Regelungs- und Systemtechnik 1 - Übung 6 Sommer 2016

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1 4 6 Fachgebiet Regelungstechnik Leiter: Prof. Dr.-Ing. Johann Reger Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 Vorbereitung Wiederholen Sie Vorlesungs- und Übungsinhalte zu folgenden Themen: Standardregelkreis Hurwitz-Kriterium Zusammenhang von Ortskurve und Bodediagramm einer Übertragungsfunktion Kriterium von Cremer, Leonhard und Michailov Nyquist-Kriterium Aufgabe Gegeben ist das Polynom P(s) = s n + a n s n +...+a s+a mit s C, a i R und n = 3. Abb. zeigt die Ortskurve von P für s = jω, ω R; der Pfeil zeigt in Richtung wachsender Frequenz ω. a) Bestimmen Sie lim ω arg s (P(jω)). b) Entscheiden Sie nach dem Satz von Cremer, Leonhard und Michailov, ob P(s) ein Hurwitzpolynom ist. c) Ermitteln Sie aus der Ortskurve den Wert des Koeffizienten a. Für welche Werte von a R ist P(s) ein Hurwitzpolynom? d) Das Polynom werde nun mit einem Faktor α = multipliziert. Wie verändert der Faktor die Lage der Nullstellen bezüglich der imaginären Achse? Überprüfen Sie Ihre Aussage mit dem Satz von Cremer, Leonhard und Michailov. 2 Ortskurve P(jω) Abbildung : Ortskurve von P(jω) (Dr. Kai Wulff) Seite 2. Juni 27

2 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 Aufgabe 2 Gegeben ist der Standardregelkreis mit der jeweils angegebenen Übertragungsfunktion der offenen Ketten L(s) sowie deren Ortskurve. Ist die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises für die angegebene Verstärkung K p BIBO-stabil? Bestimmen Sie durch Ablesen und kurzer Rechnung jeweils den Wertebereich K p >, für die die Führungsübertragungsfunktion BIBO-stabil ist. a) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L (s) = K p s(s+)(s+ 2) Für K p = ist die Ortskurve L (jω) in Abb. 2 dargestellt Abbildung 2: Ortskurve L (jω) (Dr. Kai Wulff) Seite 2 2. Juni 27

3 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 b) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L 2 (s) = 2K p (s+.2) (s 2 + 2s+)(s+4)(s 2 +.2s+.) Für K p = 2 ist die Ortskurve L 2 (jω) in Abb. 4 dargestellt Abbildung 3: Ortskurve L 2 (jω) c) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L 3 (s) = K p (s+24) (s+3)(s+)(s.5) Für K p =, 5 ist die Ortskurve L 3 (jω) in Abb. 4 dargestellt Abbildung 4: Ortskurve L 3 (jω) (Dr. Kai Wulff) Seite 3 2. Juni 27

4 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 d) Übertragungsfunktion der offenen Kette: L 4 (s) = K p s+ es Für K p =.2 und ω ist die Ortskurve L 4 (jω) in Abb. 5 dargestellt Abbildung 5: Ortskurve L 4 (jω) (Dr. Kai Wulff) Seite 4 2. Juni 27

5 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 Aufgabe 3 Gegeben ist der Standardregelkreis mit der Regelstrecke mit Übertragungsfunktion G(s) = 2 (5s+)(3s+ )(s+) und dem P-Regler C(s) = K p. Konstruktion der Orstkurve L(jω) der offenen Kette a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Ortskurve L(jω) mit der reellen Achse in Abhängigkeit des Parameters K p. Hinweis: Ermitteln Sie zunächst die Frequenz ω π, zu welcher die Kurve die reelle Achse schneidet (Imaginärteil = ). b) Bestimmen Sie L(jω π ), lim ω L(jω) und lim ω L(jω) für K p = 5. Skizzieren Sie nun die Ortskurve L(jω). Hinweis: Bedenken sie hierbei den Phasengang der offenen Kette, welcher durch die Übertragungsfunktion bekannt ist. Stabilität des Führungsverhaltens c) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Führungsverhaltens T(s). Bestimmen Sie mit dem Hurwitz-Kriterium denjenigen Wertebereich der Verstärkung K p R, für den das Führungsverhalten BIBO-stabil ist. d) Prüfen Sie die Stabilität des Führungsverhaltens für K p = 5 mittels des Nyquistkriteriums. e) Bestimmen Sie mit dem Nyquist-Kriterium denjenigen Wertebereich der Verstärkung K p R, für den das Führungsverhalten BIBO-stabil ist. (Dr. Kai Wulff) Seite 5 2. Juni 27

6 Regelungs- und Systemtechnik - Übung 6 Sommer 26 Aufgabe 4 Gegeben sei die offene Kette L(s) bestehend aus P-Regler und T 2 -Strecke: L(s) = Abbildung 6 zeigt die Ortskurve L(jω) für K p = 4. K p (s )(s+3) Abbildung 6: Ortkurve L(jω) für K p = 4 a) Entscheiden Sie anhand des Nyquist-Kriteriums, ob das Führungsverhalten BIBO-stabil ist. Bestimmen Sie die kritische Kreisverstärkung. b) Überprüfen Sie Ihre Aussage von a) durch Anwendung des Hurwitz-Kriteriums. Als Lernkontrolle zu Hause nachbereiten (Dr. Kai Wulff) Seite 6 2. Juni 27