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2 Thema: Lineare Algebra: Matrizenrechnung TMD: Kurzvorstellung des Materials: Übersicht über die Teile Im Unterricht der Oberstufe tauchen häufig Fragestellungen auf, die mit Hilfe von Matrizen gelöst werden etwa die Behandlung von linearen Gleichungssystemen. Dieses Material stellt Schülerinnen und Schülern die grundlegenden Rechenoperationen von Matrizen sowie ihren Einsatz zur Lösung von linearen Gleichungssystemen anhand einfacher Beispiele und Übungsaufgaben vor. Exemplarische Einführung in das Thema und viele mehrteilige Aufgaben mit ausführlicher Musterlösung zu einfachen Rechenoperationen von Matrizen (Addition, Subtraktion, Multiplikation), inversen Matrizen, Gauß-Alogrithmus. Information zum Dokument SCHOOL-SCOUT schnelle Hilfe per Ca. 26 Seiten, Größe ca. 600 kbyte Internet:

3 SCHOOL-SCOUT Lineare Algebra: Matrizenrechnung Seite 2 von Rechenoperationen mit Matrizen: Eine Matrix ist zunächst einmal nichts Anderes als eine tabellarische Zusammenfassung von Zahlen in Zeilen und Spalten (kurz: -Matrix): Das Element bezeichnet somit den Eintrag in der ten Zeile und der ten Spalte. Betrachten Sie die Matrix so gilt:,, und. Die zweite Zeile ist blau umramt, die zweite Spalte rot. Für den Umgang mit Matrizen gelten die folgenden Rechengesetze: 1.Skalarmultiplikation (Multiplikation mit einer reellen Zahl): Die Multiplikation einer Matrix mit einer festen reellen Zahl wird komponentenweise definiert: Beispiel: 2.Addition : Besitzen zwei Matrizen die gleiche Anzahl an Spalten und Zeilen, so wird die Addition zweier Matrizen komponentenweise definiert: Beispiel:

4 SCHOOL-SCOUT Lineare Algebra: Matrizenrechnung Seite 3 von 26 Wichtig hierbei ist, dass beide Matrizen die gleiche Zeilen- und Spaltenzahl haben, da ansonsten nicht zu jedem Eintrag ein Eintrag addiert werden kann. So macht die Addition der beiden Matrizen und keinen Sinn. Analog hierzu können wir auch eine Subtraktion zweier Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl betrachten: 3.Multiplikation zweier Matrizen: Zwei Matrizen können miteinander multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix übereinstimmt. Formal muss die Struktur der beiden Matrizen, die miteinander multipliziert werden soll, somit so aussehen: Dies bedeutet, dass das Produkt dieser beiden Matrizen Zeilen und Spalten besitzt. Die genaue Berechnung des Produkts zweier Matrizen soll direkt an einem Beispiel verdeutlicht werden. Es werden die Spalten der ersten Matrix mit der den Zeilen der zweiten Matrix multipliziert:

5 SCHOOL-SCOUT Lineare Algebra: Matrizenrechnung Seite 4 von 26 Zur besseren Übersicht nochmals schematisch: = Auf Grund der Tatsache, dass die erste Matrix eine - Matrix und die zweite Matrix vom Typ ist, muss die Produktmatrix der Gestalt sein. Zu beachten ist, dass das Matrizenprodukt im Allgemeinen nicht kommutativ ist, das heißt, es ist (im Gegensatz zu reellen Zahlen) nicht egal, ob Sie oder rechnen, wie Sie leicht an folgendem Beispiel erkennen können: Betrachten Sie die beiden Matrizen und Da beide Matrizen jeweils 2 Zeilen und 2 Spalten besitzen, ist sowohl das Produkt auch das Produkt definiert. Wir erhalten: als sowie Folglich gilt hier:. Anhand der folgenden Übungsaufgaben können Sie sich mit den elementaren Rechenoperationen mit Matrizen vertraut machen.

6 SCHOOL-SCOUT Lineare Algebra: Matrizenrechnung Seite 5 von 26 Übungen Aufgabe 1 Bestimmen Sie die folgenden Matrizen: a) b) c) d) falls, sonst Aufgabe 2 Gegeben seien die drei Matrizen Berechnen Sie: a) b) c) Aufgabe 3 Gegeben seien Ihnen die vier Matrizen Berechnen Sie alle möglichen Produkte zweier verschiedener Matrizen!

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