Cox-Regression. Ausgangspunkt Ansätze zur Modellierung von Einflussgrößen Das Cox-Modell Eigenschaften des Cox-Modells

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1 Cox-Regression Ausgangspunkt Ansätze zur Modellierung von Einflussgrößen Das Cox-Modell Eigenschaften des Cox-Modells In vielen Fällen interessiert, wie die Survivalfunktion durch Einflussgrößen beeinflusst wird, die im Lebensdauerversuch mit erfasst wurden. Aus dem Modul ist bekannt, dass sich die mittlere Lebensdauer die Standardabweichung der Lebensdauer nur dann mit einfachen Methoden schätzen lassen, wenn ein bestimmtes parametrisches Modell für die Verteilung der Lebensdauer unterstellt werden kann. Die Modellierung des Einflusses bestimmter Größen auf die Lebensdauer gelingt dagegen in vielen Fällen ohne die Unterstellung eines Verteilungsmodells. Eine Methode dazu, die Cox-Regression, wird in diesem Modul vorgestellt. Ausgangspunkt Um die mittlere Lebensdauer die Standardabweichung der Lebensdauer schätzen zu können, hatten wir im Modul einige Modellannahmen machen müssen, nämlich, dass eine Weibull-Verteilung mit der Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion vorliegt. Damit war eine Schätzung von über die Schätzung der Parameter der Verteilung möglich. In vielen Fällen lässt sich zu den vorliegenden Daten kein parametrisches Modell für die Verteilung der Lebensdauer finden, das einerseits die Daten hinreichend gut beschreibt, andererseits aber statistisch handhabbar ist. Ein typisches Beispiel dafür ist die Verteilung der menschlichen Lebensdauer, die wir im Modul kennen gelernt haben. In solchen Fällen muss man sich mit einer Schätzung von begnügen (z.b. mit den Verfahren aus dem Modul ), ohne die Möglichkeit einer formelmäßigen Darstellung zu haben. Trotzdem interessiert oft, wie durch Einflussgrößen beeinflusst wird, die im Lebensdauerversuch mit erfasst wurden. Das folgende Beispiel verdeutlich dies. Beispiel: Beispiele für Einflussgrößen in Lebensdauerversuchen Die Verteilung der menschlichen Lebensdauer ist, wie wir im Modul gesehen haben, für Männer Frauen unterschiedlich. Wahrscheinlich unterscheidet sie sich auch bei verschiedenen gesellschaftlichen Gruppen oder Berufsgruppen sicher hat sie sich in den letzten 100 Jahren mit dem Geburtsjahr verändert. Das Lampenexperiment könnte man noch einmal mit höherer oder niedrigerer Spannung als den bei uns üblichen 220 V durchführen würde finden, dass die Lebensdauern tendenziell bei höheren Spannungen, also bei Überlastung, kürzer sind Page 1

2 bei niedrigeren Spannungen größer. Die Heilungsdauer bei einer Therapie mit einem Medikament hängt wahrscheinlich von der Art des Medikaments der Dosierung ab, oder auch von Geschlecht Alter andern Merkmalen des behandelten Patienten. Ansätze zur Modellierung von Einflussgrößen An der Abhängigkeit der Verteilung der Lebensdauer von einer oder mehreren Einflussgrößen ist man oft mehr interessiert als am Verlauf der Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion selbst. D.h. man ist an einem Parameter interessiert, der den Unterschied der Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktionen bei Veränderung der Einflussgrößen beschreibt. Sei die Basis-Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion (für eine bestimmte Kombination der Werte der Einflussgrößen), dann soll der Parameter angeben, wie sich für eine andere Kombination der Werte der Einflussgrößen von unterscheidet. Die Ansätze scheiden aus, weil dann nicht mehr auf beschränkt wäre. Aber der Ansatz führt für jedes zu einer Funktion, die die Eigenschaften einer Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion hat. überschneiden sich nicht. Für gilt für alle, d.h. für jede Lebensdauer ist die Überlebenswahrscheinlichkeit unter kleiner als unter ; umgekehrt gilt für. Das Cox-Modell Gemäß Tabelle im Modul gilt für die Hazardrate Setzt man ein, dann erhält man wegen Page 2

3 Unserem Ansatz entspricht also der Ansatz, bei dem die Hazardrate der Basis-Hazardrate (die im Folgenden nicht weiter interessiert daher auch nicht geschätzt wird) proportional ist (proportional hazard). Den Parameter modellieren wir nun als Funktion der in die Untersuchung einbezogenen Einflussgrößen, in der Regel linear als. Dabei kann sich ein negativer Wert ergeben, aber wir fordern. Deshalb wählen wir den Ansatz Wir bezeichnen als linearen Prediktor unser Modell ist nun bzw. mit Page 3

4 Unser Modell wurde zuerst von Cox (1972) vorgeschlagen heißt daher Cox-Modell; das darauf beruhende Verfahren wird oft Cox-Regression genannt. Eigenschaften des Cox-Modells Da nur der Unterschied zwischen durch einen Parameter beschrieben wird, aber selbst nicht, spricht man auch von einem semiparametrischen Ansatz. Er beschreibt, wie sich der durch beschriebene Unterschied zwischen den Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktionen aus den Werten der in der Untersuchung einbezogenen Einflussgrößen ergibt. Diese Einflussgrößen können quantitativ sein (wie etwa die Spannung in unserem Lampenbeispiel), oder auch qualitativ (wie etwa Produzenten der Lampen oder verschiedene Betriebsbedingungen). Im Statistiklabor kann die Cox-Regression mit der Funktion coxph aus dem R-Package "survival" durchgeführt werden. Sie erwartet eine Datenmatrix, die neben den beobachteten Zeiten (Lebensdauern Zensierzeiten) für Page 4

5 jede beobachtete Zeit die Werte der in die Untersuchung einbezogenen Einflussgrößen enthält, eine Formel, die den gewünschten Ansatz für den linearen Prediktor beschreibt. Beispiel: Erweiterung des Lampenversuchs Wir kommen dazu auf das Lampenbeispiel (vgl. Modul ) zurück. Wir würden vermuten, dass für eine bestimmte Spannung, die größer als 220 V ist, z.b. =250 V, für alle ist, d.h. wir erwarten. Der Lebensdauerversuch wurde deshalb noch einmal bei 250 V bei 200 V durchgeführt, jeweils wieder mit Lampen für 1000 Sten. Die Datenmatrix (s. Tabelle unten) enthält vier Spalten: Spalte 2 mit den beobachteten Zeiten, Spalte 3 mit dem Indikatorwert 1 (falls es sich um eine Zensierung handelt) oder 0 (falls eine Lebensdauer vorliegt) Spalte 4 mit dem jeweiligen Wert der Spannung. Die Abb. unten zeigt die Kaplan-Meier-Schätzungen der drei Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktionen. Wie erwartet, fällt die für die größte Spannung (blau) am schnellsten ab, die für die kleinste (rot) am langsamsten. Der Ansatz bzw. ist daher vertretbar. Den Einfluss der Spannung modellieren wir als bzw. Geschätzte Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion für die Spannungen 200V (rot), 220V (orange) 250V (blau) Die Schätzung mit der Cox-Regression ergibt, also Wie erwartet ergibt sich für ein positiver Wert. Setzt man dann wird, d.h. bei Erhöhung der Spannung um 1 Volt sinkt die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zur Zeit von auf ; entsprechend ist die Hazardrate von auf erhöht. Die im Page 5

6 Lebensdauerversuch eingestellte Spannung 250 V ist um 30 V größer als 220 V, also ist Für jedes beträgt die Hazardrate bei 250 V das 1.71-fache der bei 220 V, die Überlebenswahrscheinlichkeit ist mit dem Exponenten 1.71 geringer. Umgekehrt ergibt sich bei 200 V mit -20 V der Wert, d.h. die Hazardrate beträgt das 0.70-fache der bei 220 V, die Überlebenswahrscheinlichkeit ist mit dem Exponenten 0.70 größer. Durchführung der Cox-Regression im Statistiklabor: Cox_Lampen.spf ( bce.spf ) (Den zugehörigen Datensatz finden Sie hier ( bd2.xls ).) Ausgehend von der Annahme, dass sich der Einfluss einer Größe auf die Lebensdauer über die funktionale Beziehung modellieren lässt, wurde in diesem Modul das Cox-Modell zur Schätzung von vorgestellt. Weil die Berechnungen relativ kompliziert sind, wurde hierzu ausschließlich das Statistiklabor verwendet. Da wir eine funktionale Beziehung zwischen geschätzt haben, können wir auch für andere, nicht untersuchte Werte von Spannungsdifferenzen ermitteln, sollten aber beachten, dass wir eine lineare Abhängigkeit des Parameters von vorausgesetzt haben, ohne diese Modellannahme zu validieren. (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 6

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