Grundbegriffe der Informatik Tutorium 13

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 13 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 3. Februar 2015 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Gliederung 1 Turingmaschinen Konfiguration Schritt Berechnungen Akzeptoren aufzählbar vs entscheidbar 2 Komplexität Berechnungskomplexität Komplexitätsklassen Unentscheidbare Probleme Busy-Beaver 3 Tipps zum Übungsblatt Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

3 partielle Funktionen partielle Funktion Eine partielle Funktion f ist eine rechtseindeutige Relation (die nicht linkstotal sein muss). Man schreibt f : X Y. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

4 Turingmaschinen Turingmaschine Eine Turingmaschine T = (Z, z 0, X, f, g, m) ist definiert durch eine Zustandsmenge Z einen Anfangszustand z 0 Z ein Bandalphabet X eine partielle Zustandsüberführungsfunktion f : Z X Z eine partielle Ausgabefunktion g : Z X X eine partielle Bewegungsfunktion m : Z X { 1, 0, 1} wobei f, g und m für die gleichen Paare (z, x) Z X (nicht) definiert sind. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

5 Turingmaschinen häufig L statt -1 und R statt 1 für Kopfbewegungen Eingabe steht zu Beginn auf dem Band Kopf startet meist auf dem ersten Eingabesymbol Das Blanksymbol X markiert leere Felder (meistens alle bis auf endlich viele) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

6 Beispiel-Turingmaschine als Graph: 1 1R 1 1R 1 1L 1 1L 1 XR R 1L L A B C D E X 1R als Tabelle: A B C D E,R,C 1,L,D,L,E 1 X,R,B 1,R,B 1,R,C 1,L,D 1,L,E X 1,R,A Was gibt diese Turingmaschine für die Eingabe 1 k aus? Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

7 Lösung Ausgabe: 1 k 1 k Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

8 Aufgabe Geben Sie eine Turingmaschine an, die bei Eingabe eines Wortes w {0, 1} + das Wort w 1 = xw auf dem Band produziert. Dabei soll das x an die Stelle des ersten Symbols von w geschrieben werden und jedes Symbol von w um ein Feld nach rechts verschoben werden. Ihre Turingmaschine darf maximal 6 Zustände haben. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

9 Lösung 0 0R B 0R 0 1R 0 xr 1 0R A 1 xr 1R C 1 1R Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

10 Turingmaschinen Konfiguration Konfiguration Die Konfiguration c = (z, b, p) einer Turingmaschine ist ihr Gesamtzustand der sich aus dem aktuelle Zustand z Z der Steuereinheit der aktuellen Bandbeschriftung (formalisiert durch b : Z X) und der aktuellen Position p Z des Kopfes zusammensetzt. Darstellung einer Konfiguration: (z 4 )11 aktueller Zustand ist z 4 und der Kopf steht auf der vorletzten 1. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

11 Turingmaschinen Schritt Schritt einer Turingmaschine Wenn c = (z, b, p) die Konfiguration einer Turingmaschine T ist und für den aktuellen Zustand und das aktuelle Bandsymbol (z, b(p)) die partiellen Funktionen f, g und m definiert sind, kann T einen Schritt durchführen. T geht dabei in die Konfiguration c = (z, b, p ) mit z = f (z, b(p)) i Z : b (i) = { b(i) p = p + m(z, b(p)) g(z, b(p)) falls i p falls i = p über. Wir schreiben c = 1 (c). (für Konfiguration nach k Schritten k (c) ). Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

12 Turingmaschinen Berechnung Endkonfiguration Falls für eine Konfiguration c die Nachfolgekonfiguration 1 (c) nicht definiert ist (kein Schritt möglich), dann ist c Endkonfiguration und die Turingmaschine hält. endliche Berechnung Eine endliche Berechnung ist eine endliche Folge von Konfigurationen c 0, c 1, c 2,..., c t, so dass für alle 0 < i t gilt: c i = 1 (c i 1 ). haltende Berechnung Eine haltende Berechnung ist eine endliche Berechnung, deren letzte Konfiguration eine Endkonfiguration ist. Es gibt unendliche Berechnungen. Diese heißen auch nicht haltend. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

13 Turingmaschinen als Akzeptor es gibt eine Menge F Z von akzeptierenden Zuständen ein Wort w wird akzeptiert, wenn die Turingmaschine bei Eingabe w hält und der Zustand der Endkonfiguration ein akzeptierender ist die akzeptierte formale Sprache L(T ) ist die Menge aller akzeptierten Worte Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

14 aufzählbar vs entscheidbar Für eine akzeptierte formale Sprache L(T ) gilt: für alle w L(T ) hält T in einem akzeptierenden Zustand Was passiert für w / L(T )? Zwei Möglichkeiten: T hält in einem nicht akzeptierenden Zustand T hält überhaupt nicht (Endlosschleife) entscheidende Turingmaschine Ein Turingmachine T, die eine Sprache L akzeptiert und für jede Eingabe hält, entscheidet die Sprache L. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

15 aufzählbar vs entscheidbar entscheidende Turingmaschine Ein Turingmachine T, die eine Sprache L akzeptiert und für jede Eingabe hält, entscheidet die Sprache L. aufzählbare Sprache Eine formale Sprache L heißt aufzählbar, falls es eine Turingmaschine T gibt, die L akzeptiert. (T muss nicht für jede Eingabe halten) entscheidbare Sprache Eine formale Sprache L heißt entscheidbar, falls L von einer Turingmaschine T entschieden wird. (T hält für jede Eingabe) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

16 Berechnungskomplexität Zeitkomplexität time T (w) = die Anzahl an Schritten einer Turingmaschine T bis zu einer Endkonfiguration für Eingabe w. Time T (n) = max{time T (w) w A n } Time T heißt Zeitkomplexität von T. Raumkomplexität space T (w) = die Anzahl der Felder, die während der Berechnung für Eingabe w benötigt werden. Space T (n) = max{space T (w) w A n } Space T heißt Raumkomplexität von T. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

17 Berechnungskomplexität Zusammenhang von Zeit und Raum Da eine Turingmaschine in n Schritten nur maximal n + 1 Felder besuchen kann, gilt: polynomielle Komplexität space(w) max( w, 1 + time(w)) Wenn für eine Turingmaschine T ein Polynom p(n) existiert, so dass Time T (n) O(p(n)), dann ist die Zeitkomplexität Space T (n) O(p(n)), dann ist die Raumkomplexität von T polynomiell. Eine Turingmaschine mit polynomieller Laufzeit hat nur polynomiellen Platzbedarf, anders herum gilt dies aber nicht! Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

18 Komplexitätsklassen Komplexitätslasse Eine Komplexitätslasse ist eine Menge von Problemen (z.b. ist ein Wort in einer Sprache oder nicht). P P ist die Menge aller Entscheidungsprobleme, die von Turingmaschinen mit polynomieller Zeitkomplexität entschieden werden können. PSPACE PSPACE ist die Menge aller Entscheidungsprobleme, die von Turingmaschinen mit polynomieller Raumkomplexität entschieden werden können. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

19 Komplexitätsklassen P und PSPACE Es gilt: P PSPACE in polynomieller Zeit nur polynomiell viele Felder besuchbar Gilt P = PSPACE? eine Turingmaschine mit polynomiellem Platzbedarf kann exponentiell viele Schritte machen aber vielleicht gibt es eine Turingmaschine mit polynomiellem Zeitbedarf die das gleiche Problem entscheidet man weiß nicht ob P = PSPACE oder P PSPACE Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

20 Unentscheidbare Probleme Codierung einer Turingmaschine Man kann jede Turingmaschine über dem Alphabet {1, 0} codieren und es gibt eine Turingmaschine, die überprüft ob eine Codierung eine gültige Turingmaschine ist. Universelle Turingmaschine Eine universelle Turingmaschine U erhält als Eingabe zwei Worte [w 1 ][w 2 ] und tut folgendes: 1 sie überprüft ob w 1 eine Codierung einer Turingmaschine T ist 2 falls ja, simuliert sie T mit w 2 als Eingabe 3 falls T endet, liefert U das zurück, was T geliefert hat Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

21 Unentscheidbare Probleme Halteproblem Das Halteproblem ist die formale Sprache H = {w A w ist Codierung einer Turingmaschine T und T w (w) hält} H ist unentscheidbar Das Halteproblem ist unentscheidbar, d.h. es gibt keine Turingmaschine, die H entscheidet. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

22 Unentscheidbare Probleme Angenommen H ist entscheidbar: Dann existiert die Turingmaschine T H mit: { 1 falls w gültige Codierung und T w (w) hält T H (w) = 0 sonst Dann existert auch: { 1 falls T H (w) = 0 T d (w) : = Endlosschleife falls T H (w) = 1 { 1 falls T H (d) = 0 Dann gilt: T d (d) = Endlosschleife falls T H (d) = 1 { 1 falls T d (d) nicht hält = Endlosschleife falls T d (d) hält Widerspruch! Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

23 Busy-Beaver Bibermaschine Eine n-bibermaschine ist eine Turingmaschine T mit folgenden Eigenschaften: Bandalphabet ist X = {, 1} T hat n + 1 Zustände, wobei in n Zuständen für jedes Bandsymbol der nächste Schritt definiert ist, einer dieser n Zustände der Startzustand ist und in einem weiteren Zustand für kein Bandsymbol der nächste Schritt definert ist (Haltezustand) Wenn man die Turingmaschine auf dem leeren Band startet hält sie nach endlich vielen Schritten Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

24 Busy-Beaver fleißiger Biber Eine Bibermaschine heißt fleißiger Biber, wenn sie unter allen Bibermaschinen mit gleicher Zustandsanzahl die maximale Anzahl Einsen auf dem Band hinterlässt. Busy-Beaver-Funktion Die Busy-Beaver-Funktion ist wie folgt definiert: bb :N + N + bb(n) = die Anzahl von Einsen, die ein fleißiger Biber mit n + 1 Zuständen am Ende auf dem Band hinterlässt Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

25 Busy-Beaver Busy-Beaver-Funktion Bekannt ist: bb(3) = 6 bb(4) = 13 bb(5) 4098 bb(6) Eigenschaften der Busy-Beaver-Funktion Für jede berechenbare Funktion f : N + N + gibt es ein n 0 N 0, so dass für alle n n 0 gilt: bb(n) > f (n) Die Busy-Beaver-Funktion bb(n) ist nicht berechenbar Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26

26 Tipps zum Übungsblatt Strukturelle Induktion: siehe Folien von Übung 12 Stelligkeit Anzahl von Argumenten einer Funktion bei vollständiger Induktion ist die einzige Übergangsfunktion einstellig: f (n) = n + 1 bei Induktion über die Wortlänge gibt es mehrere Übergangsfunktionen (auch alle einstellig): x A : f x (w) = w x beim 3. Beispiel ist eine Menge induktiv definiert: 2 Atome (10 und 15) und 2 zweistellige Übergangsfunktionen: f 1 (z 1, z 2 ) = z 1 z 2 und f 2 (z 1, z 2 ) = z 1 + z 2 IA für alle Atome IV für x 1, x 2,..., x k Menge, mit k = max Anzahl der Argumente einer Übergangsfunktion (x 1, x 2,... müssen nicht verschieden sein) IS für alle Übergangsfunktionen Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Februar /26