Theoretische Informatik Mitschrift

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1 4. Reguläre Ausdrüce Theoretische Informati Mitschrift indutive Beschreibung von Sprachen, die durch endliche Automaten erennbar sind Definition 4.1: Sei Σ ein Alphabet. (a) Die Menge RA(Σ) der regulären Ausdrüce ist indutiv definiert durch (i) RA (großes Lambda) (ii) a RA a (iii) Mit, RA sind auch,, a * RA. (b) Regulären Ausdrücen werden durch die Funtion. : RA * als Semanti formale Sprachen zugeordnet: (i) := (ii) a :={a} (iii) := := * := * (c) Eine Sprache L * heißt regulär, falls es ein RA gibt mit. Reg bezeichne die Klasse der regulären Sprachen. Konvention: Präzedenzregeln, um Klammern zu sparen: * bindet stärer als bindet stärer als +. wird meist weggelassen a bc *= a b c* a bc* ={a} {b} {c}* a b *={a,b}* ab *= a b *={ab}*={,ab,abab,...} a b *abb a b * Definition 4.2: Zwei reguläre Ausdrüce α und β heißen äquivalent, in Zeichen: a~b, falls =. ~ ~ * ~ ~ *~ * * * * *~ * *~ * Lemma: {L * L endlich} Reg.

2 Beweis: Für L={w 1,..., w n } + mit n 1 gilt: L= w 1... w n Ferner gilt * ={ }, also L { }= w 1... w n * Außerdem gilt = q.e.d. Satz 4.1 (Kleene): Reg = L, DFA =L, NFA = L 3 Der Beweis erfolgt onstrutiv durch die Angabe von Verfahren zur Konstrution von NFAs aus regulären Ausdrücen und zur Herleitung von regulären Ausdrücen zu DFAs. Beweis: Reg L, NFA : indutiv über den Aufbau von RA Invariante: Zu jedem RA wird ein NFA bestimmt mit genau einem Endzustand, der vom Startzustand verschieden ist, wobei eine Transition in den Startzustand hereinführt bzw. aus dem Endzustand herausführt. Es soll gelten L =. ~ ~ Die folgende Konstrution liefert ein Syntheseverfahren für endliche Automaten. RA NFA (i) eine Transition (ii) a a Indutionsschluß: Für, RA seien, NFA, so daß L =, L = und und erfüllen die Invariante. Dann gilt: ~ ~ α + β ~ ~

3 α β ~ ~ ~ ~ α* ~ ~ q.e.d. Betrachte ab *aa * RA {a,b}. Falsch wäre die Sternonstrution ~ ~ Denn für ((ab)*aa)* erhielte man den Automat Dieser Automat erennt z.b. auch das Wort ab, aber ab ab *aa *.

4 Beweis: L, DFA Reg : Sei = Q,,,q 1, F DFA mit Q={q 1,..., q n },n 1. Für i, j {1,...,n} und {0,..., n} definieren wir: W ij :={w * w überführt q i in q j ohne Benutzung von q 1,...,q n als Zwischenzustände} Dann gilt: L = W n 1 j q j F Zeige, daß alle Mengen W ij. Dies ist eine endliche Vereinigung. regulär sind. Dann folgt, daß L auch regulär ist. Indutiv über : =0 :W 0 ij { }, da nur direte Übergänge erlaubt sind, außerdem für i= j : W 0 ij. 1:W 1 ij =W ij w i, 1 W 1, 1 * W 1, j Laut Indutionsvoraussetzung existieren reguläre Ausdrüce ij Damit folgt W 1 ij = ij i, 1 1, 1 * 1,i q.e.d. mit ij =W ij. Der Satz von Kleene liefert Synthese- und Analyseverfahren für endliche Automaten. Synthese: RA NFA DFA. Anwendung in Scannergeneratoren im Compilerbau. Programm als Programmtext als Symbol-/Toenfolge Zeichenfolge Scanner eyword(program) program test (... identifier(test) lammer_auf... Definition aller Symbollassen als reguläre Ausdrüce Scannergenerator tabellengesteuerter Scanner Problem: Komplexität der Potenzmengenonstrution Analyse: DFA RA mit =L. Korollar: L,DFA ist aabgeschlossen unter Vereinigung, Komplexprodut, Stern. Korollar: L,DFA ist abgeschlossen unter Durchschnitt und Komplement.

5 Beweis: Abschluß unter Komplement: Sei = Q,,, q 0,F DFA. Def.: := Q,,, q 0, Q F DFA. Es gilt w L q 0,w Q F q 0,w F w L. Also: L = * L. Abschluß unter Schnitt: L := * L L 1 = L 1 q.e.d. Methode von Kleene führt zu omplexen regulären Ausdrücen und ist daher nicht pratiabel. Jetzt: alternative Methode: DFA reguläres Gleichungssystem, dessen Lösung einen regulären Ausdruc liefert, so dass L =. Sei = Q,,, q 0, F DFA mit Q={q 0, q 1,..., q n }, ={a 1,...a r }. Notation: i := Q,,, q i, F, L i :=L i,q i, j := q i, q j Ordne A folgende Sprachgleichungen zu: r L i = {a j }L i, j E i. j =1 E i := { falls q i F { } falls q i F A bestimmt somit ein Gleichungssystem: n X i = C i j X j E i 0 i n j=0 wobei C i j ={a q i, a =q i } mit der Lösung L 0,..., L n, wobei L 0 =L, und damit folgendes Äquivalenzensystem: x i ~ i 0 x 0 i 1... a i n x n i 0 i n wobei i j =C i j, i = E i L 1 ={a}l 3 {b} ={a} {b}l 3 { } L 3 ={a,b}l 3 Auflösen des Äquivalenzensystems erfolgt durch 1. Einsetzen 2. Anwendung der Resolutionsregel Äquivalenzensystem: ~ b a x 3 ~b a x 3 ~ a b x 3 *~a b x 3 * x 3 ~ a b x 3 ~ a b x 3

6 Resolutionsregel: Seien, RA. Wenn x~ x, dann gilt: x~ x ~ x ~ x ~ x ~ 3 x 2 ~... x~ * Beweis: Seien L, L 1, Reg. Zeige: L=L 1 L L 1 L=L 1 Es gilt: L 1 L, weil: L 1 = L n 1 = L n n 1 1 = L1 n 0 n 0 n 0 =0 Mittels Einsetzen folgt: L=L 1 L =L 1 L 1 L = 1 L L 1 =... =L n 1 L L n 1 n 1 L n 1 L1 =0 dass für alle n 0 gilt: =0 n 1 L1 L. Damit folgt L 1 L. Andererseits gilt L L 1, denn: Sei w L mit w =n 1. Wegen L 1 folgt: w L n n 1 1 L, also w L1 L 1 q.e.d. =0 Zum ~b a x 3 ~a b x 3 * x 3 ~ a b x 3 Resolutionsregel x3 ~ a b * ~ Einsetzen von x 3 ~ : ~b Resolution ~a * x2 ~a* *~a * Einsetzen von ~a*: ~ba * Bemerung: Die Methode funtioniert genauso für NFAs. NFA, ={0,1}. Der zugehörige DFA hat 8 Zustände. x 0 ~1 x ~1 x ~ ~1 x 0 * einsetzen 1 x [1 x 0 *]~ x x 0 ~ einsetzen 1 x [ x ]~ x Resolution x0 ~ * ~ *