Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

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Damian Schubert
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1 Private orlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf ollständigkeit 3.4. Systeme linearer Gleichungen mit zwei ariablen efinition Lineare Gleichungen, die durch das Zeichen " " verknüpft werden, bilden ein lineares Gleichungssystem. ie Lösung eines linearen Gleichungssystems ist ein Zahlenpaar. Es ist Element der Lösungsmenge L der ersten Gleichung und zugleich Element der Lösungsmenge L der zweiten Gleichung. ie Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems ist also die Schnittmenge der Lösungsmengen L und L der einzelnen Gleichungen: Graphische Lösung linearer Gleichungssysteme ie beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems mit den ariablen x und y beschreiben im Koordinatensystem zwei Geraden g und g. on Sonderfällen abgesehen haben diese immer einen Schnittpunkt S. Mit Hilfe der Steigungsfaktoren und der y- Achsenabschnitte kann man die Geraden zeichnen und aus der Zeichnung die Koordinaten des Schnittpunktes ablesen. y g S g Aus der Graphik erkennt man: An jeder Stelle x sind 0 die Funktionswerte f(x) und g(x) verschieden. Nur an der Stelle x 0, die den Schnittpunkt der Geraden kennzeichnet, sind die Funktionswerte der beiden Funktionen gleich. Folglich müssen die Koordinaten des Schnittpunktes S dieser Geraden das Gleichungssystem erfüllen. x 0 x Als Schnittpunkt liest man ab: S (4 ) Also gilt: L = {(4 )} as Gleichsetzungsverfahren as Lösungsprinzip für lineare Gleichungssysteme besteht darin, aus zwei Gleichungen mit zwei ariablen eine einzige Gleichung mit einer ariablen zu erhalten, deren Lösung man durch Äquivalenzumformung bestimmen kann. Man sagt, eine ariable wird eliminiert. Am einfachsten ist dies, wenn beide Gleichungen in der Normalform gegeben sind. Gleichung I y = x + 4 Gleichung II y = 3x Gleichsetzen der Rechtsterme liefert eine Bedingungsgleichung für die gesuchten x-werte: x + 4 = 3x 5x = 5 x = Einsetzen in I: y = + 4 y = Lösungsmenge: L = {( )} Grundsätzlich können beide Gleichungen aber auch nach anderen, jedoch gleichen Termen aufgelöst werden.

2 Private orlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf ollständigkeit as Einsetzungsverfahren Wir gehen wieder von einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei ariablen aus. Um daraus eine Gleichung mit einer ariablen zu erhalten, genügt es, eine Gleichung nach x oder nach y aufzulösen und den dafür erhaltenen Term für diese ariable in der anderen Gleichung einzusetzen. Gleichungssystem: I x 4 y + = 0 II 5 x 3 y + = 0 Aus I: x = 4y x = y 5 In II: 5 (y 5) 3 y + = 0 y 5 3 y + = 0 7 y = 4 y = In I: x = 5 x = L = {( )} as Additionsverfahren as Ziel, aus zwei Gleichungen mit zwei ariablen eine Gleichung mit einer ariablen zu erhalten, lässt sich auch erreichen, indem man die beiden Linksterme und die beiden Rechtsterme addiert. I x y = 5 II 4 x + y = 7 Bei der Addition der Gleichungen fällt in diesem Fall die ariable y weg. Man sagt: urch Addition der Gleichungen wird die ariable eliminiert. I + II x + 4x + ( y) + y = ( 5) + ( 7) 6 x = x = In I: ( ) y = 5 y = 0,5 L = {( 0,5)} eterminanten ie allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems lautet: I a x + b y = c II a x + b y = c Anordnungsschema der Formvariablen a b c a b c In diesem linearen Gleichungssystem treten folgende eterminanten auf: x-spalte y-spalte Lösungsspalte a b = a b a b = Koeffizientendeterminante a b c b x = c b c b = x-eterminante x c b a c y = a c a c = y-eterminante y a c c c ie eterminanten x und y können sehr einfach gewonnen werden, indem man in der Koeffizientendeterminante die x-spalte bzw. die y-spalte x = b b durch die Lösungsspalte ersetzt. a a y = b b c c a a

3 Private orlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf ollständigkeit as eterminantenverfahren Mit Hilfe der eterminanten lässt sich die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems und damit die Lage der zugehörigen Geraden zueinander übersichtlich darstellen. Wir gehen von den obigen Gleichungen aus. (a b a b ) x = c b c b (a b a b ) y = c a c a x = x y = y abei gilt die übliche Fallunterscheidung:. Fall: 0: x = x y y = ie Geraden schneiden sich. Es gibt genau eine Lösung. L = {( x y ) } für 0 Cramer'sche Regel. Fall: = 0: x = x y = y x = 0 y = 0 ie Geraden sind identisch. 0 x = 0 0 y = 0 Es gibt unendlich viele Lösungen. L = { (x y) a x + b y + c = 0 } x 0 y 0 ie Geraden sind parallel. 0 x = x 0 y = y Es gibt keine Lösung: L =

4 Private orlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf ollständigkeit Übung: Gleichungssysteme a) I x 3y + 3 = 0 b) I 3x y = 7 II x = 3 II 3x = c) I 5a + 3b = d) I 7u + 3v = 3 II 4a 8b = II 9u + 8v = 83.0 Um die Abhängigkeit der Stromstärke I von der Spannung U bei zwei U in kleinen Elektromotoren zu finden, I in ma wird folgendes Messprotokoll aufgenommen: I in ma Gib beide Funktionsterme an.. Zeichne ein Schaubild und begründe, warum jeweils eine Funktion vorliegt. x-achse: cm = y-achse: cm = ma.3 Welche Werte von I sind für U = 70 zu erwarten?.4 Tatsächlich wird für U = 70 die Stromstärke I = 0 ma und I = 86 ma gemessen. Wie groß ist jeweils der prozentuale Fehler?.5 Bei welcher Spannung fließt im Motor ein um ma stärkerer Strom als im Motor? erwende ein Gleichungssystem..6 Berechne für beide Motoren die zulässige Höchstspannung U max, wenn die Stromstärke in beiden Fällen ma nicht überschreiten darf. 3.0 Eine Spielwarenfabrik hat für einen Großhändler n = 390 Schachteln zu Gebinden mit 5 bzw. 35 Stück zu verpacken. Zusammen entstehen Gebinde. 3. Zu wie vielen Gebinden jeder Art können die Schachteln verpackt werden, wenn alle Schachteln vollständig gefüllt werden? 3. Eine kleine erpackungsschachtel kostet,45, eine große,85. Wie viel muss die Spielwarenfabrik für das erpackungsmaterial berechnen? 3.3 Löse die Aufgabe auch graphisch. 3.4 Zeige, dass für eine beliebige Anzahl zu verpackender Schachteln gilt: x = 40 n y = n 3 00

5 Private orlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf ollständigkeit Lösungen a) I x = 3y 3 II x = 3 I = II 3y 3 = 3 y = In II x =,5 L = {(,5 )} b) I 3x = y 7 II 3x = I = II y 7 = y = 9 In II x = 3 3 c) I a = 3 b 5 5 II a = 3 + b I = II 3 6 b = 3 + b b = In II a = 3 + ( 6 ) a = d) I 3v = 3 7u II 3v = 33 36u L = {(3 9)} 3 7 L = {( 6 )} 3 3 I = II 3 7u = 33 36u u = In I 3v = 3 7 v = L = {( )}. I = 5 ma ma U I = U I =,5 ma U I =, ma U. Jedem Wert I ist ein und nur ein Wert U zugeordnet..3 I = 5 ma I = 84 ma für U = 70.4 I = II = I + ma II I =,5 ma.6 0% = 4,8 % I = 84 U I =, ma II in I: U =, U = 33,33 5 ma U < ma = U < = 73,3 ma U < ma = U < = 9,7,5 ma ma U U + ma 0% =,4 % U in I in ma

6 Private orlesungsaufzeichnungen Kein Anspruch auf ollständigkeit 3. Anzahl kleine Schachteln: x GI = IN IN Anzahl große Schachteln: y I 5x + 35y = 390 I 5x + 35y = 390 II x + y = II y = x II in I: 5x + 35 ( x) = 390 x = 3 y = 9 L = {(3 9)} Es sind drei kleine und neun große Schachteln. 3. P =,45 3 +,85 9 = 3.3 vgl. Zeichnung 3.4 Anzahl kleine Schachteln: x GI = Q I QI Anzahl große Schachteln: y I 5x + 35y = n I 5x + 35y = n II x + y = II y = x II in I: 5x + 35 ( x) = n x = 4 0 n n 300 y = L = {( 40 n n 300 )}

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