Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am

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1 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am..9 Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 8 erreichte Punkte

2 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe Gegeben sei folgendes mathematische Modell eines Systems.Ordnung mit verschiedenen Eigenwerten, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y 4 ( t ) a x x x y x ( a sei hierbei ein reeller Parameter). Bei Versuchen mit verschiedenen Anfangszuständen x und x, 3 T, T erhält man die gleiche Ausgangsfunktionen: yt () 3(für t ). a) Bestimmen Sie einen vom Nullvektor verschiedenen Anfangszustand, mit dem für t gilt: yt (). b) Bestimmen Sie den Wert von a. c) Ist das System stabil, instabil, asymptotisch stabil? Geben Sie eine mathematische Begründung an! d) Skizzieren Sie in der Zustandsebene den Verlauf der Trajektorien für folgende Anfangszustände (mit Angabe des Richtungssinns für wachsende Zeiten t ). x 3, x,, Aufgabe Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle, einer Induktivität, einer Kapazität und zwei Ohmschen Widerständen R und R 3 sowie einem nichtlinearen Widerstand R. Hierbei gilt R R3 R. Die von der Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. i i R u R R u R3 Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes R kann durch die Funktion i u R c u i R beschrieben werden. Hierbei ist c die Spannung am Kondensator, der Strom durch den Widerstand und i der Strom durch die Induktivität.

3 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 a) Führen Sie den Zustandsvektor x [ i u ] ein und zeigen Sie, dass das System durch das Modell R x x u x x u x R R beschrieben werden kann. b) Bestimmen Sie alle Ruhelagen x R des Systems für die konstante Eingangsgröße Für die Bauteilwerte gelte dabei: R.5, H, F. c) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ b mit xxr ζ und u=u R, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ζ und aus den ermittelten Ruhelagen näherungsweise beschreiben. d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller Ruhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.) 3 u V. 8

4 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am 8..9 Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 8 erreichte Punkte

5 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle, einer Induktivität, einer Kapazität, zwei Ohmschen Widerständen R und R 3 sowie einem nichtlinearen Widerstand R. Hierbei gilt R R3 R. Die von der Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. R i R u R u R3 i Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes R kann durch die Funktion i u beschrieben werden. Hierbei sind die Spannung am Kondensator, der Strom durch den i R uc i R nichtlinearen Widerstand und der Strom durch die Induktivität. a) Führen Sie den Zustandsvektor x [ u i ] ein und zeigen Sie, dass das System durch das Modell x x u x R R R x x u beschrieben werden kann. b) Bestimmen Sie alle Ruhelagen x R des Systems für die konstante Eingangsgröße 3 ur V. Für die Bauteilwerte gelte dabei: R.5, H, F. 8 c) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ b mit xxr ζ und u=u R, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ζ und aus den ermittelten Ruhelagen näherungsweise beschreiben. d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller Ruhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.) c

6 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe Gegeben sei das folgende mathematische Modell eines Systems.Ordnung mit verschiedenen Eigenwerten, dem Zustandsvektor x und der Ausgangsgröße y 8 ( t ) 4 a x x x y 4x ( a sei hierbei ein reeller Parameter). Bei Versuchen mit verschiedenen Anfangszuständen x, 3 T und x, 5 T erhält man die gleiche Ausgangsfunktionen: yt () 6(für t ). a) Bestimmen Sie einen vom Nullvektor verschiedenen Anfangszustand, mit dem für t gilt: yt (). b) Bestimmen Sie den Wert von a. c) Ist das System stabil, instabil, asymptotisch stabil? Geben Sie eine mathematische Begründung an! d) Skizzieren Sie in der Zustandsebene den Verlauf der Trajektorien für folgende Anfangszustände (mit Angabe des Richtungssinns für wachsende Zeiten t ). x 3 5, x,,

7 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am 9.. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 8 erreichte Punkte

8 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle, einer Induktivität, einer Kapazität und einem Ohmschen Widerstand R sowie einem nichtlinearen Widerstand R. Die von der Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. R u R i u i R Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes R wird durch die Funktion i R c ku mit k beschrieben. Hierbei sind die Spannung am Kondensator, der Strom durch den Widerstand und i der Strom durch die Induktivität. uc i R a) Führen Sie den Zustandsvektor x [ i u ] T ein und zeigen Sie, dass das System durch das Modell x u x x kx u R R beschrieben werden kann. Für bestimmte Parameterwerte des Netzwerkes ergibt sich folgendes Modell: x u 4 4 x x x u b) Bestimmen Sie alle Ruhelagen x R von diesem System für die konstante Eingangsgröße u ur V. 4 c) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ b mit xxr ζ und u=u R, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ζ und aus den ermittelten Ruhelagen näherungsweise beschreiben.

9 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller Ruhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.) Aufgabe Für ein freies System. Ordnung der Form d x Ax ist das dazugehörige Trajektorienbild gegeben: x.5.5 x -.5 Ruhezone Außerdem ist die zugehörige Systemmatrix A (teilweise) gegeben: A... Aufgrund einer fehlerhaften Datenübertragung sind leider einige Elemente verloren gegangen. a) Bestimmen Sie die fehlenden Elemente der Systemmatrix A. (HINWEIS: Benützen Sie das angegebene Trajektorienbild!) b) Ermitteln Sie die zwei Eigenwerte der Systemmatrix A. c) Bestimmen Sie die Rechts-Eigenvektoren der Systemmatrix A. d) Ist das System stabil, asymptotisch stabil oder instabil? Geben Sie eine mathematische Begründung an. HINWEIS: Zur Beantwortung der Fragen sind keine langen Rechnungen nötig!

10 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am.3. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 8 erreichte Punkte

11 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe : Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle, einem Ohmschen Widerstand R, einer Induktivität und einer Kapazität sowie einer Diode (siehe Skizze). Die von der Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. R i i D u u u D Der nichtlineare Zusammenhang für den Strom durch die Diode i hu folgenden Diodenkennlinie ersichtlich: d ist aus der d 7 i d 6 5 h( ) u d 4 3 u d a) Führen Sie den Zustandsvektor x [ i u ] T ein und ermitteln Sie ein Modell der Form f xu,. Für die Bauteilwerte gelte nun: R, H, F. b) Bestimmen Sie für die konstante Eingangsgröße u ur 5V alle Ruhelagen x R des Systems. Hinweis: Die Bestimmung erfolgt auf graphische Art unter Benützung des o. a. Diagramms für die Diodenkennlinie!

12 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 c) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ b mit xxr ζ und u=u R, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ζ und aus den ermittelten Ruhelagen näherungsweise beschreiben. Hinweis: Benützen Sie das o. a. Diagramm der Diodenkennlinie zur graphischen Ermittlung gewisser Einträge der Systemmatrix A! d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller Ruhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.) Aufgabe : Gegeben sei das freie mathematische Modell. Ordnung: Ausgehend von zwei Anfangszuständen Ax () x und () x wurden die zugehörigen ösungen ermittelt. 4e 3t () x () t 3t und e x t () () t e a) Ist das System asymptotisch stabil? (Geben Sie eine mathematische Begründung an!) b) Ermitteln Sie die Systemmatrix A und die Transitionsmatrix Φ () t. c) Skizzieren Sie in der Zustandsebene die Trajektorien (mit Angabe des Richtungssinnes für wachsende t-werte) für die folgenden Anfangszustände x (3) 4 (4) (5),, x x. Der asymptotische Verlauf der Trajektorien (t ) soll erkennbar sein!

13 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am 3.4. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 8 erreichte Punkte

14 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle, einer Induktivität, einer Kapazität einem Ohmschen Widerstand R und einem nichtlinearen Widerstand R. Die von der Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. N u i i N = f( ) u u R N R Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes R N wird durch die Funktion in f( uc) uc 3uc beschrieben. Hierbei sind uc die Spannung am Kondensator, i N der Strom durch den nichtlinearen Widerstand und i der Strom durch die Induktivität. a) Führen Sie den Zustandsvektor x [ i ] T u ein und ermitteln Sie ein mathematisches Modell der Form f xu,. Für bestimmte Parameterwerte des Netzwerkes ergibt sich folgendes nichtlineare System: xx u xx 3x b) Bestimmen Sie alle Ruhelagen x R des Systems für die konstante Eingangsgröße 5V. ur c) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ b mit xxr ζ und u=u R, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ζ und aus den ermittelten Ruhelagen näherungsweise beschreiben. d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller Ruhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.)

15 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe : Gegeben sei nun folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Induktivität und einer Kapazität : i u a) Führen Sie den Zustandsvektor x [ i ] T u ein und bestimmen Sie das mathematische Modell in der Form Ax. Für die Parameterwerte des Systems gilt nun: H, F b) Zeigen Sie, dass die Trajektorien des Systems durch Kreise in der Zustandsebene beschrieben werden! x x k mit k c) Skizzieren Sie die Trajektorie für den Anfangszustand [ ] T x in die Zustandsebene. Zeichnen Sie auch den Richtungssinn für wachsende Zeitwerte t ein und geben Sie dazu eine Begründung an!

16 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am 5.6. Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: erreichbare Punkte 8 6 erreichte Punkte

17 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe : Betrachten Sie folgendes ideale elektrische Netzwerk bestehend aus einer Spannungsquelle, einem Ohmschen Widerstand R, einer Induktivität und einer Kapazität sowie einem nichtlinearen Widerstand R N (siehe Skizze). Die von der Spannungsquelle gelieferte Spannung wird mit u symbolisiert. Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes R N wird durch die Funktion 5 un un( i) i i beschrieben. Hierbei sind i der Strom durch die Induktivität und u N die Spannung am nichtlinearen Widerstand R N. Mit u symbolisieren wir die Spannung am Kondensator. a) Führen Sie den sogenannten Zustandsvektor x [ u ] T i ein und ermitteln Sie ein Modell der Form, u f x. Für bestimmte Parameterwerte des Netzwerkes ergibt sich folgendes Modell: u 3i 5 u i i u b) Bestimmen Sie für die konstante Eingangsgröße u u V alle Ruhelagen x R des Systems. c) Ermitteln Sie lineare und zeitinvariante Modelle der Form dζ Aζ b mit xxr ζ und u=u, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ζ und aus den ermittelten Ruhelagen näherungsweise beschreiben. d) Bestimmen Sie den Stabilitätscharakter aller Ruhelagen des nichtlinearen Systems. (Begründen Sie Ihre Antworten mathematisch.)

18 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik 3 Aufgabe : Die Trajektorien eines freien mathematischen Modells. Ordnung entsprechen Geraden: Ax x x x x ; (), x x() t x() t k. Dabei ist k eine vom Anfangszustand x abhängige reelle Konstante. Folgende drei Möglichkeiten für die Systemmatrix A stehen zur Auswahl: A 3,, und 3 3 A A a) Bestimmen Sie diejenige Systemmatrix, deren Trajektorienbild mit obigen Geraden übereinstimmt (Begründen Sie Ihre Wahl!). b) Ermitteln Sie die Ruhelage(n) des Systems. c) Ist das System asymptotisch stabil, stabil oder instabil? (Geben Sie eine mathematische Begründung an!) d) Skizzieren Sie in der Zustandsebene die Trajektorien (mit Angabe des Richtungssinnes für wachsende t-werte) des Systems für die folgenden Anfangszustände x () 3 () (3),, 3 x x. Der asymptotische Verlauf der Trajektorien (t ) soll erkennbar sein!

19 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Schriftliche Prüfung aus Nichtlineare elektrische Systeme Teil: Dourdoumas am 9.8. (außerordentlicher Prüfungstermin) Name / Vorname(n): Kennzahl/ Matrikel-Nummer.: 3 erreichbare Punkte 4 3 erreichte Punkte

20 TU Graz, Institut für Regelungs- und Automatisierungstechnik Aufgabe : Betrachten Sie folgendes nichtlineare System mit dem Zustandsvektor x [ x x] T : 6 sin x x xx a) Berechnen Sie die vier Ruhelagen x R des Systems. b) Untersuchen Sie das Stabilitätsverhalten aller Ruhelagen des nichtlinearen Systems. iegt jeweils Stabilität, asymptotische Stabilität oder Instabilität vor? Ermitteln Sie hierzu lineare Modelle der Form dζ mit R Aζ ζ x x, welche das Systemverhalten für kleine Auslenkungen ζ aus den ermittelten Ruhelagen näherungsweise beschreiben. Aufgabe : Gegeben sei ein System mit dem Zustandsvektor x [ x x] T der Form ; ( t ) x x x. a) Ermitteln Sie die Transitionsmatrix () t, d.h. die ösung x() t () t x b) Skizzieren Sie den Verlauf der Trajektorien (mit Angabe des Richtungssinnes für wachsende Zeiten t) in der x x-ebene für folgende Anfangszustände: x () (), x. Hierbei muss der asymptotische Verlauf der Trajektorien (t ) erkennbar sein! Aufgabe 3: Betrachten Sie folgendes System mit der Eingangsgröße ut ( ) und der Ausgangsgröße y( t ) : du y u Ist das System linear? Begründen Sie Ihre Antwort mathematisch.