Mittelwerte Streuungsmaße Analytische Geometrie in der Ebene und im Raum Punkte im kartesischen Koordinatensystem Punkt und Strecke Flächeninhalt eines Dreiecks Koordinatentransformation in der Ebene Analytische Geometrie der Geraden Punktrichtungsgleichung einer Geraden Zweipunktegleichung einer Geraden Allgemeine Form der Gleichung einer Geraden in der Ebene Hessesche Normalform der Gleichung einer Geraden Spurpunkt einer Geraden in einer Koordinatenebene Lagebeziehungen zweier Geraden Schnittpunkt zweier Geraden 185

6 Inhaltsverzeichnis Schnittwinkel zweier Geraden Abstand eines Punkts von einer Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Analytische Geometrie der Ebene im Raum Parametergleichungen einer Ebene Allgemeine Form der Gleichung einer Ebene Achsenabschnittsform der Gleichung einer Ebene Hessesche Normalform der Gleichung einer Ebene Abstand eines Punkts von einer Ebene Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene Schnittwinkel zweier Ebenen Gleichung der Schnittgeraden zweier Ebenen 2Ö Analytische Geometrie des Kreises und der Kugel Allgemeine Form der Gleichung eines Kreises bzw. einer Kugel Kreis und Gerade in der x;;e-ebene Zwei Kreise Analytische Geometrie der Kegelschnitte Ellipse und Hyperbel Parabel Gleichungen bei achsenparalleler Lage der Kegelschnitte Scheitelgleichungen der Kegelschnitte Kegelschnitt und Gerade Schnitt zweier Kegelschnitte Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) Ableitung einer Funktion Ableitung einer Funktion an einer Stelle Ableitung einer Funktion in einem Intervall Differentiale Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion/an einer Stelle x Differentiationsregeln Regeln für die Differentiation einer Summe, eines Produkts und eines Quotienten von Funktionen Differentiation von rationalen Funktionen Beziehung zwischen den Ableitungen zueinander inverser Funktionen; Differentiation von Wurzelfunktionen Ableitung der Verkettung von Funktionen (Kettenregel) ; Differentiation von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten 242

7 12 Inhaltsverzeichnis Differentiation von Logarithmusfunktionen Differentiation von Exponentialfunktionen Differentiation von Winkelfunktionen Differentiation von Arcusfunktionen Ableitungen höherer Ordnung Kurvendiskussionen Nullstellen von Funktionen Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen einer Funktion mit der y-achse Verhalten rationaler Funktionen für x -> + oo Polstellen rationaler Funktionen Extrema von Funktionen; Mittelwertsatz der Differentialrechnung Konvexität und Konkavität von Funktionen; Wendepunkte von Funktionen Symmetrieeigenschaften und Periodizität von Funktionen; Darstellung des Graphen einer Funktion Muster einer Kurvendiskussion Extremwertaufgaben Umkehrung der Differentiation; unbestimmtes Integral Umkehrung der Differentiation Unbestimmtes Integral Das bestimmte Integral Flächeninhalt von Punktmengen Definition des bestimmten Integrals Regeln für das Rechnen mit bestimmten Integralen Mittelwertsatz der Integralrechnung Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze; der Hauptsatz Berechnung bestimmter Integrale Grundintegrale Einige Integrationsmethoden Elementar integrierbare Funktionen Integration durch Substitution 278 IUI Päfff'e/Ie Infegfäh'on Integration rationaler Funktionen durch Partialbruchzerlegung 280 lt.9. Anwendungen des bestimmten Integrals Berechnung des Flächeninhalts von Punktmengen Berechnung der Länge eines Kurvenbogens Berechnung des Flächeninhalts des Mantels von Rotationskörpern Berechnung des Rauminhalts von Rotationskörpern 287

8 Inhaltsverzeichnis Zum praktischen Rechnen mit reellen Zahlen und mit Größen Algorithmen und Programmablaufpläne Zum Begriff»Algorithmus« Programmablaufpläne Zum Rechnen mit dem Summen- und mit dem Produktzeichen Termumformungen mit Variablen im Bereich der reellen Zahlen Struktur von Termen, äquivalente Termumformungen Addition von Termen, Auflösen und Setzen von Klammern Multiplizieren von Termen, Ausmultiplizieren von Klammern und Ausklammern Binomische Formeln, binomischer Lehrsatz Dividieren von Summen in R Gemeinsames Vielfaches und gemeinsamer Nenner von Quotienten Grundrechenoperationen für Quotienten aus reellen Zahlen unter Verwendung von Variablen Zum numerischen Rechnen Regeln für das numerische Rechnen Abgetrennte Zehnerpotenzen Näherungswerte und Arbeiten mit Näherungswerten Ermitteln von Näherungswerten durch Runden, Überschlagen und Abschätzen von rationalen Zahlen Näherungswerte von Potenzen Fehlerrechnung Zum Begriff»Fehler« Absoluter und relativer Fehler, Fehlerschranken Fehlerabschätzung beim Rechnen mit Näherungswerten Rechenhilfsmittel Zahlentafeln Der elektronische Taschenrechner Zum Rechnen mit Größen Zum Begriff»Größe« Zum Arbeiten mit Größen Aus der Informatik Informatik - eine junge Wissenschaftsdisziplin Über Programmiersprachen Die Programmiersprache BASIC 329

9 14 Inhaltsverzeichnis Zu BASIC-Implementierungen eines Computers; BASIC-Kommandos Grundelemente der Sprache BASIC Zum Aufbau von Programmen Feldverarbeitung 346 Sachwortverzeichnis 351 BAND 1 ENTHÄLT: 1. Aus der mathematischen Logik 1.1. Wissenschaftssprache und natürliche Sprache 1.2. Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik 1.3. Logische Operationen 1.4. Logische Ausdrücke 1.5. Logisches Schließen 1.6. Zur Erkenntnisgewinnung in mathematischen Disziplinen 2. Aus der Mengenlehre 2.1. Mengenbildung 2.2. Beziehungen zwischen Mengen 2.3. Operationen mit Mengen 2.4. Abbildungen von Mengen 2.5. Relationen zwischen Mengen 2.6. Algebraische Operationen 2.7. Algebraische Strukturen 2.8. Mächtigkeit von Mengen 3. Zahlen, Zahlenbereiche 3.1. Der Bereich der natürlichen Zahlen 3.2. Der Bereich der gebrochenen Zahlen 3.3. Der Bereich der rationalen Zahlen 3.4. Der Bereich der reellen Zahlen 3.5. Der Bereich der komplexen Zahlen 3.6. Übersicht über den Aufbau der Zahlenbereiche 4. Gleichungen und Ungleichungen 4.1. Gleichheitsrelationen, Begriffe»Gleichung«und»Ungleichung«4.2. Einteilung der Gleichungen 4.3. Zum Lösen von Gleichungen 4.4. Lösen algebraischer Gleichungen 4.5. Lösen transzendenter Gleichungen 4.6. Verfahren zur Verbesserung von Näherungswerten für Lösungen von Gleichungen

10 Inhaltsverzeichnis Lösen von Gleichungssystemen 4.8. Textaufgaben, die auf Gleichungen führen; Größengleichungen 4.9. Zum Lösen von Ungleichungen Lösen algebraischer Ungleichungen Ungleichungssysteme 5. Elementare Geometrie 5.1. Geometrie der Ebene 5.2. Aus der darstellenden Geometrie 5.3. Geometrie des (dreidimensionalen) Raumes 5.4. Geometrie auf der Kugelfläche

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