Definition, Funktionsgraph, erste Beispiele

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1 5. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 07 Reelle Funktionen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Reelle Funktionen Definition, Funktionsgraph, erste Beispiele Markus Herrich Reelle Funktionen

2 Definition Eine (reelle) Funktion f : D f R ist eine Abbildung, die jeder Zahl aus einer Menge D f R genau eine Zahl R zuordnet. Der zugeordnete Wert wird mit f () bezeichnet und heißt Funktionswert von f an der Stelle. Die Menge D f heißt Definitionsbereich der Funktion f. Die Menge W f = { R es eistiert ein D f,sodass = f ()} heißt Wertebereich oder Bildbereich der Funktion f. Die Zuordnungsvorschrift ist meist in Form einer Gleichung = f () gegeben (Funktionsgleichung oder Funktionsvorschrift genannt). Markus Herrich Reelle Funktionen Graph einer Funktion Eine Funktion f : D f R ordnet jeder Zahl D f genau eine Zahl f () R zu. Das Paar (, f ()) kann als Punkt in der -Ebene gedeutet werden. Die Menge aller dieser Punkte, also die Menge heißt Graph der Funktion f. {(, f ()) R D f }, Markus Herrich Reelle Funktionen

3 Beispiele Funktion f : R R mit der Vorschrift f () = Graph: Definitionsbereich: Wertebereich: ausgewählte Funktionswerte: f ( ) = F.-wert an der Stelle = f () = Funktionswert an der Stelle = Markus Herrich Reelle Funktionen 5 Beispiele Funktion f : R R mit der Vorschrift f () = Graph: Definitionsbereich: Wertebereich: ausgewählte Funktionswerte: f ( ) = Funktionswert an der Stelle = f () = Funktionswert an der Stelle = Markus Herrich Reelle Funktionen 6

4 Beispiele Funktion f :[0, ) R mit der Vorschrift f () = Graph: Definitionsbereich: Wertebereich: Markus Herrich Reelle Funktionen 7 Beispiele Das letzte Beispiel zeigt, dass der Definitionsbereich D f einer Funktion f nicht unbedingt dem sich aus der Funktionsvorschrift ergebenden größtmöglichen Definitionsbereich entsprechen muss. Zu einer vollständigen Charakterisierung einer Funktion gehört somit neben der Funktionsvorschrift auch die Angabe des Definitionsbereichs. Eine Einschränkung des (theoretisch) größtmöglichen Definitionsbereichs kann insbesondere bei Funktionen, die einen Zusammenhang zwischen phsikalischen Größen beschreiben, sinnvoll oder sogar erforderlich sein. Markus Herrich Reelle Funktionen 8

5 Beispiele Ein Zug beschleunige aus dem Stillstand heraus gleichmäßig mit der Beschleunigung a = 0,5 m, bis er nach 50 Sekunden eine s Geschwindigkeit von 90 km h (entspricht 5 m s ) erreicht hat. Anschließend bewegt er sich gleichförmig (ohne weitere Beschleunigung) mit dieser Geschwindigkeit weiter fort. Welche funktionalen Zusammenhänge bestehen zwischen Beschleunigung und Zeit, Geschwindigkeit und Zeit, zurückgelegtem Weg und Zeit? Wie sehen die zugehörigen Funktionsgraphen aus? Markus Herrich Reelle Funktionen 9 Beispiele Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit: { 0,5 für t 50, a(t) = 0 für t > 50 (t in Sekunden, a in m s ) Definitionsbereich: D a =[0, ) Graph: a in m s 0, t in s Markus Herrich Reelle Funktionen 0

6 Beispiele Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit: { 0,5 t für t 50, v(t) = 5 für t > 50 (t in Sekunden, v in m s ) Definitionsbereich: D v =[0, ) Graph: v in m s t in s Markus Herrich Reelle Funktionen Beispiele Weg in Abhängigkeit von der Zeit: { 0,5 t für t 50, s(t) = 5t 65 für t > 50 (t in Sekunden, s in m) Definitionsbereich: D s =[0, ) Graph: 000 s in m t in s Markus Herrich Reelle Funktionen

7 Beispiele Weg in Abhängigkeit von der Zeit: { 0,5 t für t 50, s(t) = 5t 65 für t > 50 ausgewählte Funktionswerte: s(0) = Nach 0 Sekunden hat der Zug also s(60) = Nach 60 Sekunden hat der Zug also zurückgelegt. zurückgelegt. Achtung: Bei abschnittsweise definierten Funktionen muss man bei der Berechnung des Funktionswertes an einer Stelle immer darauf achten, welche der Teilvorschriften man an dieser Stelle auswerten muss. Markus Herrich Reelle Funktionen Verknüpfungen zweier Funktionen Es seien g : D g R und h : D h R zwei reelle Funktionen. Dann sind auch die folgenden Verknüpfungen wieder reelle Funktionen: Summe: f mit f () =g()+h(), Differenz: f mit f () =g() h(), Produkt: f mit f () =g() h(), Quotient: f mit f () = g() h() (Voraussetzung: h() 0für alle D h ). Der Definitionsbereich von f ist jeweils D f = D g D h. Markus Herrich Reelle Funktionen

8 Verknüpfungen zweier Funktionen Es seien g : D g R und h : D h R zwei reelle Funktionen. Der Wertebereich von h sei eine Teilmenge des Definitionsbereichs von g, also W h D g. Dann ist auch die Verkettung f = g h, definiert durch f () =g(h()), eine reelle Funktion. Man nennt g die äußere Funktion und h die innere Funktion der Verkettung. Der Definitionsbereich der Verkettung f = g h ist D f = D h. Markus Herrich Reelle Funktionen 5 Verknüpfungen zweier Funktionen Beispiele zur Verkettung: Gegeben seien die Funktionen g : R R mit g() = und h : R R mit h() =. Die Verkettung f mit g als äußerer und h als innerer Funktion hat die Vorschrift f () =g(h()) = Die Verkettung f mit h als äußerer und g als innerer Funktion hat die Vorschrift f () =h(g()) = Die Funktion f : R R mit f () =cos( + 5) ist eine Verkettung mit der inneren Funktion h, definiert durch, und der äußeren Funktion g, definiert durch Markus Herrich Reelle Funktionen 6

9 Monotonieeigenschaften Markus Herrich Reelle Funktionen 7 Monotonie Eine reelle Funktion f : D f R heißt monoton wachsend, falls für alle, D f mit < gilt: f ( ) f ( ). streng monoton wachsend, falls für alle, D f mit < gilt: f ( ) < f ( ). monoton fallend, falls für alle, D f mit < gilt: f ( ) f ( ). streng monoton fallend, falls für alle, D f mit < gilt: f ( ) > f ( ). Markus Herrich Reelle Funktionen 8

10 Monotonie: Beispiele Die Funktion f : R R mit f () = ist streng monoton wachsend Markus Herrich Reelle Funktionen 9 Monotonie: Beispiele Die Funktion f : R R mit f () = ist weder (streng) monoton wachsend noch (streng) monoton fallend. Nur auf gewissen Teilintervallen ist sie streng monoton Markus Herrich Reelle Funktionen 0

11 Monotonie: Beispiele Die Funktion f : R R mit für 0, f () = für 0 <, für > ist monoton fallend, aber nicht streng monoton fallend Markus Herrich Reelle Funktionen Umkehrbarkeit Markus Herrich Reelle Funktionen

12 Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion Eine reelle Funktion f mit dem Definitionsbereich D f und dem Wertebereich W f heißt eineindeutig oder umkehrbar, wennfür alle, D f mit stets auch f ( ) f ( ) gilt (wenn also kein Element aus W f Funktionswert zweier unterschiedlicher Elemente aus D f ist). Äquivalent dazu kann man auch formulieren: Eine reelle Funktion f ist eineindeutig, wenn zu jedem Wert W f nur genau ein Wert D f eistiert, für den = f () gilt. Markus Herrich Reelle Funktionen Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion Ist eine Funktion f eineindeutig, besitzt sie eine Umkehrfunktion, die üblicherweise mit f bezeichnet wird. (Aber Achtung: Es handelt sich nur um eine Bezeichnung, f ist nicht etwa als Potenz zu verstehen!). Die Umkehrfunktion ordnet jedem Wert W f denjenigen Wert D f zu, für den = f () gilt. Es gilt also = f () genau dann, wenn = f (). Markus Herrich Reelle Funktionen

13 Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion Falls f eine Umkehrfunktion besitzt, dann ist deren Definitionsbereich gerade der Wertebereich von f, also D f = W f. Umgekehrt ist der Wertebereich von f gerade der Definitionsbereich von f, also W f = D f. Zur Bestimmung der Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion sollte man von = f () ( D f, W f ) ausgehen und die Gleichung nach umstellen (und am Ende ggf. noch und vertauschen). Markus Herrich Reelle Funktionen 5 Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion: Beispiele Die Funktion f mit D f = R und f () = ist umkehrbar, denn für, R mit gilt stets auch und somit auch. Definitionsbereich der Umkehrfunktion: D f = Wertebereich der Umkehrfunktion: W f = Bestimmung der Funktionsvorschrift von f : Markus Herrich Reelle Funktionen 6

14 Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion: Beispiele f f Der Graph der Umkehrfunktion ist jeweils die Spiegelung des Graphen von f an der Geraden mit der Gleichung =. Markus Herrich Reelle Funktionen 7 Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion: Beispiele Die Funktion f mit D f = R und f () = ist nicht umkehrbar, denn zum Beispiel haben = und = den gleichen Funktionswert f ( )=f ( )=. Aber: Eine Einschränkung des Definitionsbereichs kann die Umkehrbarkeit gewährleisten, vgl. nächste Folie. Markus Herrich Reelle Funktionen 8

15 Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion: Beispiele Die Funktion f mit D f =[0, ) und f () = ist umkehrbar, denn für zwei unterschiedliche nichtnegative Werte, sind stets auch die Quadrate unterschiedlich. Definitionsbereich der Umkehrfunktion: D f = W f =[0, ) Wertebereich der Umkehrfunktion: W f = D f =[0, ) Bestimmung der Funktionsvorschrift von f : Für zwei Zahlen, [0, ) gilt genau dann = f (), wenn = f () = [0, ) =. Die Funktionsvorschrift von f lautet also f () = bzw., nach Variablenumbenennung, f () =. Markus Herrich Reelle Funktionen 9 Eineindeutigkeit, Umkehrfunktion: Beispiele 8 f f Markus Herrich Reelle Funktionen 0

16 Zusammenhang zwischen Monotonie und Umkehrbarkeit Ist eine Funktion streng monoton wachsend oder streng monoton fallend, dann ist sie auch umkehrbar. Bei der obigen Aussage ist das Attribut streng wichtig, aus der Monotonie allein folgt noch nicht die Umkehrbarkeit. Markus Herrich Reelle Funktionen Grenzwert an einer Stelle 0, Stetigkeit Markus Herrich Reelle Funktionen

17 Grenzwert an einer Stelle 0 Gegeben seien eine Funktion f : D f R R und eine Stelle 0 D f. Frage salopp: Wie verhalten sich die Funktionswerte f (), wenn der Stelle 0 immer näher kommt, ohne genau 0 zu erreichen? Eine Zahl a R heißt Grenzwert von f an der Stelle 0,wennes zu jeder Zahl ε>0 eine Zahl δ>0 gibt, sodass für alle D f \{ 0 } mit 0 δ gilt: f () a ε. Falls a Grenzwert von f an der Stelle 0 ist, schreibt man lim f () =a. 0 Markus Herrich Reelle Funktionen Stetigkeit Gegeben seien eine Funktion f : D f R R und eine Stelle 0 D f. Frage salopp: Nähern sich die Funktionswerte f () dem Wert f ( 0 ) an, wenn der Stelle 0 immer näher kommt, ohne genau 0 zu erreichen? Die Funktion f heißt stetig an der Stelle 0, wenn der Grenzwert lim f () eistiert und mit dem Funktionswert f ( 0 ) 0 übereinstimmt. Die Funktion f heißt stetig (auf ihrem gesamten Definitionsbereich), wenn sie stetig an jeder Stelle D f ist. Markus Herrich Reelle Funktionen

18 Grenzwerte, Stetigkeit: Beispiel Gegeben seien f : R R mit f () = und die Stelle 0 =. Der Grenzwert von f an der Stelle 0 = eistiert und beträgt f () =. lim In der Tat finden wir zu jeder noch so kleinen Zahl ε>0 eine Zahl δ>0, sodass für alle R \{} mit δ gewährleistet ist, dass f () ε gilt. +ε ε δ +δ Markus Herrich Reelle Funktionen 5 Grenzwerte, Stetigkeit: Beispiel Gegeben seien f : R R mit f () = und die Stelle 0 =. Der Funktionswert an der Stelle 0 = beträgtf () = =. Das heißt, Grenzwert und Funktionswert an der Stelle 0 = stimmen überein. Demzufolge ist die Funktion stetig an dieser Stelle. Bemerkung: Man kann sich relativ leicht überlegen, dass die Funktion an jeder Stelle R stetig ist. Markus Herrich Reelle Funktionen 6

19 Überblick über stetige Funktionen Die folgenden reellen Funktionen sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig. konstante Funktionen f () =c (c R konstant) Potenzfunktionen f () = p (p R \{0} feste Zahl) Betragsfunktion f () = Eponentialfunktionen f () =a (a > 0 feste Zahl) Logarithmusfunktionen f () =log a () (a > 0 feste Zahl) Winkelfunktionen f () =sin(), f () =cos(), f () =tan() Arcusfunktionen f () =arcsin(), f () =arccos(), f () =arctan() Markus Herrich Reelle Funktionen 7 Überblick über stetige Funktionen Außerdem gelten die folgenden Aussagen. Sind zwei Funktionen g und h stetig an einer Stelle 0,dann sind auch die Summe g + h, die Differenz g h, das Produkt g h und der Quotient g h stetig an der Stelle 0 (beim Quotienten natürlich h( 0 ) 0 vorausgesetzt). Angenommen, eine Funktion h ist stetig an der Stelle 0 und eine Funktion g ist stetig an der Stelle h( 0 ). Dann ist die Verkettung f = g h, definiert durch f () =g(h()), stetig an der Stelle 0. Markus Herrich Reelle Funktionen 8

20 Überblick über stetige Funktionen Beispiele: Die Funktion f mit f () = + ist an jeder Stelle R stetig, denn f ist die Summe von Produkten von konstanten Funktionen mit Potenzfunktionen, von denen wir bereits wissen, dass sie auf ganz R stetig sind. Die Funktion f mit f () =e sin() ist an jeder Stelle R stetig, denn f ist das Produkt einer Eponentialfunktion mit der Sinusfunktion, von denen wir bereits wissen, dass sie auf ganz R stetig sind. Die Funktion f mit f () = cos() ist an jeder Stelle R stetig, denn sie ist die Verkettung mit der inneren Funktion h() =cos() und der äußeren Funktion g(h) = h. Vong und h wissen wir bereits, dass sie auf ganz R stetig sind. Markus Herrich Reelle Funktionen 9 Grenzwerte und Stetigkeit von abschnittsweise definierten Funktionen Wir betrachten im Folgenden abschnittsweise definierte Funktionen, zum Beispiel Funktionen der Gestalt f () = { f () für 0, f () für > 0 oder f () = f () für < 0, 0 für = 0, f () für > 0, und interessieren uns jeweils dafür, ob der Grenzwert an der Übergangsstelle (oben mit 0 bezeichnet) eistiert bzw. ob die Funktion an dieser Stelle stetig ist. Dabei kann es hilfreich sein, zunächst den links- und den rechtsseitigen Grenzwert zu betrachten. Markus Herrich Reelle Funktionen 0

21 linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert Gegeben seien eine Funktion f : D f R R und eine Stelle 0 D f. Eine Zahl a R heißt linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle 0, wenn es zu jeder Zahl ε>0 eine Zahl δ>0 gibt, sodass für alle D f mit 0 δ und < 0 gilt: f () a ε. Falls a linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle 0 ist, schreibt man lim f () =a oder lim f () =a. 0, < Eine Zahl a R heißt rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle 0, wenn es zu jeder Zahl ε>0 eine Zahl δ>0 gibt, sodass für alle D f mit 0 δ und > 0 gilt: f () a ε. Falls a rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle 0 ist, schreibt man lim f () =a oder lim f () =a. 0, > Markus Herrich Reelle Funktionen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert Zusammenhang zum Grenzwert: Der Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle 0 eistiert genau dann, wenn sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle 0 eistieren und außerdem übereinstimmen. Falls der Grenzwert von f an einer Stelle 0 eistiert, dann gilt lim 0 f () = lim f () = 0, < 0 lim f (). 0, > 0 Markus Herrich Reelle Funktionen

22 Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel Wir betrachten die Funktion f : R R mit { für, f () = + für > und untersuchen das Verhalten dieser Funktion an der Stelle = Markus Herrich Reelle Funktionen Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel linksseitiger Grenzwert: lim f () =, < rechtsseitiger Grenzwert: lim, > f () = Da links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle = beide eistieren und beide übereinstimmen, eistiert auch der Grenzwert und es gilt lim f () = lim f () =, < lim f () =, > Der Funktionswert an der Stelle = beträgt f () = Markus Herrich Reelle Funktionen

23 Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel Wir betrachten die Funktion f : R R mit { für, f () = + für > und untersuchen das Verhalten dieser Funktion an der Stelle = Markus Herrich Reelle Funktionen 5 Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel linksseitiger Grenzwert: lim f () =, < rechtsseitiger Grenzwert: lim, > f () = Sowohl links- als auch rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle = eistieren. Da der Grenzwert an der Stelle = Markus Herrich Reelle Funktionen 6

24 Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel Wir betrachten die Funktion f : R R mit für <, f () = für =, + für > und untersuchen das Verhalten dieser Funktion an der Stelle = Markus Herrich Reelle Funktionen 7 Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel linksseitiger Grenzwert: rechtsseitiger Grenzwert: lim f () = lim ( ) =0., <, < lim f () = lim ( + ) =0., >, > Da links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle = beide eistieren und beide übereinstimmen, eistiert auch der Grenzwert und es gilt lim f () = lim f () =, < lim f () =0., > Der Funktionswert an der Stelle = beträgt f () =, stimmt also nicht mit dem Grenzwert an dieser Stelle überein. Somit ist f nicht stetig an der Stelle =. Markus Herrich Reelle Funktionen 8

25 Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel Wir betrachten die Funktion f : R R mit { für, f () = für > und untersuchen das Verhalten dieser Funktion an der Stelle = Markus Herrich Reelle Funktionen 9 Abschnittsweise def. Funktionen: Beispiel linksseitiger Grenzwert: lim f () = lim ( ) =0., <, < rechtsseitiger Grenzwert: eistiert nicht, denn für > stimmt die Funktion mit überein. Dieser Ausdruck geht jedoch gegen Unendlich für mit >. Da der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle = nicht eistiert, eistiert auch der Grenzwert lim f () nicht. Da der Grenzwert an der Stelle = nicht eistiert, ist f an dieser Stelle nicht stetig. Markus Herrich Reelle Funktionen 50

26 Einige spezielle Funktionen Markus Herrich Reelle Funktionen 5 Konstante Funktionen f () =c, c R feste Zahl, R f() = f() = f() = Markus Herrich Reelle Funktionen 5

27 Potenzfunktionen f () = p, p R \{0} feste Zahl Spezialfall : p N, R f() = f() = f() = f() = Markus Herrich Reelle Funktionen 5 Potenzfunktionen f () = p, p R \{0} feste Zahl Spezialfall : p (0, ), 0 0 f() = f() = f() = Markus Herrich Reelle Funktionen 5

28 Potenzfunktionen f () = p, p R \{0} feste Zahl Spezialfall : p {,,,...}, R \{0} f() = f() = f() = f() = Markus Herrich Reelle Funktionen 55 Betragsfunktion f () =, R f() = Markus Herrich Reelle Funktionen 56

29 Eponentialfunktionen f () =a, a > 0 feste Zahl, R f() = ( ) f() = ( e ) f() =e f() = - 0 Markus Herrich Reelle Funktionen 57 Logarithmusfunktionen f () =log a (), a > 0 feste Zahl, > f() =log () f() =log e () =ln() f() =log () e f() =log () Markus Herrich Reelle Funktionen 58

30 Winkelfunktionen f() =sin() -π - π -π - π 0 π π π π -π - π -π - π 0 π π π π f() =cos() f() =tan() -π - π -π - π 0 π π π π - Markus Herrich Reelle Funktionen 59 Arcusfunktionen π f() =arcsin() f() = arccos() π - 0 π - π - 0 π f() = arctan() π Markus Herrich Reelle Funktionen 60

31 Polnome Eine Funktion p : R R mit der Vorschrift p() =a n n + a n n a + a 0 (n N, a 0,...,a n R, a n 0) heißt Polnom vom Grad n oder auch ganzrationale Funktion vom Grad n. Beispiele: Bei der Funktion mit der Vorschrift p() = 5 + handelt es sich um ein Polnom vom Grad. Bei der Funktion mit der Vorschrift p() = + 7 handelt es sich um ein Polnom vom Grad. Markus Herrich Reelle Funktionen 6 Nullstellen von Polnomen Hinsichtlich der (reellen) Nullstellen eines Polnoms gelten die folgenden Aussagen: Ein Polnom vom Grad n besitzt höchstens n unterschiedliche reelle Nullstellen. Angenommen, 0 ist eine Nullstelle eines Polnoms p n vom Grad n. Dann gibt es ein Polnom p n vom Grad n, sodass für das Ausgangspolnom die folgende Darstellung gilt: p n () =( 0 ) p n (). Man sagt, dass sich der Linearfaktor 0 vom Polnom p n abspalten lässt. Jedes Polnom lässt sich somit darstellen als Produkt von Linearfaktoren sowie eines Restpolnoms, welches keine reellen Nullstellen mehr besitzt. Markus Herrich Reelle Funktionen 6

32 Nullstellen von Polnomen: Beispiel Gesucht sind alle Nullstellen des quadratischen Polnoms mit der Vorschrift p() = 5 + 6, also alle Lösungen der Gleichung = 0. Wir ermitteln sie mit Hilfe der bekannten Lösungsformel. ( 5 / = 5 ) ± 6 = 5 ± =, =. Gemäß unserer Aussage von eben lässt sich p() somit wie folgt als Produkt von Linearfaktoren darstellen: p() = =( )( ). Man kann leicht nachrechnen, dass diese Identität tatsächlich gilt. Markus Herrich Reelle Funktionen 6 Nullstellen von Polnomen: Beispiel Gesucht sind alle Nullstellen des Polnoms vom Grad mit der Vorschrift p() = Eine erste Nullstelle ist =, wie man leicht nachrechnet. Wir wissen, dass es ein quadratisches Polnom p gibt, sodass sich p gemäß p() =( )p () darstellen lässt. Dieses quadratische Polnom lässt sich mittels Polnomdivision berechnen: ( 6 + 8) :( ) = Markus Herrich Reelle Funktionen 6

33 Nullstellen von Polnomen: Beispiel Die restlichen Nullstellen des Ausgangspolnoms p sind gerade die Nullstellen des erhaltenen quadratischen Restpolnoms, also die Lösungen der Gleichung 8 = 0, und lassen sich daher mit der bekannten Lösungsformel bestimmen: / = ± ( ) + 8 = ± =, =. Zusammenfassung: p besitzt die Nullstellen =, = und =. Damit lässt sich p() wie folgt als Produkt von Linearfaktoren darstellen: p() =( )( + )( ). Markus Herrich Reelle Funktionen 65