Passerellen-Prüfungen 2007 Mathematik: 4 Stunden (3 Seiten)

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1 Punkte: Note: BME ISME MfB MSE Berner Maturitätsschule für Erwachsene Interstaatliche Maturitätsschule für Erwachsene St. Gallen/Sargans Maturitätsschule für Berufstätige, Basel Maturitätsschule für Erwachsene, Reussbühl Passerellen-Prüfungen 007 Mathematik: 4 Stunden (3 Seiten Name: Allgemeines: Bei jeder Aufgabe ist mit einem neuen Blatt zu beginnen. Die Aufgabenblätter sind am Schluss der Prüfung mit dem Lösungsweg abzugeben. Hilfsmittel: Formelsammlung Fundamentum Mathematik und Physik (ohne Notizen; Taschenrechner (maximal Zeilen in der Anzeige, kein CAS Resultate: Die Resultate sind soweit wie möglich vereinfacht oder auf 3 wesentliche Ziffern gerundet anzugeben. Die Herleitung der Resultate muss klar ersichtlich sein. Punkte: Jede der Aufgaben wird mit maximal 10 Punkten bewertet. Notenskala: Punkte Note

2 Seite von 3 Passerellen-Prüfung 007: Mathematik 1 Analysis: Polynom- und Potenzfunktionen (10P ( = x 4! x + 4 und g( x = 4! x, ( x!!. Gegeben sind die beiden Funktionen f x a Bestimmen Sie Null-, Extremal- und Wendestellen der beiden Funktionen und stellen Sie sie im gleichen Koordinatensystem graphisch dar. (P b Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Funktionsgraphen? (P c Bestimmen Sie den Inhalt des von den beiden Graphen eingeschlossenen Flächenstückes. (3P Analysis: Exponential- und Logarithmusfunktionen (10P ( = a! x! e 1"a!x, ( x!! definiert. Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion f a x a Bestimmen Sie für a = die Null-, Extremal- und Wendestellen der Funktion. Wie verhält sie sich im Unendlichen? Stellen Sie die Funktion graphisch dar. Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen im Wendepunkt. Unter welchem Winkel schneidet die Normale die y-achse? b Zeigen Sie für alle a > 0: " F a ( x =! ax + 1 % # $ a & ' ( e 1!ax ist eine Stammfunktion von f a x c Für welchen Wert von a hat der Graph von f a im Punkt P 4 / y p eine Extremalstelle? (6P (. (P ( (P 3 Vektorgeometrie (10P Gegeben sind die Punkte A(6/10, B(-11/-7 und C(14/-. a Ergänzen Sie das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ABCD. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D und die Länge der Seite BC. b Bestimmen Sie die Gleichung zweier Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC. Gesucht ist der Mittelpunkt des Umkreises K. (P (3P Fahren Sie weiter mit Z(1/- als Mittelpunkt des Kreises. c Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Kreis K im Punkt B? (P d Betrachten Sie die Gerade g durch (30/0 parallel zu (AC. Bestimmen Sie den Punkt des Kreises K, der der Geraden g am nächsten liegt. (3P

3 Seite 3 von 3 Passerellen-Prüfung 007: Mathematik 4 Zwei unabhängige Aufgaben (10P a Gegeben sind die Punkte A(1/3 und B(4/1. Für welche Punkte P der y-achse gilt, dass der Winkel ABP = 4 ist? b Skizzieren Sie den Graphen K der Funktion f (x = 3sin(4x, ( x!! " im Intervall 0;! % # $ 4 & '. Dem Graphen K ist ein Rechteck, dessen eine Seite auf der x-achse liegt, so einzubeschreiben, dass sein Umfang maximal wird. Wir gross ist der maximale Rechteckumfang? (P (P Wahrscheinlichkeitsrechnung (10P a Eine Urne enthält 900 Kugeln mit den Nummern 100, 101, 10, 103,..., 999. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, a1 dass die Nummer auf einer zufällig gezogenen Kugel durch 10 teilbar ist? (1P a dass die Nummer auf einer zufällig gezogenen Kugel durch 3 oder, aber nicht durch 3 und teilbar ist? (1P a3 dass die Summe der Nummern von zwei zufällig gezogenen Kugeln (ohne Zurücklegen mindestens 1'994 ist? (1P a4 dass die Nummern auf drei zufällig gezogenen Kugeln (mit Zurücklegen Quadratzahlen sind? (P b An einer bestimmten Prüfung nahmen 7 Studierende teil und 173 davon bestanden. Von der Schule A nahmen 94 teil und davon bestanden 67. b1 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Prüfungskandidat, der nicht an der Schule A studierte, die Prüfung bestand? (P b Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Kandidat, der die Prüfung bestand, aus der Schule A stammt? (P b3 Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig ausgewählte Kandidaten aus der Schule A stammen? (1P

4 Passerellenprüfung Mathematik - Lösungen St. Gallen Herbst Analysis: Polynom- und Potenzfunktionen (a Haupteigenschaften: Funktion: f(x = x 4 x + 4 g(x = 4 x Nullstellen: u u + 4 = 0 4 x = 0 (u 4(u 1 = 0 x 1, = ± u 1 = 4 und u = 1 x 11,1 = ± x 1, = ±1 Extremalstellen: f (x = 4x 3 10x g (x = x x(x = 0 x = 0 x 3 = 0 x 3 = 0 x 4, = ± Wendestellen: f (x = 1x 10 g (x = x 6,7 = ± 6 keine Wendepkte. Graphen: f(x = g(x x 4 x + 4 = 4 x x 4 4x = 0 x (x 4 = 0 Schnittstellen bei x = ± (x = 0 uninteressant, da Winkel = 0 } m f = f( = 1 tan(ϕ = m g m f m g = g( = m f m g = ϕ = 18.8 (b Fläche A zwischen den Graphen: A = g(x f(x dx = 0 [ ] 4x 4x x 4 3 dx = 3 x = c G. Schöb /6

5 Passerellenprüfung Mathematik - Lösungen St. Gallen Herbst 007. Analysis: Exponential- und Logarithmusfunktionen (a Haupteigenschaften: Funktion: f (x = xe 1 x Nullstellen: xe 1 x = 0 x 1 = 0 Extremalstellen: f (x = e 1 x + xe 1 x ( = e 1 x (1 x = 0 x = 1 Wendestellen: f (x = e 1 x ( (1 x + e 1 x ( = e 1 x ( 4 + 4x x 3 = 1 Graph: (b F a (x muss abgeleitet f a (x ergeben: Beweis. ( F a(x = ( 1 e1 ax + ax + 1 e 1 ax ( a a = e 1 ax + (ax + 1e 1 ax = axe 1 ax = f a (x (c Es soll also gelten, dass f a(4 = 0 ist: c G. Schöb /6

6 Passerellenprüfung Mathematik - Lösungen St. Gallen Herbst Vektorgeometrie f a(x = ae 1 ax a xe1 ax = ae 1 ax (1 ax f a(4 = ae 1 4a (1 4a = 0 a = 1 4 (a = 0 uninteressant Figur: (a Punkt D und Strecke BC: r D = r A + BC = ( 6 10 ( + = ( 31 1 D(31/1 BC = + =. (b Jeweils mit Seitenmittelpunkt und Normalenvektor: ( ( 10 3 M AC (10/4 m AC : r = + r ( y = 4 3 x 8 3 ( ( M AB ( / 3 m AB : r = s ( y = x 1 1 ( 3 ( M BC ( 3 / 9 m BC : r = t ( y = x + 3 (c Z.B. mit Polarisieren (BZ = 1 + = 13: k : (x 1 + (y + = 13 t : (x 1( (y + ( 7 + = 13 1x + 1 y 10 = 169 1x y = 167 t : 1x + y = 0 c G. Schöb /6

7 Passerellenprüfung Mathematik - Lösungen St. Gallen Herbst 007 Oder mit Normalenvektor n t = BZ = ( 1 t : r = : ( 11 7 ( + t 1 (d Lösungsweg: Senkrechte zu g durch Z mit K schneiden ( 30 g : r = 0 ( 1 n g : r = ( + t 3 ( 3 + s n g K : (1 + 3s 1 + ( + s + = 13 9s + 4s = 13 13s = 13 s = ± 13 S(1 3 13/ + 13 (Bemerkung: Die andere Lösung der quadratischen Gleichung gibt den entferntesten Punkt auf dem Kreis K zur Geraden g. 4. Zwei unabhängige Aufgaben (a Lösungsidee: Via Skalarprodukt (gesuchter Punkt: P (0/y Figur: BA BP BA ( BP 4 y 1 soll = cos(4 ( 3 = (y y = (y y + 4y = 1 13 (16 + (y 1 }{{} 16+y y+1 y 106y + 1 = 0 { y1 = 1 P 1 (0/ 1 y = 1 P (0/1 c G. Schöb /6

8 Passerellenprüfung Mathematik - Lösungen St. Gallen Herbst 007 (b Extremwertaufgabe (Punkt P (x/f(x auf Graph von y = f(x: Figur: HF : U = b + h NB : b = π 4 x h = 3 sin(4x ZF :. Wahrscheinlichkeitsrechnung U(x (a Urne mit 900 Kugeln ( : = 6 sin(4x + π 4x U soll (x = 4 cos(4x 4 = 0 cos(4x = 1 6 4x = arccos( 1 6 = U max = 6 sin( π = 6.08 i. Durch 10 teilbar: P = = 0.1 ii. Durch oder 3 (aber nicht durch 1 teilbar: n 3 = = = 300 n = 99 9 = = 180 n 1 = = 66 6 = 60 P = = 0.4 c G. Schöb /6

9 Passerellenprüfung Mathematik - Lösungen St. Gallen Herbst 007 iii. Summe zweier Kugeln (ohne Zurücklegen mindestens 1994: 1997 : n 1997 = 1996 : n 1996 = 199 : n 199 = : n 1994 = 4 iv. 3 Quadratzahlen hinter einander (mit Zurücklegen: Q = 10, 11, n Q = P = ( = P = ( = (b Bedingte Wahrscheinlichkeiten: Vierfeldertafel: A A B B i. P (B A = = ii. P (A B = = iii. P (AA = = c G. Schöb /6

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