Spieltheorie in der Ökonomie

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1 in der Ökonomie Kevin Klein Technische Universität Wien 19. Dezemberl 2012

2 Inhaltsverzeichnis 1 Gliederung 2 Normalform Grundlagen Präferenzen,Nutzen Lösungskonzepte 3 Grundlagen Cornout Oligopol Bertrand Oligopol Duopol mit privater Kosteninformation

3 Gliederung Die ist ein Teilgebiet der Wirtschaftsmathematik. Sie befasst sich mit der Modellierung und Lösung sozialer Interaktionen. Anders als bei der Entscheidungstheorie hängt bei der die Entscheidung nicht nur von der eigenen Entscheidung, sondern auch von denen der anderen Beteligten ab.

4 Gliederung Normalform Extensivform Kooperative Form

5 Grundlagen Normalform Spieler i = 1... n S i (stetig oder diskret) sei die Strategiemenge des Spielers i s i S i ist die Strategie für das gesamte Spiel

6 Grundlagen Normalform Notation: Spieler i = 1... n S i (stetig oder diskret) sei die Strategiemenge des Spielers i s i S i ist die Strategie für das gesamte Spiel S = S 1... S n S i = S 1... S i 1 S i+1... S n s i = (s 1,..., s i 1, s i+1,... s n ) S i ist der Strategievektor der Spieler ausgenommen i

7 Präferenzen Normalform Sei X = X(s i, s i ) das Ergebnis eines Spiels. Jeder Spieler wird das Ergebnis dieses Spieles subjektiv bewerten, da jeder Spieler andere Präferenzen hat. Dies wirkt sich auch auf den individuellen Nutzen des Spielers aus. Wenn Spieler i Ergebnis X gegenüber Ergebnis Y präferiert hat das Ergebnis von X für den Spieler natürlich auch einen höheren Nutzen.

8 Nutzenfunktion Normalform Wir definieren die Auszahlungsfunktion u i : S R. Das Ergebnis u i (s i, s i ) wird vom Spieler i gemäß seiner Präferenzen bewertet werden.

9 Matrixdarstellung Normalform Spieler A a 1 a 2 b 1 (u B (b 1, a 1 ), (u A (b 1, a 1 )) (u B (b 1, a 2 ), (u A (b 1, a 2 )) B b2 (u B (b 2, a 1 ), (u A (b 2, a 1 )) (u B (b 2, a 2 ), (u A (b 2, a 2 ))

10 Dominanzen Normalform Strenge Dominanz Eine Strategie s i wird von einer Strategie s i streng dominiert, wenn u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S i

11 Dominanzen Normalform Strenge Dominanz Eine Strategie s i wird von einer Strategie s i streng dominiert, wenn u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S i Schwache Dominanz Eine Strategie s i wird von einer Strategie s i schwach dominiert, wenn u i (s i, s i ) u i (s i, s i ) s i S i und u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) für mindestens ein s i S i

12 Beste Antwort Abbildung Normalform Da angenommen wird, dass jeder Spieler rational denkt, wird angenommen, dass jeder Spieler versuchen wird seine Auszahlung bezüglich seiner Erwartungen der Strategie der anderen Spieler zu maximieren.

13 Beste Antwort Abbildung Normalform Da angenommen wird, dass jeder Spieler rational denkt, wird angenommen, dass jeder Spieler versuchen wird seine Auszahlung bezüglich seiner Erwartungen der Strategie der anderen Spieler zu maximieren. Beste Antwort Abbildung si f i (s i ), wobei f die auszahlungsmaxierende Funktion für den Spieler i ist. Falls si = f i (s i ), also si eindeutig, so spricht man von der besten Antwort Funktion, sonst von der besten Antwort Korrespondenz.

14 Nash-Gleichgewicht Normalform Aus vorherigen Überlegungen folgen wir folgendes 1 Die Strategie jedes Spielers wird im obigen Sinne gewählt werden 2 Jeder Spieler erwartet, dass die anderen Spieler auch versuchen werden, ihre Auszahlung gemäß ihrer Erwartungen der Strategien der anderen Spieler zu maximieren.

15 Nash-Gleichgewicht Normalform Aus vorherigen Überlegungen folgen wir folgendes 1 Die Strategie jedes Spielers wird im obigen Sinne gewählt werden 2 Jeder Spieler erwartet, dass die anderen Spieler auch versuchen werden, ihre Auszahlung gemäß ihrer Erwartungen der Strategien der anderen Spieler zu maximieren. Nash-Gleichgewicht Ein Strategievektor (s i, s i) wird Nash Gleichgewicht genannt, falls kein Spieler den Anreiz hat, als einziger von seiner Strategie abzuweichen, d.h. u i (s i, s i) u i (s i, s i) s i S i

16 Beispiel Normalform

17 Grundlegendes Das gesamte vorhandene Wissen ist gemeinsames Wissen, d.h. alle Spieler haben dasselbe Wissen (Nutzen, Strategiemengen). Die Entscheidung für eine Strategie, wird von allen Spielern gleichzeitig getroffen

18 Spielbeschreibung

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20 Nash - Gleichgewicht

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24 Bei Spielen mit vollständiger Information sind Strategiemengen und Auszahlungen gemeinsames Wissen

25 Bei Spielen mit vollständiger Information sind Strategiemengen und Auszahlungen gemeinsames Wissen Unvollständige Information: Mindestens eine Information ist privat (in der Regel die Auszahlungsfunktion)

26 Bei Spielen mit vollständiger Information sind Strategiemengen und Auszahlungen gemeinsames Wissen Unvollständige Information: Mindestens eine Information ist privat (in der Regel die Auszahlungsfunktion) Typologisierung: Man versucht verschiedene Ausprägungen des Merkmals festzulegen. T i heißt Typenraum des Spielers i, t i T i möglicher Typ Spieler i kennt nur seinen Typ und versucht Erwartungen für die Typen der anderen Spieler zu bilden

27 Notation T i = T 1... T i 1 T i+1... T n Typenraum aller anderen Spieler Erwartung eines Spielers von Typ i über den Typ der anderen Spieler: p i (t i t i )

28 Auszahlung Die Strategie von Spieler i hängt von seinem Typ i, und von seinen Vermutungen über die Typen der anderen Spieler ab Spieler i muss sich auch Gedanken machen, welche Vermutungen die anderen Spieler über ihn anstellen die Auszahlung hängt von der Strategien (welche von den Typen abhängen) und den tatsächlichen Typen ab

29 Auszahlung Die Strategie von Spieler i hängt von seinem Typ i, und von seinen Vermutungen über die Typen der anderen Spieler ab Spieler i muss sich auch Gedanken machen, welche Vermutungen die anderen Spieler über ihn anstellen die Auszahlung hängt von der Strategien (welche von den Typen abhängen) und den tatsächlichen Typen ab Erwartete Auszahlung E[u i (s i (t i ), s i (t i ), t i, t i )] = t i p i (t i t i )u i (s i (t i ), s i (t i ), t i, t i )

30 Bayes Nash-Gleichgewicht Ein rationaler Spieler wählt die Strategie, welche seine Auszahlung bezüglich der Erwartungen der anderen Spieler maximiert. Auch wenn ein Spieler weiß, dass er von Typ i ist, muss er die selben Rechnungen für alle Typen einbinden, da die anderen Spieler mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass der Spieler nicht von Typ i ist, und dementsprechend ihre Strategien anders wählen

31 Bayes Nash-Gleichgewicht Ein rationaler Spieler wählt die Strategie, welche seine Auszahlung bezüglich der Erwartungen der anderen Spieler maximiert. Auch wenn ein Spieler weiß, dass er von Typ i ist, muss er die selben Rechnungen für alle Typen einbinden, da die anderen Spieler mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass der Spieler nicht von Typ i ist, und dementsprechend ihre Strategien anders wählen Bayes Nash-Gleichgewicht Ein Strategievektor (s i (t i ), s i/t i ) heißt Bayes- Nashgleichgewicht, wenn E[u i (s i (t i ), s i(t i ), t i, t i )] E[u i (s i (t i ), s i(t i ), t i, t i )] s i S i,t i T i, i = 1... n

32 Spielbeschreibung

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35 Bayes Nash-Gleichgewicht

36 Literatur Grundlagen/was-istspieltheorie.htm Vorlesung - Friedrich Schiller Universität Jena; Dr. M Pasche

37 Danke für eure Aufmerksamkeit

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