2. Zentrale Kraftsysteme
|
|
|
- Katja Salzmann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 2. Zentrale Kraftsysteme Definition: Ein Kraftsystem, bei dem sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden, wird als zentrales Kraftsystem bezeichnet. Die Kräfte dürfen entlang ihrer Wirkungslinie in den gemeinsamen Angriffspunkt verschoben werden. F 4 F 3 F 3 F 1 F 2 F 2 F 4 F 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
2 2. Zentrale Kraftsysteme Beispiel: Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
3 2. Zentrale Kraftsysteme 2.1 Zentrale Kraftsysteme in der Ebene 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
4 Addition zweier Kräfte: Die resultierende Kraft hat die gleiche Wirkung wie die beiden Einzelkräfte. F 2 F Die Addition erfolgt nach der Parallelogrammregel: F 1 F = F 1 + F 2 Aneinanderfügen der Kraftpfeile führt zum gleichen Ergebnis. F F 2 F 2 F 1 F F 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
5 Kraftvektoren: Pfeile, für die eine Addition nach der Parallelogrammregel definiert ist, erfüllen die Rechengesetze für Vektoren. Kräfte sind Vektoren, die entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden dürfen. Sie werden daher als linienflüchtige Vektoren bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
6 Lageplan: Im Lageplan werden die Kräfte so eingezeichnet, wie sie am Körper angreifen: Kräfteplan: Im Kräfteplan werden die Kräfte zum Kräftepolygon zusammengesetzt: F 2 F F F 2 F 1 F 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
7 Beispiel: Öse Lageplan: Gegeben: F 1 = 250 N, α 1 = 30 F 2 = 375 N, α 2 = 45 F 1 Gesucht: α 1 Resultierende Kraft F, α α F α 2 F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
8 Kräfteplan: Kosinussatz: F 1 F 2 =F 1 2 +F F 1 F 2 cos(α 1 +α 2 ) α 1 α 2 α 1 Sinussatz: β α F F 2 sin(90 α 1 +α) = sin(α 1+α 2 ) F 2 F β=90 α 1 +α cos(α 1 α)= F 2 F sin(α 1+α 2 ) Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
9 Zahlenwerte: F 2 =250 2 N N N 375 N cos(75 )= N 2 F=393,2 N cos(30 α)= ,2 sin(75 )=0, α=22,90 α=30 22,90 =7,100 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
10 Zerlegung von Kräften: Eine Kraft kann eindeutig in ihre Komponenten entlang von zwei vorgegebenen Wirkungslinien zerlegt werden. F 2 F 1 F Kartesische Komponenten: y F = F x + F y F y F F x =F cos(α)=f sin(β) F y =F sin(α)=f cos(β) β F = F x 2 +F y 2, tan(α)= F y F x α F x x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
11 Addition in Komponenten: Die Kräfte werden in ihre Komponenten zerlegt. Die Komponenten werden nach dem Kräfteplan addiert. Für die Beträge der Komponenten gilt: F 2 F 2x F 2y y F 1y F 1x F 1 x F x =F 1 x +F 2 x, F y =F 1 y +F 2 y F 2x F 2y Dabei werden Komponenten in Koordinatenrichtung positiv und Komponenten entgegen der Koordinatenrichtung negativ gezählt. F 1x F 1y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
12 Einheitsvektoren: Ein Einheitsvektor e ist ein Vektor der Länge eins. Jeder Vektor F lässt sich schreiben als Produkt seines Betrags mit einem Einheitsvektor, der seine Richtung angibt: F =F e e F In einem kartesischen Koordinatensystem gilt: F = F x + F y =F x e x +F y e y Oft wird dafür die Matrix- Schreibweise verwendet: [ F ]= [ F x F y ] e y y e x x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
13 Beispiel: Öse Gegeben: F 1 = 250 N, α 1 = 30 F 1 F 2 = 375 N, α 2 = 45 α 1 Gesucht: Resultierende Kraft F, α α F α 2 F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
14 Zerlegung der Kräfte in ihre Komponenten: y F 1 x =F 1 sin(α 1 ) F 1 y =F 1 cos(α 1 ) F 1y α 1 F 1 F 2 x =F 2 sin(α 2 ) F 2 y = F 2 cos(α 2 ) F 1x F 2x x F 2y α 2 Resultierende Kraft: F 1 x = 250 N sin(30 ) = 125,0 N F 2 x = 375 N sin(45 ) = 265,2 N F x = 390,2 N F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
15 F 1 y = 250 N cos(30 ) = 216,5 N F 2 y = 375 N cos(45 ) = 265,2 N F y = 48,7 N Betrag und Richtung: y F x F = 390, ,7 2 N=393,2 N F y α F x tan(α)= F y = 48,7 = 0,1248 α= 7,114 F x 390,2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
16 Addition mehrerer Kräfte: Zeichnerische Lösung: Lageplan F 3 F 2 F Kräfteplan F 3 F 4 (F 2 ) F (F 3 ) F 4 F 2 F 1 F 1 Die Reihenfolge der Addition ist beliebig. Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
17 Rechnerische Lösung Zerlegung der Einzelkräfte in x- und y-komponenten (skalare) Addition der einzelnen Komponenten (vektorielle) Addition der Gesamtkomponenten F x = F y = n n F n x F n y } F =F x e x +F y e y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
18 Beispiel: Öse Gegeben: F 1 = 600 N, α 1 = 45 F 2 = 800 N, α 2 = 60 F 3 = 450 N, α 3 = 75 Gesucht: Betrag F und Richtung α der resultierenden Kraft F 2 F 3 α 3 y α 2 F 1 α 1 x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
19 2.1 Zentrale Kraftsystem in der Ebene Lösung: F 1 x = F 1 cos(α 1 ) = 600 N cos(45 ) = 424,3 N F 2 x = F 2 sin(α 2 ) = 800 N sin(60 ) = 692,8 N F 3 x = F 3 sin(α 3 ) = 450 N sin(75 ) = 434,7 N F x = 703,2 N F 1 y = F 1 sin(α 1 ) = 600 N sin(45 ) = 424,3 N F 2 y = F 2 cos(α 2 ) = 800 N cos(60 ) = 400,0 N F 3 y = F 3 cos(α 3 ) = 450 N cos(75 ) = 116,5 N F y = 707,8 N Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
20 2.1 Zentrale Kraftsysteme F = F x 2 +F y 2 = 703, ,8 2 N=997,7 N tan(α)= F y = 707,8 = 1,006 α= 45, =134,8 F x 703,2 F y F y α F x x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
21 Gleichgewichtsbedingung: Ein zentrales Kraftsystem ist im Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller Kräfte null ist. Lageplan: Kräfteplan: F 4 F 4 F 5 F = 0 : F 3 F 2 F 5 F 1 F 3 F x =0 F y =0 F 1 F 2 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
22 Beispiel: Eine Kugel liegt auf einer glatten schiefen Ebene und wird von einer glatten Wand gehalten. Gegeben: Gewicht G = 100 N Winkel α = 20 Gesucht: Kräfte zwischen Kugel und Wänden α G Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
23 Schritt 1: Freischneiden der Kugel Die Wände werden entfernt. Die Kräfte, die die Wände auf die Kugel ausüben, werden als unbekannte Kräfte eingetragen. N 1 G α α N 2 Die Die Kraft, Kraft, die die eine eine glatte glatte Wand Wand auf auf einen einen Körper Körper ausübt, ausübt, ist ist senkrecht senkrecht zur zur Wand. Wand. Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
24 Schritt 2: Gleichgewichtsbedingung Die unbekannten Kräfte werden so bestimmt, dass die Gleichgewichtsbedingung erfüllt ist. Mit Kräfteplan: α N 2 G=N 2 cos(α) N 2 = G cos(α) G N 1 G =tan(α) N 1=G tan(α) N 1 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
25 In Komponenten: N 1 F y =0 : G +N 2 cos(α)=0 N 2 = G cos(α) y G α F x =0 : N 1 N 2 sin (α)=0 N 1 =G tan (α) x Zahlenwerte: N 2 N 2 = 100 N cos(20 ) = 100 N 0,9397 =106,4 N N 1 =100 N tan(20 )=100 N 0,3640=36,4 N Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
26 Wechselwirkungsgesetz: Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind gleich groß, entgegengesetzt gerichtet und haben die gleiche Wirkungslinie. Beispiel: Zwei glatte Kugeln N 3 G G N 1 G N 2 N 3 G N 4 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
27 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Kräfte im Raum: z F z β F F x α F y x y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
28 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Mit dem Einheitsvektor [ e ]=[sin(β) cos(α) sin(β)sin(α) cos(β) ] Addition: F x = n F y = n F z = n F nx F ny F nz gilt: F =F e Gleichgewichtsbedingungen: F x =0 F y =0 F z =0 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
29 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Definition der Wirkungslinie durch zwei Punkte im Raum: cos(β)= z B z A L AB z z B sin(β)= ( x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 L AB sin(α)= y B y A ( x B x A ) 2 + (y B y a ) 2 z A y A A y B y e AB β B cos(α)= x B x A ( x B x A ) 2 + (y B y a ) 2 x A α x B x Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
30 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum L AB = ( x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 [ e AB ]=[sin(β)cos(α) sin(β)sin(α) ]= 1 [ L AB cos(β) x B x A ] y B y A z B z A Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
31 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Beispiel: z C S C B O S B h c x a A b y S A Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
32 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Im Punkt O sind drei Seile befestigt, an denen die Kräfte S A, S B und S C angreifen. Gegeben: S A = 400 N, S B = 500 N, S C = 300 N a = 40 cm, b = 30 cm, c = 60 cm, h = 70 cm Gesucht: Komponenten Sx, S y und S z der resultierenden Kraft S Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
33 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Geometrie: tan(α)= a b = 4 3 z C tan(β)= a c = 4 6 = 2 3 O γ β h B tan(γ)= a 2 +b 2 h = = 5 7 x α a A b c y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
34 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum cos(α)= 1 1+tan 2 (α) = 1 1+( a/b = 1 ) 2 1+(4/3) = =0,6 sin(α)=cos(α) tan(α)= = 4 5 =0,8 cos(β)= cos( γ)= 1 1+(2/3) 2 =0,8321, sin(β)= 2 3 0,8321=0, (5/7) 2 =0,8137, sin(γ)= 5 7 0,8137=0,5812 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
35 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Komponenten der Kräfte: S Ax =S A cos(α) S Ay =S A sin(α) S Az =0 S Bx = S B cos(β) S By =S B sin(β) S Bz =0 z O γ S C β S Cx =S C sin(γ)cos(α) S Cy =S C sin(γ)sin(α) S Cz =S C cos(γ) x α S A S B y Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
36 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Resultierende Kraft: S C sin(γ)=300 N 0,5812=174,4 N S Cz =S C cos(γ)=300 N 0,8137=244,1 N S Ax = 400 N 0,6 = 240,0 N S Bx = 500 N 0,8321 = 416,1 N S Cx = 174,4 N 0,6 = 104,6 N S x = 71,5 N S Ay = 400 N 0,8 = 320,0 N S By = 500 N 0,5547 = 277,4 N S Cy = 174,4 N 0,8 = 139,5 N S y = 736,9 N Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
37 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Beispiel: Eine Last hängt an drei Seilen, die an einem Haken befestigt sind. Die Wirkungslinie der Gewichtskraft geht durch den Haken. A z H C y Gegeben: Koordinaten der Punkte: G B x A= (0, 0, 0 ) m, B= (2, 0,0) m C =(1,2, 0 ) m, H =(1,1, 4 ) m Gesucht: Gewicht G = 10 kn Seilkräfte Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
38 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Richtungen der Seilkräfte: Ein Ein Seil Seil überträgt überträgt nur nur Zugkräfte. Zugkräfte. Die Die Wirkungslinie stimmt stimmt mit mit der der Seilrichtung überein. überein. [ e AH ]= 1 L AH [ x H x A ] y H y A z H z A = 1 18 [ 1 1 4] = 1 [ ] [ e BH ]= 1 L BH [ x H x B ] y H y = 1 [ 1 ] B 1 3 2, [ e CH ]= 1 [ L z H z B 4 CH x H x C ] y H y = 1 [ 0 ] C 1 17 z H z C 4 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
![2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Kraftvektoren: H [ S A ]= [ S Ax S Ay S Az ] =S A [ e AH ]= S A 3 2 [ 1 1 [ S B ]= [ S Bx S By S Bz] =S B [ e BH ]= S B 4] [ 1 ]](/docs-images/76/73591919/images/39-0.jpg "1 3 2 4 z A S A G S C S B B y C x [ S C ]= [ S Cx S Cy S Cz] =S C [ e CH ]= S C [ 0 1 17 1] 4 ], [ G ]=G [ 0 0 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM 1 1.")
39 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Kraftvektoren: H [ S A ]= [ S Ax S Ay S Az ] =S A [ e AH ]= S A 3 2 [ 1 1 [ S B ]= [ S Bx S By S Bz] =S B [ e BH ]= S B 4] [ 1 ] z A S A G S C S B B y C x [ S C ]= [ S Cx S Cy S Cz] =S C [ e CH ]= S C [ ] 4 ], [ G ]=G [ 0 0 Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
40 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Gleichgewichtsbedingungen: F x =0 : S 1 A 3 2 S B = 0 (1) F y =0 : S 1 A S 1 B 17 S C = 0 (2) F z =0 : S 4 A S 4 B + 17 S C G = 0 (3) Lösung des Gleichungssystems: Aus Gleichung (1) folgt: S B =S A Addition der ersten beiden Gleichungen liefert: S A 1 17 S C=0 S C = S A Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
41 2.2 Zentrale Kraftsysteme im Raum Einsetzen in Gleichung (3) ergibt: ( ) S A=G S A=G S A = G Für die anderen beiden Seilkräfte folgt daraus: S B =S A = G, S C= Zahlenwerte: G= 17 8 G S A =2,65 kn, S B =2,65 kn, S C =5,15 kn Prof. Dr. Wandinger 1. Kräfte und Momente TM
3. Allgemeine Kraftsysteme
3. Allgemeine Kraftsysteme 3.1 Parallele Kräfte 3.2 Kräftepaar und Moment 3.3 Gleichgewicht in der Ebene Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.3-1 3.1 Parallele Kräfte Bei parallelen Kräften in der Ebene
3. Zentrales ebenes Kräftesystem
3. Zentrales ebenes Kräftesystem Eine ruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreifen, bilden ein zentrales Kräftesystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. f
Hochschule Karlsruhe Technische Mechanik Statik. Aufgaben zur Statik
Aufgaben zur Statik S 1. Seilkräfte 28 0 F 1 = 40 kn 25 0 F 2 = 32 kn Am Mast einer Überlandleitung greifen in der angegebenen Weise zwei Seilkräfte an. Bestimmen Sie die resultierende Kraft. Addition
Mechanik 1. Übungsaufgaben
Mechanik 1 Übungsaufgaben Universitätsprofessor Dr.-Ing. habil. Jörg Schröder Universität Duisburg-Essen, Standort Essen Fachbereich 10 - Bauwesen Institut für Mechanik Übung zu Mechanik 1 Seite 1 Aufgabe
1. Einfache ebene Tragwerke
Die Ermittlung der Lagerreaktionen einfacher Tragwerke erfolgt in drei Schritten: Freischneiden Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen Auflösen der Gleichungen Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse
1. Ebene gerade Balken
1. Ebene gerade Balken Betrachtet werden gerade Balken, die nur in der -Ebene belastet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-1 1. Ebene gerade Balken 1.1 Schnittlasten 1.2 Balken
2. Momentanpol. Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: y A ), v Py. =v Ay
ufgabenstellung: Für die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P eines starren Körpers gilt: Gesucht ist der Punkt П, dessen momentane Geschwindigkeit null ist. Lösung: v Px =x ( y P y ), v Py =y +
4. Stoßvorgänge. Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten.
4. Stoßvorgänge Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten. Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten vor dem
und der Kosinussatz cos(γ) = a2 + b 2 c 2 2 a b Sinussatz sin(β) = a b
Blatt Nr 1906 Mathematik Online - Übungen Blatt 19 Dreieck Geometrie Nummer: 41 0 2009010074 Kl: 9X Aufgabe 1911: (Mit GTR) In einem allgemeinen Dreieck ABC sind a = 18782, c = 1511 und β = 33229 gegeben
2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort
Arbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung
Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,
Kräfte. Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur. Institut Entwerfen und Bautechnik, Fachgebiet Bautechnologie/Tragkonstruktionen
Kräfte Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur Institut Entwerfen und Bautechnik, / KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
Technische Mechanik. Technische Mechanik. Statik Kinematik Kinetik Schwingungen Festigkeitslehre. Martin Mayr. Martin Mayr. 8.
44570_Mayr_205x227_44570_Mayr_RZ 03.07.5 3:39 Seite Martin Mayr Das erfolgreiche Lehrbuch ermöglicht Studenten des Maschinenbaus, der Elektrotechnik und der Mechatronik einen leichten Einstieg in die Technische
Dynamik Lehre von den Kräften
Dynamik Lehre von den Kräften Physik Grundkurs Stephie Schmidt Kräfte im Gleichgewicht Kräfte erkennt man daran, dass sie Körper verformen und/oder ihren Bewegungszustand ändern. Es gibt Muskelkraft, magnetische
1. Haftung. Betrachtet wird ein Klotz auf einer rauen Oberfläche, an dem eine horizontale Kraft F angreift:
Das Coulombsche Gesetz: Betrachtet wird ein Klotz auf einer rauen Oberfläche, an dem eine horizontale Kraft F angreift: g m F rau Die Erfahrung zeigt: Solange die Kraft F einen bestimmten Betrag nicht
4. Stoßvorgänge. Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten.
4. Stoßvorgänge Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten. Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten vor dem
0,6 m. 0,4m. Gegeben seien die obigen drei auf den Balken wirkenden Kräfte mit:
Kurs: Statik Thema: Resultierende bestimmen Aufgabe 1) Wo liegt bei der Berechnung der Resultierenden der Unterschied zwischen Kräften mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und Kräften mit unterschiedlichen
Hochschule Karlsruhe Technische Mechanik Statik. Aufgaben zur Statik
S 1. Seilkräfte ufgaben zur Statik 28 0 F 1 = 40 kn 25 0 F 2 = 32 kn m Mast einer Überlandleitung greifen in der angegebenen Weise zwei Seilkräfte an. Bestimmen Sie die resultierende Kraft. S 2: Zentrales
52 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems. Festlager
52 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Loslager A estlager B BH Einspannung A M A AH A BV AV Abbildung 5.11: Typische Lagerungen eines starren Körpers in der Ebene (oben) und die zugehörigen Schnittskizzen
Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 8
Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 8 Daniel Weiss 1. Dezember 29 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - inhomogener hängender Balken 1 a) Seilkräfte...................................... 1 b) Schwerpunkt....................................
Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
4) ZUSAMMENSETZEN UND ZERLEGEN VON KRAEFTEN IN DER EBENE
BAULEITER HOCHBAU S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E 4) ZUSAMMENSETZEN UND ZERLEGEN VON KRAEFTEN IN DER EBENE 1) Kräfte greifen in einem Punkt an a) Zusammensetzen (Reduktion) von Kräften -
1. Bewegungsgleichung
1. Bewegungsgleichung 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 1.2 Dynamisches Gleichgewicht 1.3 Geführte Bewegung 1.4 Massenpunktsysteme 1.5 Schwerpunktsatz Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik
Aufgabe 1. Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = 1). Es gilt det(λa) = (λ) n det(a).
Aufgabe Die Determinante ist eine lineare Abbildung von C n n nach C? Nein (außer für n = Es gilt det(λa = (λ n det(a det I n = n? Nein (außer für n = Es gilt deti n = det(ab = det A det B? Ja det(a =
Vektorielle Addition von Kräften
Vektorielle Addition von Kräften (Begleitende schriftliche Zusammenfassung zum Online-Video) Was wir bisher betrachtet haben: (a) Kräfte wirken entlang derselben Wirkungslinie (parallel oder antiparallel)
Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
4. Allgemeines ebenes Kräftesystem
4. llgemeines ebenes Kräftesystem Eine Gruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreifen, bilden ein allgemeines Kräftesystem, wenn sich ihre Wirkungslinien nicht in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
2. Mehrteilige ebene Tragwerke
Mehrteilige ebene Trgwerke bestehen us mehreren gelenkig miteinnder verbundenen Teiltrgwerken. Zusätzlich zu den Lgerrektionen müssen die Kräfte in den Gelenken bestimmt werden. Prof. Dr. Wndinger 3. Trgwerksnlyse
Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung
Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?
4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich
4. Verzerrungen Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschiedlich,
3. Seilhaftung und Seilreibung
3. Seilhaftung und Seilreibung Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM 1 5.3-1 3. Seilhaftung und Seilreibung 3.1 Haften 3.2 Gleiten Prof. Dr. Wandinger 5. Haftung und Reibung TM 1 5.3-2 Bei einer
2 Wirkung der Kräfte. 2.1 Zusammensetzen von Kräften Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
2 Wirkung der Kräfte Kräfte, die auf einen Körper wirken, werden diesen verschieben, wenn kein gleichgroßer Widerstand dagegen wirkt. Dabei wird angenommen, dass die Wirkungslinie der Kraft durch den Schwerpunkt
Analytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Massenpunkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im Raum zu bestimmen. Es muss ein Ortsvektor angegeben werden. Prof.
& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
Einführung Vektoralgebra VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen. October 6, 2007
Hochschule Esslingen October 6, 2007 Overview Einführung 1 Einführung 2 Was sind Vektoren? Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen: Strecken mit gleichem Betrag, gleicher Richtung und Orientierung.
Übungsaufgaben Statik zentrales Kräftesystem
I zentralen Kräftesyste liegen alle Kräfte in derselben Ebene und wirken auf einen geeinsaen Punkt. Lösen Sie alle Aufgaben zeichnerisch und rechnerisch. Kräfte zusaensetzen c) Eierziehen Bei Eierziehen
Vektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
1.1.2 Stabkräfte berechnen
1.1.2 Stabkräfte berechnen Wozu brauche ich dieses Thema? Man braucht die Berechnungsmethoden dieses Themas, um die Kräfte in Fachwerken zu berechnen. Auch Seilkräfte, z.b. im Bridle, können so ermittelt
Aufgaben zum Thema Kraft
Aufgaben zum Thema Kraft 1. Ein Seil ist mit einem Ende an einem Pfeiler befestigt und wird reibungsfrei über einen weiteren Pfeiler derselben Höhe im Abstand von 20 m geführt. Das andere Seilende ist
Musterlösungen (ohne Gewähr)
Herbst 010 Seite 1/0 rage 1 ( Punkte) Ein masseloser Balken der Länge l stützt sich wie skizziert über einen masselosen Stab auf dem Mittelpunkt P einer Rolle ab. Ein horizontal verlaufendes Seil verbindet
Geometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
Vektoren: Grundbegriffe. 6-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Vektoren: Grundbegriffe 6-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Parallele Vektoren Abb. 6-1: Vektoren a, b, c und d liegen auf drei zueinander parallelen Linien l, l' und l'' und haben gleiche Richtung Linien l,
Impuls/Kraft als Vektor, Impulsbilanz/Grundgesetz, Reibung
TBM, Physik, T. Borer Übung 1-006/07 Übung 1 Mechanik Impuls/Kraft als Vektor, Impulsbilanz/Grundgesetz, Reibung Lernziele - die vektorielle Addition bzw. Zerlegung von Impuls, Impulsstrom und Kraft zur
2.4 Stoßvorgänge. Lösungen
.4 Stoßvorgänge Lösungen Aufgabe 1: a) Geschwindigkeit und Winkel: Für die Wurfhöhe gilt: H = v 0 g sin Die zugehörige x-koordinate ist: x 1 = v 0 g sincos Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich die
1 Statik. 1.1 Kraft. Folgende Eigenschaften bestimmen eine Kraft: Der Kraftvektor ist damit ein gebundener Vektor: symbolisch F
1 Statik 1.1 Kraft Folgende Eigenschaften bestimmen eine Kraft: Der Kraftvektor ist damit ein gebundener Vektor: symbolisch F Einheit der Kraft: 1 Newton = 1 N = 1 kg m/s 2 Darstellung: Kraft F mit einem
2. Flächenträgheitsmomente
. Flächenträgheitsmomente.1 Definitionen. Zusammengesette Querschnitte.3 Hauptachsen Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-1 .1 Definitionen Flächenträgheitsmomente: Die ur Berechnung der Spannungen eingeführten
2. Flächenträgheitsmomente
. Flächenträgheitsmomente.1 Definitionen. Zusammengesette Querschnitte.3 Hauptachsen Prof. Dr. Wandinger 3. Balken TM 3.-1 .1 Definitionen Flächenträgheitsmomente: Die ur Berechnung der Spannungen eingeführten
entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
Übungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen
Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen 3.1. Polarkoordinaten 1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x
Mathematik = x 2 + x 2 = x + x 2 25x = 146 x =
1 Prof. Dr. Matthias Gerdts Dr. Sven-Joachim Kimmerle Wintertrimester 014 Mathematik 1 + Übung 1 Gleichungen mit Wurzeln Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, dass
TM I. Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Gegeben sind die Spaltenvektoren. a = 1. , b = 6 7. , d = , c = c z. Man berechne. a) die Summe a + b,
TM I Aufgabe 1.1 Gegeben sind die Spaltenvektoren 3 2 a = 1, b = 6 7 Man berechne a) die Summe a + b, 2 b) das Skalarprodukt a b,, c = 3 5 c) die Koordinate c z für den Fall, dass a c ist, d) das Kreuzprodukt
Kapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
Lösung zur Übung 3 vom
Lösung zur Übung 3 vom 28.0.204 Aufgabe 8 Gegeben ist ein Dreieck mit den nachfolgenden Seiten- und Winkelbezeichnung. Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras: a) c 2 = a 2
Ilja Repin Die Wolgatreidler (1873) Das Skalarprodukt. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Ilja Repin Die Wolgatreidler (1873) Das Skalarprodukt 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Treideln http://www.rheinschifffahrtsgeschichte.de/mainzer%20pano%20dateien/tierer%20treideln.jpg Treideln heißt eine
Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 27. Oktober 2016 HSD. Physik. Vektoren Bewegung in drei Dimensionen
Physik Vektoren Bewegung in drei Dimensionen y (px) ~x x (px) Spiele-Copyright: http://www.andreasilliger.com/index.php Richtung a b b ~x = a Einheiten in Richtung x, b Einheiten in Richtung y y (px) ~x
Die Kraft. Mechanik. Kräfteaddition. Die Kraft. F F res = F 1 -F 2
Die Kraft Mechanik Newton sche Gesetze und ihre Anwendung (6 h) Physik Leistungskurs physikalische Bedeutung: Die Kraft gibt an, wie stark ein Körper auf einen anderen einwirkt. FZ: Einheit: N Gleichung:
4. Das Verfahren von Galerkin
4. Das Verfahren von Galerkin 4.1 Grundlagen 4.2 Methode der finiten Elemente 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-1 4.1 Grundlagen Das Verfahren
3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
Kapitel 2 Kräfte und Momente in der ebenen Statik
Kapitel 2 Kräfte und Momente in der ebenen Statik 2 2 2 Kräfte und Momente in der ebenen Statik 2.1 Kräfte in der Ebene mit gemeinsamem Schnittpunkt ihrer Wirkungslinien... 19 2.1.1 Ermittlung der resultierenden
Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.
Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung
3D-Transformationen. Kapitel Translation Skalierung
Kapitel 13 3D-Transformationen Wie im weidimensionalen Fall, werden die Definitionspunkte der Objekte als Spaltenvektoren mit homogener Koordinate geschrieben. Die notwendigen Transformationen werden wieder
Kapitel 2. Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt
Kapitel 2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt 2 2 Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt 2.1 Zusammensetzung von Kräften in der Ebene... 21 2.2 Zerlegung von Kräften in der Ebene, Komponentendarstellung...
2 Skalarprodukt, Vektorprodukt
37 2 Skalarprodukt, Vektorprodukt Es gibt zwei verschiedene Verknüpfungsregeln für das Produkt von Vektoren. Die mechanische Arbeit ist definiert als Produkt aus Kraft und Weg. 1 Vorausgesetzt wird dabei,
Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
1. Prinzip von d'alembert
1. Prinzip von d'alembert 1.1 Freiheitsgrade 1.2 Zwangsbedingungen 1.3 Virtuelle Geschwindigkeiten 1.4 Prinzip der virtuellen Leistung Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.1-1 1.1
Lösung zur Übung 1. In einem Würfel der Kantenlänge a wird ein Methanmolekül so platziert, dass das Kohlenstoffatom. r = a 2. d = 2 a (3) 2 = 2 a (4)
Lösung zur Übung 1 Aufgabe 1 In einem Würfel der Kantenlänge a wird ein Methanmolekül so platziert, dass das Kohlenstoffatom im Zentrum des Würfels liegt. Wie groß ist der Tangens des halben H-C-H Bindungswinkels?
Lösungen der Übungsaufgaben III
Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 7 c 2016 A. Kersch
1 Kräfte, Drehmoment 1.1 Newton sche Axiome 1.1.1 Wechselwirkungsgesetz Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 7 c 2016 A. Kersch Die Newton schen Axiome (oder auch Gesetze) wurden 1687 von Isaac Newton in seinem
Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
(Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei
Vektoren. Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen. Vektoren. Stefan Keppeler. 21. November 2007.
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Vektoren 21. November 2007 Vektoren Vektoren werden zur Darstellung gerichteter Größen verwendet. Man stelle sich also einen Pfeil in eine
Komplexe Zahlen. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (a c b d, a d + b c)
Komplexe Zahlen Wir betrachten Zahlenpaare (a, b, (c, d R und definieren eine Addition und eine Multiplikation wie folgt: (a, b + (c, d := (a + c, b + d (a, b (c, d := (a c b d, a d + b c Satz: R mit dieser
Prüfungsvorbereitung Physik: Bewegungen und Kräfte
Prüfungsvorbereitung Physik: Bewegungen und Kräfte Theoriefragen: Diese Begriffe müssen Sie auswendig in ein bis zwei Sätzen erklären können. a) Vektor/Skalar b) Woran erkennt man eine Kraft? c) Welche
Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 19. September 2016 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2016, RWTH Aachen University
Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen wir eine
Einführung in das Skalarprodukt
Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Einführung in das Skalarprodukt in Aufgaben Alle Lektionen und Texte der Delphi-Ecke sind in der gepackten Zip-Datei Delphi-Ecke (ohne Urlaubsbilder) (Stand:
Aufgaben zu sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck
Aufgaben zu sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck 1) Eine Leiter ist 3m von einer Wand entfernt. Die Leiter ist 5m lang. In welcher Höhe ist die Leiter an die Wand gelehnt und welchen Neigungswinkel
(von Punkt A nach Punkt B) gemessen und auch die entsprechenden Zenitwinkel z B
Aufgabe a.1 Verwendet dieses elementare geometrische Verhältnis der Strecken, um die Höhe eines Turmes oder eines sonstigen hohen Gebäudes in eurer Nähe zu bestimmen. Dokumentiert euer Experiment. Wiederholt
Baustatik und Holzbau. Übungen Technische Mechanik I
Prof. Ralf-W. oddenberg austatik und Holzbau Hochschule Wismar Übungen Technische Mechanik I Wintersemester 216/217 Inhalt Inhaltsverzeichnis der Übungsaufgaben 2 Zentrale Kraftsysteme Übungen... 2 2.1
Wiederholungsaufgaben Klasse 10
Wiederholungsaufgaben Klasse 10 (Lineare und quadratische Funktionen / Sinus, Kosinus, Tangens und Anwendungen) 1. In welchem Punkt schneiden sich zwei Geraden, wenn eine Gerade g durch die Punkte A(1
Dr. O. Wittich Aachen, 12. September 2017 S. Bleß, M. Sc. Analysis. Übungsaufgaben. im Vorkurs Mathematik 2017, RWTH Aachen University
Dr. O. Wittich Aachen,. September 7 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben im Vorkurs Mathematik 7, RWTH Aachen University Intervalle, Beschränktheit, Maxima, Minima Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob
Kräfte und Drehmomente
Kräfte und Drehmomente In diesem Kapitel... Kräfte und Drehmomente Kräfte zerlegen und zusammensetzen Kräftesysteme Körper freimachen D as zentrale Thema der Statik ist die rage, wie ein Körper oder ein
Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 1 Affine Räume um Zeichenebene bzw. Raum zu beschreiben, muß vorher ein Koordinatensystem festgelegt werden durch geometrische Fragestellungen
Technische Mechanik I
Technische Mechanik I m.braun@uni-duisburg.de Wintersemester 2003/2004 Lehrveranstaltung Zeit Hörsaal Beginn Technische Mechanik I V 3 Mi 14:00 15:30 LB 104 15.10.2003 r 08:15 09:45 LB 104 17.10.2003 14tägig
1. Bewegungsgleichung
1. Bewegungsgleichung 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 1.2 Dynamisches Gleichgewicht 1.3 Geführte Bewegung 1.4 Massenpunktsysteme 1.5 Schwerpunktsatz Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3
Beispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759.
(4) Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Für jedes b > 1 gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion exp b : R R + mit folgenden Eigenschaften. exp b (r) = b r für alle r Q Die Funktion exp b ist
2 Geometrie und Vektoren
Geometrie und Vektoren Vorbemerkung: Begriffe wie die folgenden werden hier als bekannt vorausgesetzt: Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Ebene, Kreis, Winkel, rechter Winkel, etc..1 Grundlegende Sätze Satz
d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
2 Kräfte und ihre Wirkungen
5 Kräfte und ihre Wirkungen Kräfte treten überall auf in der Natur, in der Technik, im Verkehr, im Sport, usw. Ein Getreidehalm wiegt sich im Wind, ebenso wie ein Fernsehturm. Bei Bewegungen sind im Allgemeinen
2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen
2.3.4 Drehungen in drei Dimensionen Wir verallgemeinern die bisherigen Betrachtungen nun auf den dreidimensionalen Fall. Für Drehungen des Koordinatensystems um die Koordinatenachsen ergibt sich 1 x 1
Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme
Leseprobe Kirbs Einführung in die Statik und räumliche Kraftsysteme TECHNISCHE MECHANIK Studienbrief 2-050-0904 3. Auflage 2008 HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING Impressum Verfasser: Prof. Dr.-Ing. Jörg