Matrizen und ihre Anwendungen 1

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1 Klassiker der Technik Matrizen und ihre Anwendungen 1 Grundlagen Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker Bearbeitet von Rudolf Zurmühl, Sigurd Falk 7. Aufl New printing in a different form Buch. xiv, 496 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 923 g Weitere Fachgebiete > Technik > Technik Allgemein > Mathematik für Ingenieure Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Inhaltsverzeichnis 1 I. Kapitel Der Matrizenkalkül Grundbegriffe und einfache Rechenregeln. Lineare Transformation, Matrix und Vektor. Zeilen- und Spaltenvektoren. Einfache Rechenregeln. Transponierte Matrix, symmetrische und schiefsymmetrische Matrix. Diagonalmatrix, Skalarmatrix und Einheitsmatrix. Lineare Abhängigkeit, Rang, singuläre Matrix, Determinante.. Das Matrizenprodukt. Einführung des Matrizenproduktes. Sätze über Matrizenmultiplikation ~. Diagonal- und Dreiecksmatrix. Skalares Produkt, Betrag und Winkel reeller Vektoren. Dyadisches Produkt. Potenzen und Polynome. Die Gaußsche Transformation. Orthogonale Matrizen. Die Kehrmatrix (Inverse). Begriff und Herleitung der Kehrmatrix. Adjungierte Matrix. Formelmäßiger Ausdruck der aik. Matrizendivision. Komplexe Matrizen. Komplexe Matrizen und Vektoren. Sonderformen komplexer Matrizen. Reelle Darstellung komplexer Matrizen. Inverse, Adjungierte und Determinante einer hermiteschen Matrix I Die mit dem Zeichen versehenen Abschnitte bilden in sich ein geschlossenes Ganzes und sollten als erstes studiert werden.

3 VIII 11. Kapitel Transformationen und Iinea~e Gleichungen Inhaltsverzeichnis Freie Transformationen. Ein- und beidseitige Transformationen. Reguläre Transformationen. Die drei Grundoperationen. Das Generalschema einer Äquivalenztransformation. Das Pivotkreuz. Die Normalform einer Matrix. Das vollständige System von Elevatoren. Potenzen und Polynome. Der Vertauschungssatz. Lineare Abbildungen Die Algorithmen von Gauß, Banachiewicz und Gauß-Jordan. Zielsetzung. Das Nullenkreuz. Der Gaußsche Algorithmus in expliziter Durchführung. Der Gaußsche Algorithmus in impliziter Durchführung. Der Algorithmus von Banachiewicz. Der Algorithmus von Gauß-Jordan. Hermitesche (reellsymmetrische) Matrix. Rechenaufwand. Pivotregulierung. Pivotregulierung bei hermitescher Matrix. Bewegliches Pivot. Reelle ganzzahlige Äquivalenztransformationen. Der verkürzte Euklidische Algorithmus. Reelle ganzzahlige Kongruenztransformationen. Komplexe ganzzahlige Transformationen. Die Normalform. Dreieckszerlegung einer quadratischen Matrix. Eigenzeilen und Eigenspalten einer singulären Matrix. Die normierte Eigendyade als Projektor. Schlußbemerkung Auflösung linearer Gleichungssysteme. AufgabensteIlung. Drei Kardinalforderungen. Der Algorithmus von Gauß. Der Algorithmus von Banachiewicz. Der Algorithmus von Gauß-Jordan. Reguläre quadratische Matrix. Determinante, Inverse und Adjungierte. Pivotregulierung. Wiederholung der Rechnung. Homogene Gleichungssysteme

4 Inhaltsverzeichnis IX Hermitesche (reellsymmetrische) Matrix. Allgemeine inhomogene Gleichungssysteme. Ganzzahlige Gleichungssysteme. Zusammenfassung. Orthogonalsysteme. Die Normalform eines Matrizenproduktes. Biorthonormalsysteme. Das vervollständigte Matrizenprodukt. Kongruenztransformation. Orthogonalsysteme. Eine Variante. Überbestimmte Gleichungssysteme. Kondensation. Die Pseudoinverse. Lineare Abhängigkeit und Rang. Die Pivotmatrix. Die Basis. Dyadische Zerlegung. Der dominierende Minor. Lineare Abhängigkeit von Vektoren und Matrizen. Der Rang eines Matrizenproduktes Gebundene Transformationen Die simultane Äquivalenztransformation Die dyadische Zerlegung eines Matrizenpaares " Die Spektralzerlegung eines Matrizenpaares Normale Matrizenpaare Potenzen und Polynome Die Produktzerlegung einer diagonalähnlichen Matrix Normalformen von Matrizenpaaren Die strikte Ähnlichkeitstransformation. Die drei Grundoperationen Die gequantelte Ähnlichkeitstransformation Die Ähnlichkeitstransformation auf die Begleitmatrix Normiert-unitäre Transformationen. Unitäre Ergänzung Nicht-normiert unitäre Transformationen Unitäre Transformation auf obere Hessenberg-Matrix Ganzzahlige Ähnlichkeitstransformation auf obere Hessenberg- Matrix Lineare Abbildungen Zusammenfassung. Ausblick 215

5 x Inhaltsverzeichnis III Kapitel Quadratische Formen nebst Anwendungen. Quadratische Formen. Darstellung quadratischer und bilinearer Formen. Definite quadratische Formen. Indefinite quadratische Formen. Transformation quadratischer Formen. Invarianten. Hermitesche Formen. Flächen zweiten Grades. Einige Anwendungen quadratischer Formen. Anwendung in der Ausgleichsrechnung. Vektorielles Produkt und Abstandsquadrat. Massen- und Flächenmoment zweiten Grades. Die kinetische Energie eines starren Körpers. Die potentielle Energie einer elastischen Feder IV. Kapitel Die Eigenwertaufgabe Eigenwerte und Eigenvektoren Das allgemeine einparametrige Eigenwertproblem Reguläre Äquivalenztransformation. Invarianten Polynommatrizen Das lineare Eigenwertproblem (Matrizenpaare) Orthogonalität der Links- und Rechtseigenvektoren Das spezielle Eigenwertproblem Die charakteristische Gleichung Kondensation. Der Formenquotient Die Eigenwerte eines Matrizenproduktes Reelle Paare mit konjugiert-komplexen Eigenwerten Der Satz von Cayleigh-Hamilton Diagonalähnliche Matrizenpaare. Die Diagonalmatrix für s = n. Die Block-Diagonalmatrix für s<n. Die Spektralzerlegung eines diagonalähnlichen Paares. Eigenwerte und Eigenterme. Eine spezielle lineare Vektordifferentialgleichung zweiter Ordnung. Das Minimalpolynom. Diagonalkongruente (normale) Matrizenpaare. Die Normalitätseigenschaft. Hermitesche (reellsymmetrische) Paare. Schiefhermitesche (schiefsymmetrische) Matrix. B-unitäres Matrizenpaar. Reelle Flächenpaare zweiten Grades. Das Hauptachsenproblem

6 Inhaltsverzeichnis XI 15.6 Lineare Schwingungssysteme Die hermiteschen Komponenten eines normalen Paares Fragen der Normierung Die singulären Werte eines allgemeinen Matrizenpaares Die Struktur eines Matrizenpaares Die Block-Diagonalmatrix. Strukturfragen Zielsetzung Die Transformation auf obere Dreiecksmatrix Die Transformation auf Block-Diagonalmatrix Die Struktur der Eigenmatrix. Natürliche Charakteristik Die Normierung der Kodiagonale Die Transformation auf die Strukturmatrix Die Jordan-Matrix Die Jordan-Spektralzerlegung Ein Rückblick von höherer Warte Eigen- und Hauptvektoren Zusammenfassung. Historisches Eigenwerte spezieller Matrizen. Spaltensummenkonstante und stochastische Matrizen. Schachbrettmatrizen. Zyklische Matrizen. Spezielle dreireihige Bandmatrizen. Die Matrix von Boothroyd/Dekker. Parametermatrizen. Problemstellung. Spektralzerlegung einer diagonalähnlichen Parametermatrix. Diagonalähnliche Matrizentupel. Selbstnormierende Tupel. Über die Eigenwerte von Matrizenprodukten. Parameternormale Matrizen. Lineare Abhängigkeit von einem Leitpaar V Kapitel Matrizengleichungen und Matrizenfunktionen. Matrizengleichungen. Problemstellung. Die Matrizengleichung A X B = C. Die mehrgliedrige lineare Matrizengleichung. Die zweigliedrige lineare Matrizengleichung. Elimination. Dekomposition (Entflechtung). Rekursion. Entkopplung

7 XII Inhaltsverzeichnis 19.9 Algebraisch nichtlineare Matrizengleichungen Zusammenfassung. Ausblick VI Matrizenfunktionen. Der Austausch von Eigenwerten. Deflation. Was ist eine Matrizenfunktion?. Die skalare Taylor-Entwicklung. Die Taylor-Entwicklung im Gesamtraum. Die Taylor-Entwicklung im Eigenraum (Hauptunterraum). Quasipolynome. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.. Mehrdeutige Funktionen. Kapitel Ergänzungen. Kondensation. Der Rayleigh-Quotient und sein Wertebereich. Was ist ein Kondensat?. Der Rayleigh-Quotient eines normalen Paares. Der Wertebereich. Der Einfluß einer Störung. Der Wertebereich eines nichtnormalen Paares. Kondensation höherer Ordnung. Blockmatrizen. Die Matrizenmultiplikation in Blöcken. Die reduzierte Blockmatrix. Blockdreiecksmatrizen. Inverse und Adjungierte einer vierteiligen Hypermatrix. Die Identität von Frobenius/SchurIWoodbury. Abgeänderte (gestörte, benachbarte) Gleichungssysteme. Singuläre Matrizenpaare. Expansion von Polynomen und Polynommatrizen. Zielsetzung. Expansion von Günther. Diagonalexpansion. Wiederholte Diagonalexpansion. Diagonalexpansion mit konstanten Defekten. Diagonalexpansion mit variablen Defekten. Zusammenfassung Schlußbemerkung 483 Weiterführende Literatur Lehr- und Fachbücher 485 Einzelveröffentlichungen 487 Namen- und Sachverzeichnis