Erfüllbarkeit von Formelmengen

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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 75 Erfüllbarkeit von Formelmengen bisher nur Erfüllbarkeit einzelner Formeln betrachtet erweitere Begriff auf Mengen von Formeln Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt erfüllbar, wenneseine Interpretation I gibt, so dass I = ϕ für alle ϕ Φ gilt. Notation: I =Φ. Für Φ < ist also Menge Φ erfüllbar gdw. Formel Φ erfüllbar ist. Def. beinhaltet aber auch Fall unendlicher Mengen! Bsp.: {A i A i+1 i N} {A i A i+2 i N} {A 2i A 2i+1 i N}

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 76 Motivation: der faule Wecker Kann es einen Wecker mit folgender Spezifikation geben? (D.h. ist folgende Menge von Aussagen erfüllbar?) { irgendwann klingele ich, jetzt klingele ich nicht } wann wird diese Menge erst unerfüllbar?

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 77 Erfüllbarkeit und endliche Konsistenz Im folgenden nehmen wir an, dass V nur abzählbar unendlich viele Variablen enthält, also o.b.d.a. V = {A 0, A 1,...}. Def.: Eine Menge Φ von Formeln heißt endlich konsistent, wenn für alle Ψ Φ mit Ψ < gilt: Ψ ist erfüllbar. beachte: der faule Wecker ist unerfüllbar, aber endlich konsistent! was gilt jeweils (nicht)? Φ erfüllbar und Ψ Φ Ψ erfüllbar

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 78 Der Kompaktheitssatz Theorem 9 Für alle Mengen Φ von Formeln gilt: Φ erfüllbar gdw. Φ endlich konsistent. Anders gesagt: Ist jede endliche Teilmenge einer Menge Φ erfüllbar, so ist auch Φ erfüllbar. Eigentlich nur für Φ = interessant. Wieso? Notation: Ψ fin Φ gdw. Ψ Φ und Ψ < Beweis von : SeiI =Φ, also gilt I = ϕ für alle ϕ Φ. Damit ist dann auch I = Ψ für alle Ψ Φ, insbesondere falls Ψ fin Φ.

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 79 ist schwieriger Beachte: Bei endlich konsistentem Φ kann jedes Ψ fin Φ verschiedenes Modell haben! Bsp. Φ={ϕ n,m 0 n m} mit ϕ n,m = m A i i=n Sei Ψ fin Φ und I Ψ definiert durch 1, falls min{n ϕ n,m Ψ} k max{m ϕ n,m Ψ} I Ψ (A k )= 0, sonst Beachte: Für alle Ψ fin Φ gilt I Ψ =Ψ,aberI Ψ = Φ. Es gibt unendliche viele Ψ mit paarweise verschiedenen I Ψ.

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 80 Lemmas für die Kompaktheit Lemma 1: Ist Φ erfüllbar, so ist Φ {A} oder Φ { A} erfüllbar. Lemma 2: Ist Φ endlich konsistent, so ist Φ {A} oder Φ { A} endlich konsistent. Beweis: Ang. Φ {A} und Φ { A} sind nicht endlich konsistent. Dann ex. unerfüllbare Ψ fin Φ {A} und Ψ fin Φ { A}. Somit ist auch Θ:=Ψ Ψ unerfüllbar, und damit auch Θ {A} und Θ { A}. Dannmussaberbereits Θ \ {{A}, { A}} unerfüllbar sein. Da Θ \ {{A}, { A}} fin Φ,ist Φ also nicht endlich konsistent.

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 81 Beweis des Kompaktheitssatzes Beweis von ( Φ endlich konsistent Φ erfüllbar ). Seien A 0, A 1, A 2,... Variablen in Φ. Def. simultan Φ 0 := Φ, Φ i+1 := Φ i { i } und A i, falls Φ i {A i } endlich konsistent i := A i, sonst Mit ob. Lemma und Induktion sind alle Φ i endlich konsistent. Definiere I über 1, falls i = A i I(A i ) := 0, falls i = A i Behauptung: I =Φ,alsoI = ϕ für alle ϕ Φ

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 82 Beweis des Kompaktheitssatzes Sei ϕ Φ. Wähle k := max{i A i Var(ϕ)}. Da Φ=Φ 0 Φ 1... gilt also ϕ Φ k+1 und somit Ψ:={ϕ, 0,..., k } fin Φ k+1 Wegen endlicher Konsistenz von Φ k+1 ist Ψ erfüllbar. Also ex. I, so dass I =Ψ. Beachte: I(A) =I (A) für alle A Var(ϕ) und außerdem I = ϕ. Nach Thm. 1 (Wert einer Formel hängt nur von Interpretation der darin vorkommenden Variablen ab) gilt dann I = ϕ.

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 83 Was war jetzt mit dem faulen Wecker? zur Erinnerung: Φ = { irgendwann klingele ich } { in n min klingele ich nicht n N} ist endlich konsistent aber unerfüllbar wie kann das sein? Widerspruch zum Kompaktheitssatz? Kompaktheit hat Konsequenzen für Szenarien, die in Aussagenlogik ausgedrückt werden können

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 84 Erste Anwendung des Kompaktheitssatzes Theorem 10 (Königs Lemma) Jeder endlich-verzweigende Baum, in dem Pfade beliebiger Länge existieren, hat einen unendlichen Ast. Beweis: Sei t Baum mit abzählbarer Knotenmenge V und Wurzel w. Angenommen, es gibt Pfade beliebiger Länge in t. Wir schreiben succ(v) für die unmittelbaren Nachfolger von v. Betrachte ϕ v := X v ExactlyOne(succ(v)) X v X v und Φ:={X w } {ϕ v v V }. v succ(v)

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 85 Beweis von Königs Lemma wir zeigen: jedes Ψ fin Φ ist erfüllbar Sei Ψ gegeben und d := max{dist(w, v) ϕ v Ψ}. Betrachte Ψ := {X 0 } {ϕ v dist(w, v) d} Beachte: Ψ Ψ. Also reicht es aus zu zeigen, dass Ψ erfüllbar ist. Sei π Pfad der Länge d +1in t. Konstruiere Interpretation I π wie folgt: 1, falls j auf π liegt I π (X j ) = 0, sonst Beachte: Es gilt I π =Ψ,alsoauchI π =Ψ. Nach Kompaktheit ist dann auch ϕ erfüllbar. Sei I Modell von Φ. Unendlicher Pfad in t ist gegeben durch {v I(X v )=1}.

12 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 86 Zweite Anwendung des Kompaktheitssatzes Kacheln sind Einheitsquadrate mit gefärbten Kanten: Sei K eine endliche Menge von Kacheln. Dies induziert zwei Relationen H und V, die besagen, ob zwei Kacheln horizontal bzw. vertikal aneinanderpassen. Eine K-Kachelung der n n-ebene ist eine Funktion κ : {0,...,n 1} 2 K, sodassfür alle i =0,...,n 2, j =0,...,n 1 gilt: (κ(i, j), κ(i + 1, j)) H horizontal passt alles (κ(j, i),κ(j, i + 1)) V vertikal passt alles analog K-Kachelung der unendlichen N N-Ebene definiert

13 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 87 Beispiel Bsp.: K = K-Kachelung der 3 3-Ebene: lässt sich dies zu Kachelung der 4 4-Ebene erweitern? lässt sich 4 4-Ebene überhaupt mit K kacheln?

14 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 88 Anwendung des Kompaktheitssatzes Theorem 11 Sei K endliche Menge von Kacheln. Wenn jede n n-ebene K-kachelbar ist, so ist auch die N N-Ebene K-kachelbar. Beweis: Benutze Aussagenvariablen A t i,j, i, j N, t K mit Bedeutung das Feld (i, j) ist mit Kachel t belegt drücke K-Kachelbarkeit der n n-ebene aus: ϕ n :=

15 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 89 Anwendung des Kompaktheitssatzes Beachte: Modelle für ϕ n kodieren Kachelung der n n-ebene. Sei Φ:={ϕ n n N}. Satz ist gezeigt, falls Φ erfüllbar ist. Jede n n-ebene ist K-kachelbar. Also ist jedes ϕ n erfüllbar. fertig? Sei Ψ fin Φ.DannistΨ={ϕ i1,...,ϕ ik } für ein k N und i 1 < i 2 <...<i k. Beachte: Wenn m n, dannistϕ n ϕ m allgemeingültig. (Intuitiv: n n-kachelung liefert auch immer eine m m-kachelung.) Da ϕ ik erfüllbar ist, ist damit auch Ψ erfüllbar. Aus dem Kompaktheitssatz folgt, dass auch Φ erfüllbar ist; erfüllende Belegung induziert Kachelung der N N-Ebene mit K.

16 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.6 Aussagenlogik Kompaktheit 90 Fallstrick bei Kompaktheit wichtig bei Anwendung von Kompaktheit: zeige Erfüllbarkeit jeder endlichen Teilmenge Übung: Finde unerfüllbare, unendliche Menge Φ, so dass jede Einermenge {ϕ} Φ erfüllbar ist. Übung: Finde unerfüllbare, unendliche Menge Φ, so dass jede Zweiermenge {ϕ 1,ϕ 2 } Φ erfüllbar ist Hinweis: betrachte n-damenproblem