Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6. Statistik-Tutorium. Lösungsskizzen Übung SS2005. Thilo Klein. Grundstudium Sommersemester 2008
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1 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 Lösungsskizzen Übung SS2005 Grundstudium Sommersemester 2008
2 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 Inhalt Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6
3 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 1 (1)a) Merkmalsträger Wohnbevölkerung von Thüringen am Stichtag der Volkszählung oder ein Einwohner in Thüringen (Einwohnermeldeamt) Merkmal bestimmte Eigenschaft der Merkmalsträger (Alter, Familienstand, EInkommen, etc.) Merkmalsausprägungen Altersjahr von 0 bis 100 (1)b) Grundgesamtheit (statistische Masse) örtlich (Thüringen) zeitlich (Stichtag der Volkszählung) sachlich (Wohnbevölkerung: alle gemeldeten)
4 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 2a) Nominal-, Ordinal-, Kardinalskala Nominalskala: dient lediglich der Unterscheidung der Ausprägungen des Merkmals Ordinalskala: nicht nur Unterscheidung sondern auch Rangfolge (sinnvolle Reihenfolge) Kardinalskala: sinnvolle Interpretation des Abstandes zwischen Ausprägungen
5 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 2a) Intervall-, Verhältnis-, Absolutskala Intervallskala: Abstände zwischen den Ausprägungen werden verglichen (Nullpunkt und Einheit sind variabel) z.b. Temperatur (C, F ) Verhältnisskala: Intervallskala und natürlicher Nullpunkt (Einheit variabel, Nullpunkt variabel) z.b. Preis, Länge, Gewicht Absolutskala: Verhältnisskala mit natürlicher Einheit (Nullpunkt und Einheit sind fix) z.b. Stück-, Semesterzahl
6 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 2b) und c) stetig, quasistetig, diskret stetig: wenn zwischen 2 beliebigen Merkmalsausprägungen immer mind. eine weitere liegt quasistetig: diskretes Merkmal mit sehr vielen Ausprägungen (i.d.r. wie stetige Merkmale) diskret: alle nicht-stetigen Merkmale (i.d.r. endlich) häufbar häufbar: Merkmal hat mehrere Ausprägungen gleichzeitig
7 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 3 Bewerber Zulassung m w m w Studiengang I 70% Studiengang II 30% Studiengang III 50% % 50% 42% 58% Beachtung des Gesamtbildes notwendig. Es werden zwar prozentual mehr Frauen zugelassen, dies kommt jedoch ausschließlich durch die unterschiedlichen Gewichtung der Gruppen zustande.
8 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 4 Tabelle: Häufigkeitsverteilung j a j n j h j = n j n hj F(x)... Anteil der Merkmalsträger, deren Ausprägung kleiner oder gleich x ist.
9 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 4 Abbildung: Verteilungsfunktion
10 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 5 Abbildung: Histogramm
11 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 5 Abbildung: Summenhäufigkeitsfunktion
12 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 1 Abbildung: Histogramm
13 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 2 Tabelle: Häufigkeitsverteilung n j h j h j 360 BWL VWL WiWi WiPäd W/Recht BWL/IKM Winfo
14 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 2 Abbildung: Kreisdiagramm (pie chart)
15 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 2 alternativ Abbildung: Stabdiagramm (barplot)
16 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 3 a) F (15) = = 0.39 b) h(20 < x 30) = h(x 30) h(x > 20) = h(x 30) h(x 20) = F (30) F (20) = = 0.24
17 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 3 c) h(x > 40) = 1 h(x 40) = 1 F (40) = 0.06, da h(x > 40) + h(x 40) = 1 d) h(x 5) h(x 50) = h(x 5) + h(x 50) = h(x 5) + (1 h(x < 50)) = h(x 5) + (1 h(x 50)),da stetig = F (5) + 1 F (50) = 0.125
18 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 4 Tabelle: Häufigkeitsverteilung n j h j hj
19 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 4 Abbildung: Verteilungsfunktion
20 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) Aufgabe 4 Abbildung: Box plot
21 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 1 a) Quantile Quantile 0% 25% 50% 75% 100% c) Häufigkeitsverteilung a j hj c) Mittelwerte x failed=5,0 = ; x failed=4,3 =
22 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 1 Abbildung: Verteilungsfunktion
23 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 2a) Abbildung: Histogramm
24 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 2b) Summenhäufigkeitsfunktion l 1 j=1 h j + x r l 1 r l r l 1 h l F (x) = 0 x 5 x < x x < x < x x < x x < x 40 1 x > 40
25 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 2b) Abbildung: Verteilungsfunktion
26 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 3 a) Minimierung der Summe der absoluten Abstände n i=1 x i x 0,5 n i=1 x i y für alle y R Der Median minimiert die Summe der absoluten Abstände: x 0,5 = 1 2 (x n + x n ) = 100 b) Minimierung der Summe der quadrierten Abstände n i=1 (x i x) 2 n i=1 (x i y) 2 für alle y R Das arithmetische Mittel minimiert die Summe der quadrierten Abstände: x = 1 n n j=1 a j n j = 195
27 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 3
28 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 3
29 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 4 a) Harmonisches Mittel b) Arithmetisches Mittel ( n 1 x H = n = x i i=1 ) x = 1 n aj n j = 1 ( ) 4
30 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 5 a) Harmonisches Mittel fester Anlagebetrag (500 e pro Monat) unterschiedlicher Kaufkurs unterschiedliche Mengen ( n 1 x H = n = 12 x i i=1 ) 1 ( ) 1 = 96, 74
31 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) (4) (5) Aufgabe 5 b) Gewinn Kaufkurs = 96,74 e Endkurs = 100 e ( ) 100 Gewinn = , 74 1 = 202, 19
32 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) Aufgabe 1 z j = Geometrisches Mittel a j n j n j n j x G = ( n i=1 x i ) 1 n = n x 1 x 2 = 4 1, 75 1, 4 1, 29 1, 27 = 1, 41
33 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) Aufgabe 2a) Streuungsparameter Varianz = 1 n n i=1 (x i x) 2 = 2.25[TEUR 2 ] Standardabweichung = Varianz = 1.5[TEUR] Variationskoeffizient = Varianz x = 0.12 mittlere absolute Abweichung = 1 n n i=1 x i x 0.5 = 1.33[TEUR] Quartilsabstand = x.75 x.25 = 2.5[TEUR] Quartilsdispersionskoeffizient = x.75 x.25 x.5 = Spannweite = max(x) min(x) = 4[TEUR]
34 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) Aufgabe 2b) Lebensmittelgeschäft a j n j h j Spielwarengeschäft a j n j h j
35 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) Aufgabe 3 Häufigkeitsverteilung eines stetigen Merkmals Kl j ]5,10] ]10,20] ]20,25] ]25,30] ]30,40] h j c j = r j 1+r j x = k j=1 c jh j = s 2 = k j=1 (c j x) 2 h j = F (x.25 ) =.25 = l 1 j=1 h j + x r l 1 x.25 = x.75 = 27.5 r l r l 1 h l
36 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) Aufgabe 3 Summenhäufigkeitsfunktion l 1 j=1 h j + x r l 1 r l r l 1 h l F (x) = 0 x 5 x < x x < x < x x < x x < x 40 1 x > 40
37 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) Aufgabe 3 Abbildung: Histogramm
38 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (3) Aufgabe 3 Abbildung: Verteilungsfunktion
39 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 1a) { 0 l = 0 u l = l n 1 l n { 0 l = 0 v l = l i=1 x i n i=1 x i 1 l n l u l vl Jena l v Erfurt
40 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 1a) Abbildung: Lorenzkurve
41 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 1b) Interpretation: Punkt (u 4,v 4 ) gibt an, wieviel Prozent des Gesamtumsatzes der Baumärkte (jeweils für Erfurt und Jena) auf die 4 (80% kleinsten) Baumärkte mit dem geringsten Umsatz entfallen. Jena: auf die 80% kleinsten Baumärkte entfallen 60% des Umsatzes. Erfurt: auf die vier kleinsten Baumärkte entfallen nur 40% des Gesamtumsatzes.
42 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 1b) Gini-Koeffizient G = 2 i x i (n + 1) x i n x i G Jena = = G Erfurt = = Gkorr Jena = Gkorr Erfurt = n n 1 G = = 0.5 ; 0 G korr 1 G = Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve Fläche unter Diagonale
43 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 1c) Interpretation: Laut Ginikoeffizient ist die Konzentration in beiden Städten gleichgroß. Es liegt gegenüber den Lorenzkurven ein Informationsverlust vor - z.b. hat in Erfurt ein Baumarkt 60% des Gesamtumsatzes Konzentration in Erfurt höher?
44 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 2a) a j n j h j u l v l u l = v l = { 0 l = 0 l j=1 h j 1 l k { 0 l = 0 l j=1 a j h j n j=1 a j h j 1 l k
45 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 2a) Abbildung: Lorenzkurve
46 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 2b) Gini-Koeffizient G = 1 k j=1 ( v j 1 + v j ) hj = [( ) ( ) ] = 0.54 G korr = n n 1 G = = 0.6 9
47 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 4a) Kontingenztabelle b 1 b 2 b 3 n r h r a 1 n 11 n 12 n 13 a 2 n 21 n 22 n 23 a 3 n 31 n 32 n 33 a 4 n 41 n 42 n 43 a 5 n 51 n 52 n 53 n s h s
48 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 4a) Kontingenztabelle b 1 b 2 b 3 n r h r a a a a a n s h s
49 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 4b) Randhäufigkeiten h rs = n rs n t h r = h rj = 1 n h s = j=1 k i=1 h is = n s n t j=1 n rj = n r n
50 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 4c) Bedingte Häufigkeiten h(x = a r y = b s ) = h rs h s = n rs n s h(a 1 b 2 ) = n 12 n 2 = h(a 3 b 1 ) = n 31 n 1 = h(b 3 a 4 ) = n 43 n 4 = h(b 2 a 5 ) = n 52 n 5 =
51 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 1 Kontingenztabelle h rs = nrs n, (1 r k, 1 s t) n = 100 = l t r=1 s=1 n rs G/T b 1 b 2 b 3 h r m = a w = a h s
52 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 2 Kontingenztabelle X/Y b 1 b 2 h r a a h s
53 Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 Serie 5 Serie 6 (1) (2) (4) Aufgabe 4 Kontingenztabelle P/S b 1 b 2 b 3 n r a a a a a n s
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