2. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren

Transkript

1 2. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorium Nr. 9 Alexis Tobias Bernhard Fakultät für Informatik, KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Vorstellung Name: Alexis Bernhard Alter: 22 Jahre alt Studium: Bachelor Informatik im 8. Semester Mail: Internetseite mit Tutfolien: alexis.ars-felidae.com Alexis Tobias Bernhard Tutorium 13

3 Programm für heute Organisatorisches Fehlerkorrigierende Codes Boolesche Algebra 3

4 Organisatorisches Bei Fragen direkt fragen, wenn die Frage auftaucht! Die Tutoriumsfolien erheben keinen Anspruch auf absolute Korrektheit! Klausur Nächstes Frühjahr (normalerweise Ende Februar) Tutorium besuchen & Übungsblätter machen! Belohnung für beste Übungsblätter Alexis Tobias Bernhard Tutorium 13

5 Übungsschein Freiwillige Bearbeitung von Übungsblättern Der Übungsschein gibt zwei Bonuspunkte auf eine bestandene Klausur Zu erfüllende Bedingungen: Rechtzeitige Abgabe von min. 10 / 12 Übungsblättern Erreichen von >50% aller Punkte auf allen Übungsblättern zusammen Teilnahme an den Tutorien bei denen das Übungsblatt besprochen wird Blatt wird alleine bearbeitet Alexis Tobias Bernhard Tutorium 13

6 Fehlerkorrigierende Codes Paritätsbit Hamming - Code 6

7 Paritätsbit Anhängen eines Paritätsbits bei der Übertragung einer binären Zahl Z (Codewort), um 1-Bit Fehler erkennen zu können Berechnung des Paritätsbits vor Übertragung (Codierung): Addieren aller Ziffern von Z und Überprüfung ob das Ergebnis gerade (=0) oder ungerade ist (=1) ( XOR von allen Ziffern berechnen) Beispiel: = 1 (Paritätsbit) Überprüfung des Paritätsbits nach Übertragung (Decodierung) Fortsetzung Bsp. : = 0 1 min. 1 Bit ist falsch übertragen worden (gilt auch für Paritätsbit) 7

8 Hamming-Code Erkennung und Korrektur von 1-Bit Fehlern Erkennung von 2-Bit Fehlern Hamming-Distanz ist 3 Ein Prüfbit reicht nicht zur Korrektur von 1-Bit Fehlern 8

9 Hamming-Code Ein Codewort besteht aus k Prüfbits und aus m Datenbits Die Prüfbits stehen an den Zweierpotenzen-Stellen, k abhängig von m Es muss gelten: 2 k m + k + 1 9

10 Hamming-Code Konstruktion k 1 = Prüfbit über alle ungeraden Stellen 1, 3, 5, 7,... k 2 = Prüfbit über die Stellen 2, 3, 6, 7, 10, 11,... k 3 = Prüfbit über die Stellen 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15,.. k 4 = Prüfbit über die Stelle 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, Alexis Tobias Bernhard Tutorium Digitaltechnik

11 Beispiel Codierung Hammingcode mit 4 Datenbits und 3 Prüfbits Codewort hat 7 Bits m 4 m 3 m 2 k 3 m 1 k 2 k 1 Bestimmung der Prüfbits k 1 = m 1 m 2 m 4 = = 0 k 2 = m 1 m 3 m 4 = = 1 k 3 = m 2 m 3 m 4 = = 0 Codewort: Alexis Tobias Bernhard Tutorium Digitaltechnik

12 Fortsetzung Beispiel Decodierung Empfangenes Codewort: k 1 = k 1 m 1 m 2 m 4 = = 0 k 2 = k 2 m 1 m 3 m 4 = = 1 k 3 = k 3 m 2 m 3 m 4 = = 1 Alle Prüfbits nacheinander geschrieben (hier: k 3 k 2 k 1 ) ergeben die Stelle des fehlerhaften Bits. Ist das Codewort fehlerfrei, so ist k 3 k 2 k 1 = 000 k 3 k 2 k 1 = = 6 10 Fehler an 6. Position m 3 ist falsch Richtiges Codewort wäre

13 Erkennung von 2-Bit Fehlern Bei dem Syndrom k 3 k 2 k 1 = 100 kann sowohl ein 1-Bit Fehler an der 4. Position als auch ein 2-Bit Fehler an zwei unbekannten Positionen vorliegen Um 1-Bit Fehler von 2-Bit Fehlern unterscheiden zu können, fügt man dem Hamming-Code ein weiteres Paritätsbit hinzu 1-Bit Fehler: Erkennbar durch das Paritätsbit Erkennbar und korrigierbar durch den Hamming-Code 2-Bit Fehler: Nicht erkennbar durch das Paritätsbit Nicht korrigierbar, da die fehlerhaften Positionen nicht ermittelt werden können 13

14 Kein Fehler: Beispiele m 5 k 4 m 4 m 3 m 2 k 3 m 1 k 2 k 1 PB k 4 k 3 k 2 k 1 = 0000, PB ist korrekt 1-Bit Fehler 1-Bitfehler: m 5 k 4 m 4 m 3 m 2 k 3 m 1 k 2 k 1 PB k 4 k 3 k 2 k 1 = 0110, PB ist falsch Fehler an 6.Position 2-Bit Fehler m 5 k 4 m 4 m 3 m 2 k 3 m 1 k 2 k 1 PB k 4 k 3 k 2 k 1 = 0101, PB ist korrekt 2-Bit Fehler Alexis Tobias Bernhard Tutorium Digitaltechnik

15 Übungsaufgabe 1 Gegeben sind die beiden Codewörter: Codewort 1: Codewort 2: Prüfen Sie beide Codewörter auf 1-Bit Fehler. Geben Sie die zugehörigen Datenwörter an. 15

16 Boolesche Algebra Huntingtonsche Axiome Schaltalgebra Vollständige Operatorsysteme 16

17 Huntingtonsche Axiome e, n V (neutrale Elemente), a, b, c V gilt: Abgeschlossenheit: a b V a b V Kommutativgesetze: a b = b a a b = b a Distributivgesetze: a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) Neutrale Elemente: a n = a a e = a Inverse Elemente: a a = e ( a a V) a a = n 17

18 Schaltalgebra Boolesche Algebra mit V = {0, 1} und den Operationen Disjunktion ( ) und Konjunktion (, auch ) Wahrheitswert eines Ausdrucks ergibt sich durch Angabe einer Variablenbelegung Tautologie: Ausdruck, der für alle möglichen Belegungen wahr ist 18

19 Gesetze der Schaltalgebra Assoziativgesetze: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c Idempotenzgesetze: a a = a a a = a Absorptionsgesetze: a (a b) = a a (a b) = a De Morgansche Gesetze: a b = a b a b = a b 19

20 Darstellung als Funktionstabelle Idee: Eine boolesche Funktion ist durch ihren Funktionswert unter allen möglichen Variablenbelegungen charakterisiert Angabe als Tabelle mit 2n Zeilen bei n verschiedenen Variablen Wichtige Funktionen mit zwei Parametern: Disjunktion Konjunktion Implikation Äquivalenz Antivalenz (XOR) Funktionstabellen für diese Funktionen? 20

21 Darstellung im Operatorensystem Darstellung als algebraischer Ausdruck Immer möglich, wenn das Operatorensystem vollständig ist ( jede boolesche Funktion ist darstellbar) Beispiele für vollständige Operatorensysteme: Disjunktion und Negation Konjunktion und Negation NAND NOR Beweis der Vollständigkeit: Alle Operatoren eines vollständigen Operatorensystems im Operatorensystem darstellen 21

22 Wahrheitstabelle Boolescher Ausdruck Geg.: Wahrheitstabelle Ges.: Boolescher Ausdruck Lös.: Alle 1er der Tabelle als Konjunktion darstellen und diese Ausdrücke disjunktiv ( ) verknüpfen Alle 0er als Disjunktion darstellen und diese Ausdrucke konjunktiv ( ) verknüpfen Beispiel: a b c c = ab ab = (a b) (a b) Alexis Tobias Bernhard Tutorium Digitaltechnik

23 Boolescher Ausdruck Wahrheitstabelle Geg.: Boolescher Ausdruck Ges.: Wahrheitstabelle Lös.: Alle möglichen Belegungen auswerten Beispiel: a b c a b = c Alexis Tobias Bernhard Tutorium Digitaltechnik

24 Übungsaufgabe 2 Vereinfachen Sie die folgenden booleschen Ausdrucke soweit wie möglich: (a (b (a b))) (a b) b (b a) abc abc abc abc x xyz yzx qx qx xy Untersuchen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstabelle, ob die folgenden Aussagen A 1 und A 2 äquivalent sind: A1 = (((a b) c) b) c A2 = b c Welches Gesetz der Schaltalgebra gestattet die folgende Umformung? [(a b) b] [(a b) c] = (a b) (b c) 24

25 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! Gibt es noch Fragen? Alexis Tobias Bernhard Tutorium 13