Abschlussaufgabe Nichttechnik - A II - Lösung

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1 GS m_nta_lsgmc Abschlussaufgabe - Nichttechni - A II - Lösung Gegeben ist ie relle Funtion f ( x) x = x mit IR > un ID f = IR Der Graph wir mit G f bezeichnet Bestimmen Sie Lage un Vielfachheit er Nullstellen er Funtion f Untersuchen Sie en Graphen G f auf Symmetrie BE Funtionsterm: f( x, ) := x x Auslammern: f( x, ) = x ( x ) Nullstellenbeingung: x ( x ) = x ( x ) = auflösen, x mit Eine reifache Nullstelle NS ( / ) un eine einfache Nullstelle NS ( / ) Keine Symmetrie, a er Funtionsterm f ( x) für gerae un ungerae Potenzen von x enthält (Nullstellen liegen ebenfalls nicht symmetrisch) Ermitteln Sie Art un Koorinaten es relativen Extrempuntes es Graphen G f Begrünen Sie ann, ass ieser Extrempunt für jeen Wert von auf er Parabel mit er Gleichung y = x liegt [ Teilergebnis: x E = ] BE Ableitung berechnen: f ( x, ) := x f( x, ) x x Ableitung berechnen: f ( x, ) := x f ( x, ) x x /

2 Horizontale Tangenten: f ( x, ) = x x = auflösen, x Zweifache Nullstelle er Ableitung, also ein Extremum Extremum Einfache Nullstelle er Ableitung ist Extremum x E ( ) := Art es Extremums: Funtionswert: Parabelgleichung: ( ) 9 f x E ( ), <, also relativer Hochpunt ( ) 7 y E ( ) := f x E ( ), HP 7, px ( ) := x Hochpunt einsetzen: p 7 vergleiche en y-wert es HP: y E ( ) 7 Die Hochpunte liegen also auf er Parabel (Ortsurve) Graphische Darstellung in er Prüfung nicht verlangt: Scharurven Ortsurve Extrema /

3 Gegeben ist nun ie reelle Funtion hx ( ) = x x mit ID h = IR Der Graph ieser Funtion wir G h genannt Begrünen Sie urz, ass hx ( ) = f ( x) gilt un berechnen Sie ann für ie x-koorinaten er Schnittpunte er Graphen G f un G h 7 BE f ( x) x := x f ( x) x x Vergleiche: hx ( ) := x x f ( x) = hx ( ) Funtionswerte gleichsetzen: f( x, ) = hx ( ) x x x x = sortieren: x x = x x Auslammern: x x = Fall: x = x = Fall: x x abspalten: = x Multiplizieren mit : = x Teilen urch, a x = ( ) ( ) Vereinfachen: x = ( ) ( ) = Berechnen Sie ie Koorinaten er Wenepunte von G h Begrünen Sie auch, ob einer ieser Wenepunte Terrassenpunt ist Ableitung: h ( x) Ableitung: h ( x) := hx ( ) h ( x) = x x x := h ( x) h ( x) = x x x BE Wenpuntsbeingung: h ( x) = x x = auflösen, x /

4 x W := un x W := sin jeweils einfache Nullstellen, eshalb Wenepunte Es ist h ( ) =, h x W = ist Wenepunt mit horizontaler Tangente Funtionswerte: y W := hx ( W ) y W = Terrassenpunt W (/) y W := hx ( W ) y W = Wenepunt W (/) Geben Sie ie Nullstellen sowie ie Koorinaten es Extrempuntes von G h an un zeichnen Sie mit Hilfe vorliegener Ergebnisse un geeigneter Funtionswerte en Graphen G h im Bereich x auf eine gesonertes DIN-A-Blatt (Koorinatenursprung auf er Seitenmitte, Maßstab auf beien Achsen: LE = cm ) BE Nullstellenbeingung: hx ( ) = x x = x x = x = (schon beannt) Terrassenpunt W (/) x = auflösen Nullstelle N(/) 7 W HP W N Wertetabelle: x = y = G h Der Graph G h, ie y-achse un ie Tangente im Hochpunt es Graphen schließen eine im I Quaranten liegene Fläche ein Kennzeichnen Sie iese Fläche im Koorinatensystem von Aufgabe un berechnen Sie ihren Inhalt BE Fläche liegt zwischen zwei Funtionen: Differenzfuntion ( x) := h ( ) hx ( ) h ( ) 7 = ( x) = x x 7 /

5 Stammfuntion: x D ( x) x 7 := x x x 7 x Grenzen einsetzen: A:= D ( ) D ( ) = Gegeben ist nun ie reelle Funtion gx ( ) x 9 = x if x < x x if x Begrünen Sie rechnerisch, ass ie Funtion g an er Stelle x = stetig un ifferenzierbar ist, un zeichnen Sie en Graphen ieser Funtion im Bereich x mit Farbe in as vorhanene Koorinatensystem ein 9 BE Stetig an x = : liner Grenzwert: lim x x x 9 rechter Grenzwert: lim x x x Funtionswert: h( ) = stetig an x = Ableitungsfuntion: g ( x) = x if x < x x if x > Differenzierbar an x = : liner Grenzwert: rechter Grenzwert: lim x lim x ( x ) ( x x ) ifferenzierbar an x = /

6 Teil er Parabel: px ( ) x 9 := x Scheitel: x S := x S = px ( S ) y S := y S = 7 HP Wertetabelle für ie Parabel Gg W x = y = W N G h G h = G g Ein Doppelbogenrunfenster (siehe Zeichnung) wir von rei Seiten eines Rechtecs sowie von zwei Halbreisen (jeweils Raius r) begrenzt Der Umfang es Fensters beträgt m (Auf Einheiten wir in er Rechnung verzichtet!) /

7 Stellen Sie en Flächeninhalt Ar () es Fensters in Abhängigeit vom Raius r er Halbreise ar un geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A an [ Teilergebnis: Ar () = r ( π ) r ] 7 BE Ziefuntion: Flächeninhalt = Rechtecsfläche Halbreisfläche Halbreisfläche A = b r r π Nebenbeingung: Umfang = Rechtecsumfang Kreisumfang U = b r r π Ansatz: U = b r r π = Auflösen nach b: b = r r π Einsetzen in Zielfuntion: A = ( r r π) r Ausmultiplizieren: A = r r r π Zusammenfassen: A = r r r π Ar ():= r ( π) r r π r π Bestimmung er Definitionsmenge: liner Ran: r > rechter Ran: b = r r π = auflösen, r π r Ran := r π Ran = 97 IDA = ] ; π [ Berechnen Sie auf rei Nachommastellen genau enjenigen Wert von r, für en er Flächeninhalt seinen größten Wert annimmt Wie viel Prozent es Inhalts nimmt in iesem Fall er rechtecige Teil es Fensters ein? BE A () r := Ar () A () r = r ( π ) r Beingung für relatives Extremum: A () r = r ( π ) = relatives Extremum: r E := A () r = auflösen, r r π E = 7 Funtionswert: Ar ( E ) = 7 7 /

8 Da ie Flächenmaßzahlfuntion eine nach unten geöffnete Parabel ist absolutes Maximum ( 97 / 7 ) Kantenlänge es Rechtecs: br ():= r r π br E ( ) = Fläche es rechtecigen Teils: ( ) A Rechtec := br E r E A Rechtec = 7 Prozentanteil: A Rechtec p := p = % Ar E ( ) Wähle en Raius: Fensterfläche 7 Flächenmaßzahlfuntion r r Ran Raius: r = Seitenlänge: Umfang: Fläche: br () = Ur () = Ar () = 7 /