Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Universalität der Fluktuationen: Warum ist alles Gauß-verteilt?
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- Werner Heidrich
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1 Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Universalität der Fluktuationen: Warum ist alles Gauß-verteilt? Wolfgang König Technische Universität Berlin und Weierstraß-Institut Berlin Mohrenstraße Berlin Tel MathInside, Urania, 8. November 2016
2 Übersicht Eine der wichtigsten Verteilungen: die Binomialverteilung Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 2 (15)
3 Übersicht Eine der wichtigsten Verteilungen: die Binomialverteilung Sehr gute Approximation mit der berühmten Gauß schen Glockenkurve berühmter Satz von DE MOIVRE LAPLACE: Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Illustration: das GALTONbrett Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 2 (15)
4 Übersicht Eine der wichtigsten Verteilungen: die Binomialverteilung Sehr gute Approximation mit der berühmten Gauß schen Glockenkurve berühmter Satz von DE MOIVRE LAPLACE: Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Illustration: das GALTONbrett Aber es geht noch viel allgemeiner und universeller: Summen von unabhängigen Zufallsgrößen kann man immer mit der Normalverteilung approximieren! Der Zentrale Grenzwertsatz: eines der fundamentalsten Prinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie! Anwendungen: Rundungsfehler beim Währungsumtausch Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 2 (15)
5 Eine typische Aufgabe Würfeln Wenn man einen fairen Würfel 1200 Mal wirft, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwischen 190 und 200 Sechsen fallen? Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 3 (15)
6 Eine typische Aufgabe Würfeln Wenn man einen fairen Würfel 1200 Mal wirft, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwischen 190 und 200 Sechsen fallen? Lösung: Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment der Länge n = 1200 mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1 (Formel folgt). 6 Wenn X die Anzahl der Sechsen ist, dann ist X eine binomial-verteilte Zufallsgröße zu den Parametern n = 1200 und p = 1 6. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 3 (15)
7 Eine typische Aufgabe Würfeln Wenn man einen fairen Würfel 1200 Mal wirft, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwischen 190 und 200 Sechsen fallen? Lösung: Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment der Länge n = 1200 mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1 (Formel folgt). 6 Wenn X die Anzahl der Sechsen ist, dann ist X eine binomial-verteilte Zufallsgröße zu den Parametern n = 1200 und p = 1 6. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass X {190, 191,..., 200}. Diese ist gleich der Summe P(X = 190) + P(X = 191) + + P(X = 200). Nun muss man nur noch einsetzen und ausrechnen... Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 3 (15)
8 Binomialverteilung Verteilung auf {0,..., n}. Parameter: n N, p (0, 1). ( ) n Bin n,p(k) = P(X = k) = p k (1 p) n k k Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 4 (15)
9 Binomialverteilung Verteilung auf {0,..., n}. Parameter: n N, p (0, 1). ( ) n Bin n,p(k) = P(X = k) = p k (1 p) n k k = = n! k! (n k)! pk (1 p) n k (n k + 1) (n k + 2) n p k (1 p) n k, k! k {0,..., n}. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 4 (15)
10 Binomialverteilung Verteilung auf {0,..., n}. Parameter: n N, p (0, 1). ( ) n Bin n,p(k) = P(X = k) = p k (1 p) n k k = = n! k! (n k)! pk (1 p) n k (n k + 1) (n k + 2) n p k (1 p) n k, k! k {0,..., n}. Verteilung der Anzahl der Erfolge in einer Serie von n Glückspielen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p Verteilung der Summe von n unabhängigen BERNOULLI-verteilten Zufallsgrößen Erwartungswert E(X) = n k=0 kbinp,n(k) = np. Beweis mit Rechnung oder mit obiger Interpretation. Varianz V(X) = n k=0 k2 Bin p,n(k) (np) 2 = np(1 p). Beweis dito. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 4 (15)
11 Ausrechnen! Wir rechnen die Wahrscheinlichkeit aus, dass bei 1200 Mal Würfeln zwischen 190 und 200 Sechsen gewürfelt werden: P(X {190, 191,..., 200}) = Bi 1200,1/6 (190) + + Bi 1200,1/6 (200) Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 5 (15)
12 Ausrechnen! Wir rechnen die Wahrscheinlichkeit aus, dass bei 1200 Mal Würfeln zwischen 190 und 200 Sechsen gewürfelt werden: P(X {190, 191,..., 200}) = Bi 1200,1/6 (190) + + Bi 1200,1/6 (200) = 1200! ( 1 ) 190 ( 5 ) ! ( 1 ) 200 ( 5 ) ! 1010! ! 1000! 6 6 Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 5 (15)
13 Ausrechnen! Wir rechnen die Wahrscheinlichkeit aus, dass bei 1200 Mal Würfeln zwischen 190 und 200 Sechsen gewürfelt werden: P(X {190, 191,..., 200}) = Bi 1200,1/6 (190) + + Bi 1200,1/6 (200) = 1200! ( 1 ) 190 ( 5 ) ! ( 1 ) 200 ( 5 ) ! 1010! ! 1000! 6 6 = ( 1 ) ! [ ] Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 5 (15)
14 Ausrechnen! Wir rechnen die Wahrscheinlichkeit aus, dass bei 1200 Mal Würfeln zwischen 190 und 200 Sechsen gewürfelt werden: P(X {190, 191,..., 200}) = Bi 1200,1/6 (190) + + Bi 1200,1/6 (200) = 1200! ( 1 ) 190 ( 5 ) ! ( 1 ) 200 ( 5 ) ! 1010! ! 1000! 6 6 = ( 1 ) ! [ Wer hat Lust, weiterzurechnen??? ] Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 5 (15)
15 Ausrechnen! Wir rechnen die Wahrscheinlichkeit aus, dass bei 1200 Mal Würfeln zwischen 190 und 200 Sechsen gewürfelt werden: P(X {190, 191,..., 200}) = Bi 1200,1/6 (190) + + Bi 1200,1/6 (200) = 1200! ( 1 ) 190 ( 5 ) ! ( 1 ) 200 ( 5 ) ! 1010! ! 1000! 6 6 = ( 1 ) ! [ Wer hat Lust, weiterzurechnen??? ] Geht das nicht einfacher? Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 5 (15)
16 Verhalten für große n Wie verhält sich X Bin n,p für n? Idee: X E(X) = np nach dem Gesetz der Großen Zahlen. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 6 (15)
17 Verhalten für große n Wie verhält sich X Bin n,p für n? Idee: X E(X) = np nach dem Gesetz der Großen Zahlen. Aber wie groß ist die Abweichung X E(X) typischerweise? Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 6 (15)
18 Verhalten für große n Wie verhält sich X Bin n,p für n? Idee: X E(X) = np nach dem Gesetz der Großen Zahlen. Aber wie groß ist die Abweichung X E(X) typischerweise? Antwort: etwa so groß wie die Wurzel aus der erwarteten quadratischen Abweichung, also der Varianz von X: V(X) = E [ (X E(X)) 2]. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 6 (15)
19 Verhalten für große n Wie verhält sich X Bin n,p für n? Idee: X E(X) = np nach dem Gesetz der Großen Zahlen. Aber wie groß ist die Abweichung X E(X) typischerweise? Antwort: etwa so groß wie die Wurzel aus der erwarteten quadratischen Abweichung, also der Varianz von X: V(X) = E [ (X E(X)) 2]. Für die Binomial-Verteilung ist das leicht auszurechen: V(X) = np(1 p). = Vermutung: X np np(1 p) konvergiert. Die Limes-Zufallsgröße sollte Erwartungswert Null und Varianz Eins haben. Aber was sollte sie sein? Und was soll konvergiert heißen? Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 6 (15)
20 Binomialverteilung im Bild (Quelle: Histogramme der Binomialverteilung mit n = 10 und p = 1 4, p = 1 2 und p = 3 4. Ihre größten Werte konzentrieren sich jeweils um den Erwartungswert 10p. Die Werte liegen am engsten um 10p herum für p = 1 2. In geeignetem Maßstab zeigt sich eine schöne Kurve, die GAUSS sche Glockenkurve. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 7 (15)
21 Das große Mysterium Satz von DE MOIVRE LAPLACE Wenn X Bin p,n, so konvergiert heißt, für alle a < b gilt ( lim P a X np ) b = 1 b n np(1 p) 2π X np gegen die Standard-Normalverteilung N. Das np(1 p) a e 1 2 x2 dx = P(a N b). Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 8 (15)
22 Das große Mysterium Satz von DE MOIVRE LAPLACE Wenn X Bin p,n, so konvergiert heißt, für alle a < b gilt ( lim P a X np ) b = 1 b n np(1 p) 2π X np gegen die Standard-Normalverteilung N. Das np(1 p) a e 1 2 x2 dx = P(a N b). Beweis: STIRLING-Formel ( ) n n n! e 2πn TAYLOR-Approximation log(1 + ε) ε 1 2 ε2 Exponentialsatz (1 + c n )n e c fummlige Rechnungen (Quelle: Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 8 (15)
23 The Doctrine of Chances (1738) ABRAHAM DE MOIVRE ( ) verbrachte wegen Hugenottenverfolgungen den Hauptteil seines Lebens in England und war über Jahrzehnte ein Pionier der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er war befreundet mit ISAAC NEWTON, ED- MOND HALLEY und JAMES STIRLING. Die Stirling-Formel bewies de Moivre ebenfalls als erster, bis auf die Identifikation der Konstanten 2π, die auf Stirling zurückgeht. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 9 (15)
24 The Doctrine of Chances (1738) ABRAHAM DE MOIVRE ( ) verbrachte wegen Hugenottenverfolgungen den Hauptteil seines Lebens in England und war über Jahrzehnte ein Pionier der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er war befreundet mit ISAAC NEWTON, ED- MOND HALLEY und JAMES STIRLING. Die Stirling-Formel bewies de Moivre ebenfalls als erster, bis auf die Identifikation der Konstanten 2π, die auf Stirling zurückgeht. Die zweite Auflage des berühmten Buches The Doctrine of Chances von 1738 enthält die erste veröffentlichte Version des Satzes. PIERRE-SIMON LAPLACE ( ) stellte ihn in einen größeren Zusammenhang in seinem Werk Theorie Analytique des Probabilites im Jahre Beide Publikationen dieses Satzes fanden nicht viel Aufmerksamkeit durch Zeitgenossen. (Quelle: Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 9 (15)
25 Würfelproblem mit de Moivre Laplace Die Anzahl X der Sechsen bei n = 1200 Mal Würfeln hat also den Erwartungswert np = 200 und die Varianz np(1 p) = = Nach de Moivre Laplace ist also P(X {190,..., 200}) = P(190 X 200) = P( 10 X np 0) Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 10 (15)
26 Würfelproblem mit de Moivre Laplace Die Anzahl X der Sechsen bei n = 1200 Mal Würfeln hat also den Erwartungswert np = 200 und die Varianz np(1 p) = = Nach de Moivre Laplace ist also P(X {190,..., 200}) = P(190 X 200) = P( 10 X np 0) ( 10 = P X np ) /6 np(1 p) Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 10 (15)
27 Würfelproblem mit de Moivre Laplace Die Anzahl X der Sechsen bei n = 1200 Mal Würfeln hat also den Erwartungswert np = 200 und die Varianz np(1 p) = = Nach de Moivre Laplace ist also P(X {190,..., 200}) = P(190 X 200) = P( 10 X np 0) ( 10 = P X np ) /6 np(1 p) ( 3 = P 5 X np ) 0 np(1 p) Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 10 (15)
28 Würfelproblem mit de Moivre Laplace Die Anzahl X der Sechsen bei n = 1200 Mal Würfeln hat also den Erwartungswert np = 200 und die Varianz np(1 p) = = Nach de Moivre Laplace ist also P(X {190,..., 200}) = P(190 X 200) = P( 10 X np 0) ( 10 = P X np ) /6 np(1 p) ( 3 = P 5 X np ) 0 np(1 p) 1 0 e 1 2 x 2 dx. 2π 3 5 Den Wert dieses Integrals entnimmt man Tabellen. (Es gibt keine explizite Stammfunktion!) Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 10 (15)
29 Visualisierung mit dem Galtonbrett N Kugeln fallen durch ein regelmäßiges Muster von Hindernissen, so dass jedes Mal links und rechts mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Die Schritte sind also gleichverteilt auf { 1, 1} (standardisiert). Die Summe der Abweichungen vom Startort zeigt sich unten im Ort der Kugel nach ihrem Lauf; er ist genähert standardnormalverteilt (n = 6 im Satz von M OIVRE -L APLACE). Die Glockenkurve zeigt sich im Histogramm von N unabhängigen Wiederholungen bei (Quelle: geschickter Kopplung von N mit n = 6. Universität Mainz) Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 11 (15)
30 Universalität: immer die Normalverteilung! Um 1900 erst (!) stellte sich heraus, dass die Standardnormalverteilung N als universeller Grenzwert bei quasi allen Verteilungen der Summanden herauskommt: Zentraler Grenzwertsatz Seien X 1,..., X n unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert Null und Varianz Eins, dann konvergiert n 1/2 (X X n) in Verteilung gegen N, das heißt, für jedes a < b gilt ( 1 lim P n n n i=1 ) X i [a, b] = 1 2π b a e 1 2 x2 dx = P(a N b). Der Zentraler Grenzwertsatz ist eine der fundamentalsten Aussagen der W Theorie! Wenn n unabhängige zufällige Größen addiert werden, mit der selben Verteilung, Erwartungswert Null und Varianz Eins, dann entsteht ungefähr n Mal eine standardnormalverteilte Zufallsgröße. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 12 (15)
31 Normalverteilung und ZGWS Von 1991 bis 1999 war ein 10-DM-Schein im Umlauf, der CARL FRIEDRICH GAUSS ( ) und die nach ihm benannte Gauß sche Glockenkurve zeigte sowie ihre Funktionsgleichung. Die Verteilung, die diese Dichte hat, nennt man die Normaloder die Gauß-Verteilung. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 13 (15)
32 Normalverteilung und ZGWS Von 1991 bis 1999 war ein 10-DM-Schein im Umlauf, der CARL FRIEDRICH GAUSS ( ) und die nach ihm benannte Gauß sche Glockenkurve zeigte sowie ihre Funktionsgleichung. Die Verteilung, die diese Dichte hat, nennt man die Normaloder die Gauß-Verteilung. Erst um 1900 griffen Stochastiker den Satz von de Moivre Laplace auf. ALEXANDER LYAPUNOV ( ) erweiterte ihn auf die obige Fassung. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 13 (15)
33 Rundungsfehler beim Währungsumtausch Ein Problem, das nicht mit dem Satz von MOIVRE-LAPLACE gelöst werden kann, aber mit dem Zentralen Grenzwertsatz: Rundungsfehler Eine Bank tauscht hundert Millionen Geldbeträge von DM in Euro gemäß der Regel 1 Euro = DM um. Das Euro-Ergebnis wird auf ganze Cent gerundet. (Beispiel: 50 DM = Euro Euro). Wie ist der Gesamt-Rundungsfehler verteilt? Innerhalb welcher Schranken bleibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent? Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 14 (15)
34 Hinweise zur Lösung: Annahmen: Jeder einzelne Rundungsfehler (in Euro) ist eine auf [ 0.005, 0.005] gleichverteilte Zufallsgröße. Die 10 8 Fehler sind unabhängig. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 15 (15)
35 Hinweise zur Lösung: Annahmen: Jeder einzelne Rundungsfehler (in Euro) ist eine auf [ 0.005, 0.005] gleichverteilte Zufallsgröße. Die 10 8 Fehler sind unabhängig. Dann ist der Gesamtrundungsfehler (in Euro) gleich X = X X 10 8, wobei X 1,..., X 10 8 unabhängige, auf [ 0.005, 0.005] gleichverteilte Zufallsgrößen sind. Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 15 (15)
36 Hinweise zur Lösung: Annahmen: Jeder einzelne Rundungsfehler (in Euro) ist eine auf [ 0.005, 0.005] gleichverteilte Zufallsgröße. Die 10 8 Fehler sind unabhängig. Dann ist der Gesamtrundungsfehler (in Euro) gleich X = X X 10 8, wobei X 1,..., X 10 8 unabhängige, auf [ 0.005, 0.005] gleichverteilte Zufallsgrößen sind. Sie haben den Erwartungswert Null und die Varianz = = Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 15 (15)
37 Hinweise zur Lösung: Annahmen: Jeder einzelne Rundungsfehler (in Euro) ist eine auf [ 0.005, 0.005] gleichverteilte Zufallsgröße. Die 10 8 Fehler sind unabhängig. Dann ist der Gesamtrundungsfehler (in Euro) gleich X = X X 10 8, wobei X 1,..., X 10 8 unabhängige, auf [ 0.005, 0.005] gleichverteilte Zufallsgrößen sind. Sie haben den Erwartungswert Null und die Varianz = = Nach dem ZGWS gilt R N = N. Nun kann man in einer Tabelle der Werte der Normalverteilung ablesen. Zum Beispiel gilt P(R 72) 0, 99, also verliert oder gewinnt die Bank mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 99 höchstens 72 Euro! Universalität der Fluktuationen MathInside, Urania, 8. November 2016 Seite 15 (15)
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