Endliche Automaten. Endliche Automaten 1 / 102

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1 Endliche Automaten Endliche Automaten 1 / 102

2 Endliche Automaten Endliche Automaten erlauben eine Beschreibung von Handlungsabläufen: Wie ändert sich ein Systemzustand in Abhängigkeit von veränderten Umgebungsbedingungen? Endliche Automaten 2 / 102

3 Endliche Automaten Endliche Automaten erlauben eine Beschreibung von Handlungsabläufen: Wie ändert sich ein Systemzustand in Abhängigkeit von veränderten Umgebungsbedingungen? Vielfältiges Einsatzgebiet, nämlich: - in der Definition der regulären Sprachen also der Menge aller Folgen von Ereignissen, die von einem Startzustand in einen gewünschten Zustand führen, - in der Entwicklung digitaler Schaltungen - in der Softwaretechnik (z. B. in der Modellierung des Applikationsverhaltens) - in der Compilierung: Lexikalische Analyse - im Algorithmenentwurf für String Probleme - in der Abstraktion tatsächlicher Automaten (wie Bank- und Getränkeautomaten, Fahrstühle etc.). Endliche Automaten 2 / 102

4 Freischaltung eines Fernsehers (1/2) Um die Kindersicherung des Fernsehers über die Fernbedienung freizuschalten, muss ein dreistelliger Code korrekt eingegeben werden. Dabei sind die folgenden Tasten relevant: - Die Tasten 0,..., 9, - die Taste CODE sowie - die Taste BACK. Endliche Automaten Beispiele 3 / 102

5 Freischaltung eines Fernsehers (1/2) Um die Kindersicherung des Fernsehers über die Fernbedienung freizuschalten, muss ein dreistelliger Code korrekt eingegeben werden. Dabei sind die folgenden Tasten relevant: - Die Tasten 0,..., 9, - die Taste CODE sowie - die Taste BACK. Wird BACK gedrückt, so wird die zuletzt eingegebene Zahl zurückgenommen. Die Taste CODE muss vor Eingabe des Codes gedrückt werden. Wird CODE während der Codeeingabe nochmals gedrückt, so wird die Eingabe neu begonnen. Der Code zum Entsperren ist 999. Endliche Automaten Beispiele 3 / 102

6 Freischaltung eines Fernsehers (2/2) CODE BACK CODE ready 9 BACK CODE 9 9 BACK 9 99 ON CODE 0,...,8 x BACK CODE CODE CODE 0,...,8 9x BACK 0,...,8 0,...,9 BACK xx 0,...,9 0,...,9 OFF 0,...,9 BACK Der Automat akzeptiert alle Folgen von Bedienoperationen, die vom Zustand ready in den Zustand ON führen. Endliche Automaten Beispiele 4 / 102

7 Was ist ein endlicher Automat? Ein deterministischer endlicher Automat (engl. deterministic finite automaton, kurz DFA) A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) besteht aus: einer endlichen Menge Σ, dem Eingabealphabet, einer endlichen Menge Q, der Zustandsmenge (die Elemente aus Q werden Zustände genannt), einer Funktion δ von Q Σ nach Q, der Übergangsfunktion (oder Überführungsfunktion), einem Zustand q 0 Q, dem Startzustand, sowie einer Menge F Q von Endzuständen bzw. akzeptierenden Zuständen. (Der Buchstabe F steht für final states, also Endzustände ). Endliche Automaten DFAs: Die formale Definition 5 / 102

8 Der Automatengraph, die grafische Darstellung eines DFA Endliche Automaten Der Automatengraph 6 / 102

9 Grafische Darstellung: Der Automatengraph A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei ein DFA. Für jeden Zustand q Q gibt es einen durch q dargestellten Knoten. Endliche Automaten Der Automatengraph 7 / 102

10 Grafische Darstellung: Der Automatengraph A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei ein DFA. Für jeden Zustand q Q gibt es einen durch q dargestellten Knoten. Der Startzustand q 0 wird durch einen in ihn hinein führenden Pfeil markiert, d.h.: q 0 Endliche Automaten Der Automatengraph 7 / 102

11 Grafische Darstellung: Der Automatengraph A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei ein DFA. Für jeden Zustand q Q gibt es einen durch q dargestellten Knoten. Der Startzustand q 0 wird durch einen in ihn hinein führenden Pfeil markiert, d.h.: q 0 Jeder akzeptierende Zustand q F wird durch eine doppelte Umrandung markiert, d.h.: q Endliche Automaten Der Automatengraph 7 / 102

12 Grafische Darstellung: Der Automatengraph A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei ein DFA. Für jeden Zustand q Q gibt es einen durch q dargestellten Knoten. Der Startzustand q 0 wird durch einen in ihn hinein führenden Pfeil markiert, d.h.: q 0 Jeder akzeptierende Zustand q F wird durch eine doppelte Umrandung markiert, d.h.: Seien p, q Q Zustände und a Σ ein Symbol des Alphabets mit δ(q, a) = p. Dann füge einen mit dem Symbol a beschrifteten Pfeil von Knoten q zu Knoten p ein, d.h.: q q a p Endliche Automaten Der Automatengraph 7 / 102

13 Vom Automatengraph zur formalen Beschreibung Der DFA A 1 hat den Automatengraphen a q 0 q 1 a b b Wir möchten A 1 formal beschreiben. 1 Das Eingabealphabet Σ = Endliche Automaten Der Automatengraph 8 / 102

14 Vom Automatengraph zur formalen Beschreibung Der DFA A 1 hat den Automatengraphen a q 0 q 1 a b b Wir möchten A 1 formal beschreiben. 1 Das Eingabealphabet Σ = {a, b}, 2 die Zustandsmenge Q = Endliche Automaten Der Automatengraph 8 / 102

15 Vom Automatengraph zur formalen Beschreibung Der DFA A 1 hat den Automatengraphen a q 0 q 1 a b b Wir möchten A 1 formal beschreiben. 1 Das Eingabealphabet Σ = {a, b}, 2 die Zustandsmenge Q = {q 0, q 1 } 3 die Übergangsfunktion δ : Q Σ Q: siehe Tafel. Endliche Automaten Der Automatengraph 8 / 102

16 Vom Automatengraph zur formalen Beschreibung Der DFA A 1 hat den Automatengraphen a q 0 q 1 a b b Wir möchten A 1 formal beschreiben. 1 Das Eingabealphabet Σ = {a, b}, 2 die Zustandsmenge Q = {q 0, q 1 } 3 die Übergangsfunktion δ : Q Σ Q: siehe Tafel. 4 der Startzustand q 0 und 5 die Menge F = Endliche Automaten Der Automatengraph 8 / 102

17 Vom Automatengraph zur formalen Beschreibung Der DFA A 1 hat den Automatengraphen a q 0 q 1 a b b Wir möchten A 1 formal beschreiben. 1 Das Eingabealphabet Σ = {a, b}, 2 die Zustandsmenge Q = {q 0, q 1 } 3 die Übergangsfunktion δ : Q Σ Q: siehe Tafel. 4 der Startzustand q 0 und 5 die Menge F = {q 1 } der akzeptierenden Zustände. Endliche Automaten Der Automatengraph 8 / 102

18 Wie arbeitet ein DFA? Die erweiterte Übergangsfunktion Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 9 / 102

19 Wie arbeitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (1/2) Ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) erhält als Eingabe ein Wort w Σ. (Das Wort repräsentiert eine Folge von Aktionen oder Bedienoperationen.) A wird im Startzustand q 0 gestartet. 0. Falls w das leere Wort ist, d.h. w = ε, dann verbleibt A im Zustand q 0. Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 10 / 102

20 Wie arbeitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (1/2) Ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) erhält als Eingabe ein Wort w Σ. (Das Wort repräsentiert eine Folge von Aktionen oder Bedienoperationen.) A wird im Startzustand q 0 gestartet. 0. Falls w das leere Wort ist, d.h. w = ε, dann verbleibt A im Zustand q Also gelte w = a 1 a n mit n N >0 und a 1,..., a n Σ. Der Automat liest den ersten Buchstaben a 1 von w und wechselt in den Zustand q 1 := Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 10 / 102

21 Wie arbeitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (1/2) Ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) erhält als Eingabe ein Wort w Σ. (Das Wort repräsentiert eine Folge von Aktionen oder Bedienoperationen.) A wird im Startzustand q 0 gestartet. 0. Falls w das leere Wort ist, d.h. w = ε, dann verbleibt A im Zustand q Also gelte w = a 1 a n mit n N >0 und a 1,..., a n Σ. Der Automat liest den ersten Buchstaben a 1 von w und wechselt in den Zustand q 1 := δ(q 0, a 1 ). In der grafischen Darstellung von A wird der Zustand durch die mit a 1 beschriftete Kante verlassen, und q 1 ist der Endknoten dieser Kante, d.h. a q 1 0 q 1 q 0 Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 10 / 102

22 Wie arbeitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (2/2) 2. Durch Lesen von a 2, dem zweiten Symbol von w, wechselt A in den Zustand q 2 := Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 11 / 102

23 Wie arbeitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (2/2) 2. Durch Lesen von a 2, dem zweiten Symbol von w, wechselt A in den Zustand q 2 := δ(q 1, a 2 ). In der grafischen Darstellung von A wird q 1 durch die mit a 2 beschriftete a Kante q 2 1 q 2 q 2 = δ(q 1, a 2 ). verlassen und der Automat landet in Zustand Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 11 / 102

24 Wie arbeitet ein DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F )? (2/2) 2. Durch Lesen von a 2, dem zweiten Symbol von w, wechselt A in den Zustand q 2 := δ(q 1, a 2 ). In der grafischen Darstellung von A wird q 1 durch die mit a 2 beschriftete a Kante q 2 1 q 2 verlassen und der Automat landet in Zustand q 2 = δ(q 1, a 2 ). n. Auf diese Weise wird das gesamte Eingabewort w = a 1 a n abgearbeitet. Ausgehend vom Startzustand q0 erreicht A nacheinander Zustände q 1,..., q n. In der grafischen Darstellung von A entspricht diese Zustandsfolge einem Weg der Länge n, der im Knoten q 0 startet und dessen Kanten mit den Buchstaben a 1,..., a n beschriftet sind. Schreibe δ(q0, w) := q n. Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 11 / 102

25 Die erweiterte Übergangsfunktion für den DFA A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b 1 δ(q0, ab) = Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 12 / 102

26 Die erweiterte Übergangsfunktion für den DFA A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b 1 δ(q0, ab) = q 0 2 δ(q0, ababab) = Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 12 / 102

27 Die erweiterte Übergangsfunktion für den DFA A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b 1 δ(q0, ab) = q 0 2 δ(q0, ababab) = q 0 3 δ(q1, ababab) = Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 12 / 102

28 Die erweiterte Übergangsfunktion für den DFA A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b 1 δ(q0, ab) = q 0 2 δ(q0, ababab) = q 0 3 δ(q1, ababab) = q 0 4 δ(q1, abbaba) = Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 12 / 102

29 Die erweiterte Übergangsfunktion für den DFA A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b 1 δ(q0, ab) = q 0 2 δ(q0, ababab) = q 0 3 δ(q1, ababab) = q 0 4 δ(q1, abbaba) = q 1 5 δ(q0, (ba) 100 ) = Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 12 / 102

30 Die erweiterte Übergangsfunktion für den DFA A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b 1 δ(q0, ab) = q 0 2 δ(q0, ababab) = q 0 3 δ(q1, ababab) = q 0 4 δ(q1, abbaba) = q 1 5 δ(q0, (ba) 100 ) = q 1 Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 12 / 102

31 Was genau ist δ(q, w)? Sei A := (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. Eine rekursive Definition der Funktion δ : Q Σ Q Der Rekursionsanfang: f.a. q Q ist δ(q, ε) := Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 13 / 102

32 Was genau ist δ(q, w)? Sei A := (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. Eine rekursive Definition der Funktion δ : Q Σ Q Der Rekursionsanfang: f.a. q Q ist δ(q, ε) := q. Der Rekursionsschritt: F.a. q Q, w Σ und a Σ gilt für q := δ(q, w): δ(q, wa) := Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 13 / 102

33 Was genau ist δ(q, w)? Sei A := (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. Eine rekursive Definition der Funktion δ : Q Σ Q Der Rekursionsanfang: f.a. q Q ist δ(q, ε) := q. Der Rekursionsschritt: F.a. q Q, w Σ und a Σ gilt für q := δ(q, w): δ(q, wa) := δ(q, a). Grafische Darstellung: q w a ˆδ(q, w) δ(ˆδ(q, w), a) wa δ(q 0, w) ist der Zustand, der nach Verarbeitung des Worts w erreicht wird. Endliche Automaten Die erweiterte Übergangsfunktion 13 / 102

34 DFAs: Die Maschinensichtweise Verarbeitung eines Eingabeworts durch einen DFA A: w = Lesekopf a 1 a 2 a 3 q 0 aktueller Zustand Wir können uns einen DFA als eine Maschine vorstellen, die ihre Eingabe w = a 1 a 2 a 3 a n von links-nach-rechts mit Hilfe eines Lesekopfes durchläuft und dabei Zustandsübergänge durchführt. Endliche Automaten DFAs: Die Maschinensichtweise 14 / 102

35 Die akzeptierte Sprache eines DFA DFAs und ihre Sprachen 15 / 102

36 Wann akzeptiert A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein Wort w? Das Eingabewort w wird vom DFA A akzeptiert, falls δ(q 0, w) F, d.h., falls der nach Verarbeitung von w erreichte Zustand zur Menge F der akzeptierenden Zustände gehört. Wie übersetzt sich in der grafischen Darstellung von A? Akzeptanz von w = a 1 a n DFAs und ihre Sprachen 16 / 102

37 Wann akzeptiert A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein Wort w? Das Eingabewort w wird vom DFA A akzeptiert, falls δ(q 0, w) F, d.h., falls der nach Verarbeitung von w erreichte Zustand zur Menge F der akzeptierenden Zustände gehört. Wie übersetzt sich Akzeptanz von w = a 1 a n in der grafischen Darstellung von A? Es gibt einen in q 0 startenden Weg der Länge n, - dessen Kanten mit den Symbolen a 1,..., a n beschriftet sind, - und der in einem akzeptierenden Zustand endet. DFAs und ihre Sprachen 16 / 102

38 Die akzeptierte Sprache L(A) Die von einem DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) akzeptierte Sprache L(A) ist L(A) := { w Σ : DFAs und ihre Sprachen 17 / 102

39 Die akzeptierte Sprache L(A) Die von einem DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) akzeptierte Sprache L(A) ist L(A) := { w Σ : δ(q0, w) F }. Ein Wort w Σ gehört also genau dann zur Sprache L(A), wenn w vom DFA A akzeptiert wird. DFAs und ihre Sprachen 17 / 102

40 Der Automat A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b A 1 akzeptiert die Sprache L(A 1 ) = {w {a, b} : DFAs und ihre Sprachen Beispiele 18 / 102

41 Der Automat A 1 Wir betrachten wieder den DFA A 1 mit dem Automatengraphen a q 0 q 1 a b b A 1 akzeptiert die Sprache L(A 1 ) = {w {a, b} : der letzte Buchstabe von w ist ein a } DFAs und ihre Sprachen Beispiele 18 / 102

42 Der Automat A 2 Der DFA A 2 mit dem Automatengraphen b q bb a q ba a b q aa b a b a q ab akzeptiert die Sprache L(A 2 ) = {w {a, b} : DFAs und ihre Sprachen Beispiele 19 / 102

43 Der Automat A 2 Der DFA A 2 mit dem Automatengraphen b q bb a q ba a b q aa b a b a q ab akzeptiert die Sprache L(A 2 ) = {w {a, b} : der vorletzte Buchstabe von w ist ein a } DFAs und ihre Sprachen Beispiele 19 / 102

44 Ein Paritätscheck Bei der Speicherung von Daten auf einem Speichermedium eines Computers werden Informationen durch binäre Worte über dem Alphabet {0, 1} kodiert. Um Fehler bei der Datenübertragung zu erkennen, wird oft ein Paritätsbit angehängt, so dass die Summe der Einsen im resultierenden Wort w gerade ist. Für ein beliebiges Wort w {0, 1} sagen wir w besteht den Paritätscheck, falls die Anzahl der Einsen in w gerade ist. Der folgende DFA A führt einen Paritätscheck durch: DFAs und ihre Sprachen Beispiele 20 / 102

45 Ein Paritätscheck Bei der Speicherung von Daten auf einem Speichermedium eines Computers werden Informationen durch binäre Worte über dem Alphabet {0, 1} kodiert. Um Fehler bei der Datenübertragung zu erkennen, wird oft ein Paritätsbit angehängt, so dass die Summe der Einsen im resultierenden Wort w gerade ist. Für ein beliebiges Wort w {0, 1} sagen wir w besteht den Paritätscheck, falls die Anzahl der Einsen in w gerade ist. Der folgende DFA A führt einen Paritätscheck durch: q 0 q 1 1 Für A gilt: L(A) = {w {0, 1} : w besteht den Paritätscheck }. DFAs und ihre Sprachen Beispiele 20 / 102

46 Minimierung von DFAs Minimierung 21 / 102

47 Minimiere die Zustandszahl A = (Σ, Q A, δ A, q A 0, F A ) und B = (Σ, Q B, δ B, q B 0, F B ) seien DFAs. (a) Wir nennen A und B äquivalent, wenn gilt (b) A heißt L(A) = L(B). minimal, wenn kein mit A äquivalenter vollständiger DFA eine kleinere Zustandszahl besitzt. Minimierung 22 / 102

48 Minimiere die Zustandszahl A = (Σ, Q A, δ A, q A 0, F A ) und B = (Σ, Q B, δ B, q B 0, F B ) seien DFAs. (a) Wir nennen A und B äquivalent, wenn gilt (b) A heißt L(A) = L(B). minimal, wenn kein mit A äquivalenter vollständiger DFA eine kleinere Zustandszahl besitzt. DAS ZIEL: Gegeben ist ein DFA A. Bestimme einen minimalen, mit A äquivalenten DFA. Minimierung 22 / 102

49 Zustandsminimierung: Die Idee Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Die Idee: Wir sollten doch zwei Zustände p, q Q zu einem einzigen Zustand verschmelzen dürfen, wenn p und q aquivalent sind, Aber was bedeutet das? also dasselbe Ausgabeverhalten besitzen. Minimierung 23 / 102

50 Zustandsminimierung: Die Idee Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Die Idee: Wir sollten doch zwei Zustände p, q Q zu einem einzigen Zustand verschmelzen dürfen, wenn p und q aquivalent sind, Aber was bedeutet das? also dasselbe Ausgabeverhalten besitzen. Die Verschmelzungsrelation A ist eine 2-stellige Relation über der Zustandsmenge Q. Wir sagen, dass Zustände p, q Q äquivalent bzgl. A sind, (kurz p A q), wenn f.a. Worte w Σ : Minimierung 23 / 102

51 Zustandsminimierung: Die Idee Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Die Idee: Wir sollten doch zwei Zustände p, q Q zu einem einzigen Zustand verschmelzen dürfen, wenn p und q aquivalent sind, Aber was bedeutet das? also dasselbe Ausgabeverhalten besitzen. Die Verschmelzungsrelation A ist eine 2-stellige Relation über der Zustandsmenge Q. Wir sagen, dass Zustände p, q Q äquivalent bzgl. A sind, (kurz p A q), wenn f.a. Worte w Σ : δ(p, w) F δ(q, w) F. Wir nennen A Verschmelzungsrelation, da wir bzgl. A äquivalente Zustände in einen Zustand verschmelzen möchten. Minimierung 23 / 102

52 Einschub: Äquivalenzrelationen Minimierung 24 / 102

53 2-stellige Relationen und gerichtete Graphen Zur Erinnerung: Für eine 2-stellige Relation R über der Knotenmenge V gilt R V V. Wir können somit die Relation R als Kantenmenge und umgekehrt eine Kantenmenge als eine 2-stellige Relation auffassen. Minimierung 25 / 102

54 2-stellige Relationen und gerichtete Graphen Zur Erinnerung: Für eine 2-stellige Relation R über der Knotenmenge V gilt R V V. Wir können somit die Relation R als Kantenmenge und umgekehrt eine Kantenmenge als eine 2-stellige Relation auffassen. Gerichtete Graphen mit Knotenmenge V und 2-stellige Relationen über V sind äquivalente Konzepte! Minimierung 25 / 102

55 Wichtige Eigenschaften 2-stelliger Relationen Sei E eine 2-stellige Relation über einer Menge V, d.h. G = (V, E) ist ein gerichteter Graph. (a) E heißt reflexiv, falls für alle v V gilt: (v, v) E. (Skizze: v ) Minimierung 26 / 102

56 Wichtige Eigenschaften 2-stelliger Relationen Sei E eine 2-stellige Relation über einer Menge V, d.h. G = (V, E) ist ein gerichteter Graph. (a) E heißt reflexiv, falls für alle v V gilt: (v, v) E. (Skizze: v ) (b) E heißt symmetrisch, falls f.a. v, w V gilt: Wenn (v, w) E, dann auch (w, v) E. Zur Kante v w gibt es auch die Rückwärtskante v w Minimierung 26 / 102

57 Wichtige Eigenschaften 2-stelliger Relationen Sei E eine 2-stellige Relation über einer Menge V, d.h. G = (V, E) ist ein gerichteter Graph. (a) E heißt reflexiv, falls für alle v V gilt: (v, v) E. (Skizze: v ) (b) E heißt symmetrisch, falls f.a. v, w V gilt: Wenn (v, w) E, dann auch (w, v) E. Zur Kante v w gibt es auch die Rückwärtskante v w (c) E heißt transitiv, falls f.a. v, w, u V gilt: Ist (v, w) E und (w, u) E, so auch (v, u) E. Minimierung 26 / 102

58 Wichtige Eigenschaften 2-stelliger Relationen Sei E eine 2-stellige Relation über einer Menge V, d.h. G = (V, E) ist ein gerichteter Graph. (a) E heißt reflexiv, falls für alle v V gilt: (v, v) E. (Skizze: v ) (b) E heißt symmetrisch, falls f.a. v, w V gilt: Wenn (v, w) E, dann auch (w, v) E. Zur Kante v w gibt es auch die Rückwärtskante v w (c) E heißt transitiv, falls f.a. v, w, u V gilt: Ist (v, w) E und (w, u) E, so auch (v, u) E. E (Skizze: v w u E E v w u ) E E Minimierung 26 / 102

59 Äquivalenzrelationen (a) Eine Äquivalenzrelation ist eine 2-stellige Relation, die reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Minimierung Äquivalenzrelationen 27 / 102

60 Äquivalenzrelationen (a) Eine Äquivalenzrelation ist eine 2-stellige Relation, die reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. (b) Sei E eine Äquivalenzrelation über einer Menge V. Für jedes v V bezeichnet [v] E := { v V (v, v ) E } die Äquivalenzklasse von v bezüglich E. [v] E besteht aus allen Elementen von V, die gemäß E äquivalent zu v sind. Eine Menge W V heißt Äquivalenzklasse (bzgl. E), falls W = [v] E für ein Element v V gilt. Das Element v heißt Vertreter seiner Äquivalenzklasse W. Minimierung Äquivalenzrelationen 27 / 102

61 Die wichtigste Eigenschaft von Äquivalenzrelationen Sei E eine Äquivalenzrelation über der Menge V. (a) Dann gilt für alle Elemente v, w V [v] E = [w] E oder [v] E [w] E =. (b) V ist eine disjunkte Vereinigung von Äquivalenzklassen. Beweis: Siehe Tafel. Minimierung Äquivalenzrelationen 28 / 102

62 Äquivalenzrelationen: Beispiele (1/2) (a) Gleichheit: Für jede Menge M ist E := { (m, m) : m M } eine Äquivalenzrelation: (x, y) E gilt genau dann, wenn x = y. Minimierung Äquivalenzrelationen 29 / 102

63 Äquivalenzrelationen: Beispiele (1/2) (a) Gleichheit: Für jede Menge M ist E := { (m, m) : m M } eine Äquivalenzrelation: (x, y) E gilt genau dann, wenn x = y. (b) Gleichmächtigkeit: Für jede endliche Menge M ist E := { (A, B) : A M, B M, A = B } eine Äquivalenzrelation über der Potenzmenge M. Skizze für M = {1, 2}: Minimierung Äquivalenzrelationen 29 / 102

64 Äquivalenzrelationen: Beispiele (1/2) (a) Gleichheit: Für jede Menge M ist E := { (m, m) : m M } eine Äquivalenzrelation: (x, y) E gilt genau dann, wenn x = y. (b) Gleichmächtigkeit: Für jede endliche Menge M ist E := { (A, B) : A M, B M, A = B } eine Äquivalenzrelation über der Potenzmenge M. Skizze für M = {1, 2}: {1, 2} {1} {2} Minimierung Äquivalenzrelationen 29 / 102

65 Äquivalenzrelationen: Beispiele (2/2) (c) Logische Äquivalenz: Die Relation E := { (φ, ψ) : φ, ψ AL, φ ψ } ist eine Äquivalenzrelation über der Menge AL aller aussagenlogischen Formeln. Minimierung Äquivalenzrelationen 30 / 102

66 Äquivalenzrelationen: Beispiele (2/2) (c) Logische Äquivalenz: Die Relation E := { (φ, ψ) : φ, ψ AL, φ ψ } ist eine Äquivalenzrelation über der Menge AL aller aussagenlogischen Formeln. (d) Graph-Isomorphie: Für jede Menge V ist E := {(G 1, G 2 ) G 1 = (V, E 1 ), G 2 = (V, E 2 ) sind isomorphe ungerichtete Graphen } eine Äquivalenzrelation über der Menge aller ungerichteten Graphen mit Knotenmenge V. Minimierung Äquivalenzrelationen 30 / 102

67 Der Index Sei E eine Äquivalenzrelation. Dann ist der Index von E die Anzahl der verschiedenen Äquivalenzklassen. Der Index einer Äquivalenzrelation gibt an, wie viele verschiedene Äquivalenzklassen es gibt. Betrachte wieder die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit für Teilmengen A, B M, also Dann stimmt der Index überein mit A = B A = B. Minimierung Äquivalenzrelationen 31 / 102

68 Der Index Sei E eine Äquivalenzrelation. Dann ist der Index von E die Anzahl der verschiedenen Äquivalenzklassen. Der Index einer Äquivalenzrelation gibt an, wie viele verschiedene Äquivalenzklassen es gibt. Betrachte wieder die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit für Teilmengen A, B M, also Dann stimmt der Index überein mit M A = B A = B. Minimierung Äquivalenzrelationen 31 / 102

69 Der Index Sei E eine Äquivalenzrelation. Dann ist der Index von E die Anzahl der verschiedenen Äquivalenzklassen. Der Index einer Äquivalenzrelation gibt an, wie viele verschiedene Äquivalenzklassen es gibt. Betrachte wieder die Äquivalenzrelation der Gleichmächtigkeit für Teilmengen A, B M, also A = B A = B. Dann stimmt der Index überein mit M + 1. Minimierung Äquivalenzrelationen 31 / 102

70 Zurück zur Verschmelzungsrelation A Minimierung Die Verschmelzungsrelation 32 / 102

71 Die wichtigen Fragen 1 Ist die Verschmelzungsrelation A eine Äquivalenzrelation? 2 Wir möchten alle äquivalenten Zustände zu einem einzigen Zustand verschmelzen. Dürfen wir das? Gilt: Index der Verschmelzungsrelation A = Zustandszahl eines minimalen Automaten? (Wenn ja, haben wir einen minimalen Automaten gefunden!) Minimierung Die Verschmelzungsrelation 33 / 102

72 Die Verschmelzungsrelation ist eine Äquivalenzrelation Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Zur Erinnerung: p A q : f.a. Worte w Σ gilt: ( δ(p, w) F Minimierung Die Verschmelzungsrelation 34 / 102

73 Die Verschmelzungsrelation ist eine Äquivalenzrelation Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Zur Erinnerung: p A q : f.a. Worte w Σ gilt: ( δ(p, w) F δ(q, w) F ). Minimierung Die Verschmelzungsrelation 34 / 102

74 Die Verschmelzungsrelation ist eine Äquivalenzrelation Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Zur Erinnerung: p A q : f.a. Worte w Σ gilt: ( δ(p, w) F δ(q, w) F ). (a) Die Verschmelzungsrelation ist reflexiv, f.a. p Q: p A p, Minimierung Die Verschmelzungsrelation 34 / 102

75 Die Verschmelzungsrelation ist eine Äquivalenzrelation Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Zur Erinnerung: p A q : f.a. Worte w Σ gilt: ( δ(p, w) F δ(q, w) F ). (a) Die Verschmelzungsrelation ist reflexiv, f.a. p Q: p A p, symmetrisch, f.a. p, q Q: wenn p A q, dann q A p Minimierung Die Verschmelzungsrelation 34 / 102

76 Die Verschmelzungsrelation ist eine Äquivalenzrelation Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Zur Erinnerung: p A q : f.a. Worte w Σ gilt: ( δ(p, w) F δ(q, w) F ). (a) Die Verschmelzungsrelation ist reflexiv, f.a. p Q: p A p, symmetrisch, f.a. p, q Q: wenn p A q, dann q A p und transitiv, f.a. p, q, r Q: wenn p A q und q A r, dann p A r. Warum? Siehe Tafel. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 34 / 102

77 Die Verschmelzungsrelation ist eine Äquivalenzrelation Der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) sei gegeben. Zur Erinnerung: p A q : f.a. Worte w Σ gilt: ( δ(p, w) F δ(q, w) F ). (a) Die Verschmelzungsrelation ist reflexiv, f.a. p Q: p A p, symmetrisch, f.a. p, q Q: wenn p A q, dann q A p und transitiv, f.a. p, q, r Q: wenn p A q und q A r, dann p A r. Warum? Siehe Tafel. (b) Die Verschmelzungsrelation ist eine Äquivalenzrelation! Die Zustandsmenge Q die disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen von A. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 34 / 102

78 Die nächsten Schritte Sei der DFA A = (Σ, Q, δ, q 0, F ) gegeben. Wir führen die folgenden Schritte durch: 1. Wir bestimmen die Äquivalenzklassen der Verschmelzungsrelation A. 2. Für jede Äquivalenzklasse von A verschmelzen wir alle Zustände der Klasse zu einem einzigen Zustand und fügen entsprechende Übergänge ein. Und wie genau soll das aussehen? 3. Den neuen Automaten nennen wir A und bezeichnen ihn als den Äquivalenzklassenautomaten von A. Die Anzahl der Zustände von A stimmt mit dem Index von A überein. Wenn der Index mit der minimalen Zustandszahl übereinstimmt, dann ist A minimal! Minimierung Die Verschmelzungsrelation 35 / 102

79 Schritt 1: Wir bestimmen die Verschmelzungsrelation A Minimierung Die Verschmelzungsrelation 36 / 102

80 Zeugen (1/2) Sei (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. (a) Das Wort w Σ ist Zeuge für die Inäquivalenz von p und q, wenn ) ) ( δ(p, w) F δ(q, w) F ( δ(p, w) F δ(q, w) F. Wir sagen auch, dass w die Zustände p und q trennt. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 37 / 102

81 Zeugen (1/2) Sei (Σ, Q, δ, q 0, F ) ein DFA. (a) Das Wort w Σ ist Zeuge für die Inäquivalenz von p und q, wenn ) ) ( δ(p, w) F δ(q, w) F ( δ(p, w) F δ(q, w) F. Wir sagen auch, dass w die Zustände p und q trennt. (b) Es ist p A q genau dann, wenn es einen Zeugen für die Inäquivalenz von p und q gibt, bzw wenn es ein Wort gibt, das p und q trennt. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 37 / 102

82 Zeugen (2/2) a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a Finde einen Zeugen für die Inäquivalenz von b 1 und bb. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 38 / 102

83 Zeugen (2/2) a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a Finde einen Zeugen für die Inäquivalenz von b 1 und bb. Welcher Zeuge trennt ε und a 1? Minimierung Die Verschmelzungsrelation 38 / 102

84 Zeugen (2/2) a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a Finde einen Zeugen für die Inäquivalenz von b 1 und bb. Welcher Zeuge trennt ε und a 1? Gibt es Zeugen, die die Zustände a 1 und a 2 trennen? Minimierung Die Verschmelzungsrelation 38 / 102

85 Wir bestimmen alle Paare nicht-äquivalenter Zustände 1. Füge alle Paarmengen {p, q} mit p F und q F in die Menge M 0 ein. Es ist δ(p, ε) F und δ(q, ε) F. w = ε ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von p und q. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 39 / 102

86 Wir bestimmen alle Paare nicht-äquivalenter Zustände 1. Füge alle Paarmengen {p, q} mit p F und q F in die Menge M 0 ein. Es ist δ(p, ε) F und δ(q, ε) F. w = ε ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von p und q. 2. Wenn die Paarmenge {p, q} Element der Menge M i ist und für ein a Σ, dann wenn δ(r, a) = p sowie δ(s, a) = q Minimierung Die Verschmelzungsrelation 39 / 102

87 Wir bestimmen alle Paare nicht-äquivalenter Zustände 1. Füge alle Paarmengen {p, q} mit p F und q F in die Menge M 0 ein. Es ist δ(p, ε) F und δ(q, ε) F. w = ε ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von p und q. 2. Wenn die Paarmenge {p, q} Element der Menge M i ist und wenn δ(r, a) = p sowie δ(s, a) = q für ein a Σ, dann füge {r, s} in die Menge M i+1 ein. Da p A q, gibt es einen Zeugen w mit ) ) ( δ(p, w) F und δ(q, w) F oder ( δ(p, w) F und δ(q, w) F. Das Wort aw trennt r und s = aw ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von r und s. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 39 / 102

88 Wir bestimmen alle Paare nicht-äquivalenter Zustände 1. Füge alle Paarmengen {p, q} mit p F und q F in die Menge M 0 ein. Es ist δ(p, ε) F und δ(q, ε) F. w = ε ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von p und q. 2. Wenn die Paarmenge {p, q} Element der Menge M i ist und wenn δ(r, a) = p sowie δ(s, a) = q für ein a Σ, dann füge {r, s} in die Menge M i+1 ein. Da p A q, gibt es einen Zeugen w mit ) ) ( δ(p, w) F und δ(q, w) F oder ( δ(p, w) F und δ(q, w) F. Das Wort aw trennt r und s = aw ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von r und s. 3. Halte, wenn Minimierung Die Verschmelzungsrelation 39 / 102

89 Wir bestimmen alle Paare nicht-äquivalenter Zustände 1. Füge alle Paarmengen {p, q} mit p F und q F in die Menge M 0 ein. Es ist δ(p, ε) F und δ(q, ε) F. w = ε ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von p und q. 2. Wenn die Paarmenge {p, q} Element der Menge M i ist und wenn δ(r, a) = p sowie δ(s, a) = q für ein a Σ, dann füge {r, s} in die Menge M i+1 ein. Da p A q, gibt es einen Zeugen w mit ) ) ( δ(p, w) F und δ(q, w) F oder ( δ(p, w) F und δ(q, w) F. Das Wort aw trennt r und s = aw ist Zeuge für die Nicht-Äquivalenz von r und s. 3. Halte, wenn keine neuen Paarmengen {r, s} als nicht-äquivalent nachgewiesen werden können. Wir behaupten, dass p A q genau dann gilt, wenn die Paarmenge {p, q} zu einer Menge M i gehört. Stimmt die Behauptung: Finden wir alle Paare nicht-äquivalenter Zustände? Minimierung Die Verschmelzungsrelation 39 / 102

90 Unser Verfahren funktioniert! Sei P die Menge aller Paare {p, q} nicht-äquivalenter Zustände, die aber von unserem Verfahren nicht gefunden werden. Zeige, dass P leer ist! Minimierung Die Verschmelzungsrelation 40 / 102

91 Unser Verfahren funktioniert! Sei P die Menge aller Paare {p, q} nicht-äquivalenter Zustände, die aber von unserem Verfahren nicht gefunden werden. Zeige, dass P leer ist! Angenommen, P ist nicht-leer. Die Paarmenge {p, q} P habe unter allen Paarmengen in P einen kürzesten Zeugen w. 1. Wenn w = ε, dann Minimierung Die Verschmelzungsrelation 40 / 102

92 Unser Verfahren funktioniert! Sei P die Menge aller Paare {p, q} nicht-äquivalenter Zustände, die aber von unserem Verfahren nicht gefunden werden. Zeige, dass P leer ist! Angenommen, P ist nicht-leer. Die Paarmenge {p, q} P habe unter allen Paarmengen in P einen kürzesten Zeugen w. 1. Wenn w = ε, dann ist ( ) ( ) δ(p, ε) F und δ(q, ε) F oder δ(p, ε) F und δ(q, ε) F, bzw. ( p F und q F ) oder ( p F und q F ). Aber dann haben wir {p, q} in die Menge M 0 eingefügt. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 40 / 102

93 Unser Verfahren funktioniert! Sei P die Menge aller Paare {p, q} nicht-äquivalenter Zustände, die aber von unserem Verfahren nicht gefunden werden. Zeige, dass P leer ist! Angenommen, P ist nicht-leer. Die Paarmenge {p, q} P habe unter allen Paarmengen in P einen kürzesten Zeugen w. 1. Wenn w = ε, dann ist ( ) ( ) δ(p, ε) F und δ(q, ε) F oder δ(p, ε) F und δ(q, ε) F, bzw. ( p F und q F ) oder ( p F und q F ). Aber dann haben wir {p, q} in die Menge M 0 eingefügt. 2. Wenn w = au für den Buchstaben a Σ, dann ist Minimierung Die Verschmelzungsrelation 40 / 102

94 Unser Verfahren funktioniert! Sei P die Menge aller Paare {p, q} nicht-äquivalenter Zustände, die aber von unserem Verfahren nicht gefunden werden. Zeige, dass P leer ist! Angenommen, P ist nicht-leer. Die Paarmenge {p, q} P habe unter allen Paarmengen in P einen kürzesten Zeugen w. 1. Wenn w = ε, dann ist ( ) ( ) δ(p, ε) F und δ(q, ε) F oder δ(p, ε) F und δ(q, ε) F, ( ) ( ) bzw. p F und q F oder p F und q F. Aber dann haben wir {p, q} in die Menge M 0 eingefügt. 2. Wenn w = au für den Buchstaben a Σ, dann ist ) ) ( δ(p, au) F und δ(q, au) F oder ( δ(p, au) F und δ(q, au) F, Minimierung Die Verschmelzungsrelation 40 / 102

95 Unser Verfahren funktioniert! Sei P die Menge aller Paare {p, q} nicht-äquivalenter Zustände, die aber von unserem Verfahren nicht gefunden werden. Zeige, dass P leer ist! Angenommen, P ist nicht-leer. Die Paarmenge {p, q} P habe unter allen Paarmengen in P einen kürzesten Zeugen w. 1. Wenn w = ε, dann ist ( ) ( ) δ(p, ε) F und δ(q, ε) F oder δ(p, ε) F und δ(q, ε) F, ( ) ( ) bzw. p F und q F oder p F und q F. Aber dann haben wir {p, q} in die Menge M 0 eingefügt. 2. Wenn w = au für den Buchstaben a Σ, dann ist ) ) ( δ(p, au) F und δ(q, au) F oder ( δ(p, au) F und δ(q, au) F, bzw. ( δ(δ(p, a), u) F und δ(δ(q, a), u) F ) oder ( δ(δ(p, a), u) F und δ(δ(q, a), u) F ). Minimierung Die Verschmelzungsrelation 40 / 102

96 Unser Verfahren funktioniert! Sei P die Menge aller Paare {p, q} nicht-äquivalenter Zustände, die aber von unserem Verfahren nicht gefunden werden. Zeige, dass P leer ist! Angenommen, P ist nicht-leer. Die Paarmenge {p, q} P habe unter allen Paarmengen in P einen kürzesten Zeugen w. 1. Wenn w = ε, dann ist ( ) ( ) δ(p, ε) F und δ(q, ε) F oder δ(p, ε) F und δ(q, ε) F, ( ) ( ) bzw. p F und q F oder p F und q F. Aber dann haben wir {p, q} in die Menge M 0 eingefügt. 2. Wenn w = au für den Buchstaben a Σ, dann ist ) ) ( δ(p, au) F und δ(q, au) F oder ( δ(p, au) F und δ(q, au) F, ) bzw. ( δ(δ(p, a), u) F und δ(δ(q, a), u) F oder ) ( δ(δ(p, a), u) F und δ(δ(q, a), u) F. Aber dann ist δ(p, a) A δ(q, a) mit dem kürzeren Zeugen u: Nach Annahme haben wir {δ(p, a), δ(q, a)} in eine Menge Mi eingefügt und werden darauffolgend {p, q} in die Menge Mi+1 einfügen. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 40 / 102

97 Der Automat nach allen Verschmelzungen Wie sieht der Automat nach dem Verschmelzen aller äquivalenten Zustände aus? - Für Zustand p Q bezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivalenzklasse von p. - Der Äquivalenzklassenautomat A für A besitzt die Zustandsmenge Q := Minimierung Die Verschmelzungsrelation 41 / 102

98 Der Automat nach allen Verschmelzungen Wie sieht der Automat nach dem Verschmelzen aller äquivalenten Zustände aus? - Für Zustand p Q bezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivalenzklasse von p. - Der Äquivalenzklassenautomat A für A besitzt die Zustandsmenge Q := { [p] A : p Q }, Minimierung Die Verschmelzungsrelation 41 / 102

99 Der Automat nach allen Verschmelzungen Wie sieht der Automat nach dem Verschmelzen aller äquivalenten Zustände aus? - Für Zustand p Q bezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivalenzklasse von p. - Der Äquivalenzklassenautomat A für A besitzt die Zustandsmenge Q := { [p] A : p Q }, den Anfangszustand q 0 := Minimierung Die Verschmelzungsrelation 41 / 102

100 Der Automat nach allen Verschmelzungen Wie sieht der Automat nach dem Verschmelzen aller äquivalenten Zustände aus? - Für Zustand p Q bezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivalenzklasse von p. - Der Äquivalenzklassenautomat A für A besitzt die Zustandsmenge Q := { [p] A : p Q }, den Anfangszustand q 0 :=[q 0] A, die Menge F := Minimierung Die Verschmelzungsrelation 41 / 102

101 Der Automat nach allen Verschmelzungen Wie sieht der Automat nach dem Verschmelzen aller äquivalenten Zustände aus? - Für Zustand p Q bezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivalenzklasse von p. - Der Äquivalenzklassenautomat A für A besitzt die Zustandsmenge Q := { [p] A : p Q }, den Anfangszustand q 0 :=[q 0] A, die Menge F := { [p] A : p F } der akzeptierenden Zustände Minimierung Die Verschmelzungsrelation 41 / 102

102 Der Automat nach allen Verschmelzungen Wie sieht der Automat nach dem Verschmelzen aller äquivalenten Zustände aus? - Für Zustand p Q bezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivalenzklasse von p. - Der Äquivalenzklassenautomat A für A besitzt die Zustandsmenge Q := { [p] A : p Q }, den Anfangszustand q 0 :=[q 0] A, die Menge F := { [p] A : p F } der akzeptierenden Zustände und das Programm δ mit δ ([p] A, a) := Minimierung Die Verschmelzungsrelation 41 / 102

103 Der Automat nach allen Verschmelzungen Wie sieht der Automat nach dem Verschmelzen aller äquivalenten Zustände aus? - Für Zustand p Q bezeichnet [p] A := { q Q : p A q } die Äquivalenzklasse von p. - Der Äquivalenzklassenautomat A für A besitzt die Zustandsmenge Q := { [p] A : p Q }, den Anfangszustand q 0 :=[q 0] A, die Menge F := { [p] A : p F } der akzeptierenden Zustände und das Programm δ mit δ ([p] A, a) := [ δ(p, a) ] A für alle Zustände q Q und Buchstaben a Σ. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 41 / 102

104 Der Minimierungsalgorithmus Minimierung Die Verschmelzungsrelation 42 / 102

105 Berechnung von A und A Eingabe: Ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Schritt 1: Entferne aus A alle überflüssigen Zustände, d.h. alle Zustände, die nicht von q 0 aus erreichbar sind. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 43 / 102

106 Berechnung von A und A Eingabe: Ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Schritt 1: Entferne aus A alle überflüssigen Zustände, d.h. alle Zustände, die nicht von q 0 aus erreichbar sind. Schritt 2: Bestimme alle Paarmengen {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. Zuerst bestimme M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; Setze i := 0 2. Wiederhole 3. Für alle Paarmengen {p, q} mit p q, {p, q} (M 0 M i) und für alle a Σ tue folgendes: 4. Falls {δ(p, a), δ(q, a)} M i, Minimierung Die Verschmelzungsrelation 43 / 102

107 Berechnung von A und A Eingabe: Ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Schritt 1: Entferne aus A alle überflüssigen Zustände, d.h. alle Zustände, die nicht von q 0 aus erreichbar sind. Schritt 2: Bestimme alle Paarmengen {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. Zuerst bestimme M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; Setze i := 0 2. Wiederhole 3. Für alle Paarmengen {p, q} mit p q, {p, q} (M 0 M i) und für alle a Σ tue folgendes: 4. Falls {δ(p, a), δ(q, a)} M i, füge {p, q} zur Menge M i+1 hinzu. 5. i := i bis M i = 7. Ausgabe: M := M 0 M i 1. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 43 / 102

108 Berechnung von A und A Eingabe: Ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Schritt 1: Entferne aus A alle überflüssigen Zustände, d.h. alle Zustände, die nicht von q 0 aus erreichbar sind. Schritt 2: Bestimme alle Paarmengen {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. Zuerst bestimme M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; Setze i := 0 2. Wiederhole 3. Für alle Paarmengen {p, q} mit p q, {p, q} (M 0 M i) und für alle a Σ tue folgendes: 4. Falls {δ(p, a), δ(q, a)} M i, füge {p, q} zur Menge M i+1 hinzu. 5. i := i bis M i = 7. Ausgabe: M := M 0 M i 1. Schritt 3: Konstruiere A := (Q, Σ, δ, q 0, F ): Q := { [q] A : q Q }, wobei [q] A = { p Q : Minimierung Die Verschmelzungsrelation 43 / 102

109 Berechnung von A und A Eingabe: Ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Schritt 1: Entferne aus A alle überflüssigen Zustände, d.h. alle Zustände, die nicht von q 0 aus erreichbar sind. Schritt 2: Bestimme alle Paarmengen {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. Zuerst bestimme M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; Setze i := 0 2. Wiederhole 3. Für alle Paarmengen {p, q} mit p q, {p, q} (M 0 M i) und für alle a Σ tue folgendes: 4. Falls {δ(p, a), δ(q, a)} M i, füge {p, q} zur Menge M i+1 hinzu. 5. i := i bis M i = 7. Ausgabe: M := M 0 M i 1. Schritt 3: Konstruiere A := (Q, Σ, δ, q 0, F ): Q := { [q] A : q Q }, wobei [q] A = { p Q : {p, q} M } Minimierung Die Verschmelzungsrelation 43 / 102

110 Berechnung von A und A Eingabe: Ein DFA A = (Q, Σ, δ, q 0, F ). Schritt 1: Entferne aus A alle überflüssigen Zustände, d.h. alle Zustände, die nicht von q 0 aus erreichbar sind. Schritt 2: Bestimme alle Paarmengen {p, q} mit p, q Q und p A q: 1. Zuerst bestimme M 0 := { {p, q} : p F, q Q \ F } ; Setze i := 0 2. Wiederhole 3. Für alle Paarmengen {p, q} mit p q, {p, q} (M 0 M i) und für alle a Σ tue folgendes: 4. Falls {δ(p, a), δ(q, a)} M i, füge {p, q} zur Menge M i+1 hinzu. 5. i := i bis M i = 7. Ausgabe: M := M 0 M i 1. Schritt 3: Konstruiere A := (Q, Σ, δ, q 0, F ): Q := { [q] A : q Q }, wobei [q] A = { p Q : {p, q} M } q 0 := [q 0] A, F := { [q] A : q F } δ : Q Σ Q mit δ ( [q] A, a ) := [δ(q, a)] A für alle q Q und a Σ. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 43 / 102

111 Ist der Algorithmus korrekt und effizient? In jeder Iteration in Schritt 2 wird mindestens eine neue Paarmenge markiert: Es gibt also höchstens Q 2 Iterationen und der Algorithmus ist effizient. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 44 / 102

112 Ist der Algorithmus korrekt und effizient? In jeder Iteration in Schritt 2 wird mindestens eine neue Paarmenge markiert: Es gibt also höchstens Q 2 Iterationen und der Algorithmus ist effizient. Die wichtigen Fragen: 1. Sind A und der Äquivalenzklassenautomat A äquivalent, d.h. berechnet A dieselbe Sprache wie A? 2. Ist A minimal? Aber zuerst rechnen wir ein zweites Beispiel durch. Minimierung Die Verschmelzungsrelation 44 / 102

113 Zustandsminimierung: Die Mengen M 0, M 1, M 2 a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a a 1 a 2 b 1 b 2 bb ε a 1 a 2 b 1 b 2 Minimierung Beispiele 45 / 102

114 Zustandsminimierung: Die Mengen M 0, M 1, M 2 a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a a 1 a 2 b 1 b 2 bb M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 ε a 1 a 2 b 1 b 2 Minimierung Beispiele 45 / 102

115 Zustandsminimierung: Die Mengen M 0, M 1, M 2 a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a a 1 a 2 b 1 M 1 M 1 M 1 b 2 M 1 M 1 M 1 bb M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 ε a 1 a 2 b 1 b 2 Minimierung Beispiele 45 / 102

116 Zustandsminimierung: Die Mengen M 0, M 1, M 2 a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a a 1 M 2 a 2 M 2 b 1 M 1 M 1 M 1 b 2 M 1 M 1 M 1 bb M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 ε a 1 a 2 b 1 b 2 ε und bb sind jeweils nur mit sich selbst äquivalent, die restlichen Äquivalenzklassen von A sind Teilmengen von {b 1, b 2 } oder Teilmengen von {a 1, a 2 }. Minimierung Beispiele 45 / 102

117 Zustandsminimierung: Die Mengen M 0, M 1, M 2 a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a a 1 M 2 a 2 M 2 b 1 M 1 M 1 M 1 b 2 M 1 M 1 M 1 bb M 0 M 0 M 0 M 0 M 0 ε a 1 a 2 b 1 b 2 M 3 =. Minimierung Beispiele 45 / 102

118 Zustandsminimierung: Der Äquivalenzklassenautomat A a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a M 3 = {bb} ist die Klasse des einzigen akzeptierenden Zustands, {ε} ist die Klasse des Startzustands, {a 1, a 2 } und {b 1, b 2, } sind die restlichen Klassen. Der Äquivalenzklassenautomat: Minimierung Beispiele 46 / 102

119 Zustandsminimierung: Der Äquivalenzklassenautomat A a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a M 3 = {bb} ist die Klasse des einzigen akzeptierenden Zustands, {ε} ist die Klasse des Startzustands, {a 1, a 2 } und {b 1, b 2, } sind die restlichen Klassen. Der Äquivalenzklassenautomat: a b a, b b ε a b bb Genügt es,nur Zustände mit identischen Nachfolgezuständen zu verschmelzen? a a, b Minimierung Beispiele 46 / 102

120 Zustandsminimierung: Der Äquivalenzklassenautomat A a b ε a b a 1 b 1 a b a 2 b 2 b b bb a, b a a M 3 = {bb} ist die Klasse des einzigen akzeptierenden Zustands, {ε} ist die Klasse des Startzustands, {a 1, a 2 } und {b 1, b 2, } sind die restlichen Klassen. Der Äquivalenzklassenautomat: a b a, b b ε a b bb Genügt es,nur Zustände mit identischen Nachfolgezuständen zu verschmelzen? NEIN! a Minimierung Beispiele 46 / 102 a, b

121 Zustandsminimierung: Die Tabelle Wie haben wir die Tabelle gefüllt? Angenommen, wir haben die Mengen M 0,..., M i bestimmt und die entsprechenden Positionen in der Tabelle markiert. 1. Dann haben wir nacheinander alle frisch markierten Einträge {r, s} M i inspiziert. 2. Wir haben die Position in Zeile p und Spalte q mit M i+1 markiert, wenn es einen Buchstaben a Σ gibt, so dass (δ(p, a) = r und δ(q, a) = s) oder (δ(p, a) = s und δ(q, a) = r). Minimierung Beispiele 47 / 102

122 Wie stellt man fest, ob ein Wort das Suffix ab besitzt? Wir arbeiten mit dem Alphabet Σ = {a, b}. Speichere die beiden zuletzt gelesenen Buchstaben im aktuellen Zustand. Minimierung Beispiele 48 / 102

123 Wie stellt man fest, ob ein Wort das Suffix ab besitzt? Wir arbeiten mit dem Alphabet Σ = {a, b}. Speichere die beiden zuletzt gelesenen Buchstaben im aktuellen Zustand. Wir benutzen deshalb die Zustände Q = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb} mit Startzustand q0 = ε ( wir haben noch nichts gelesen ) und dem akzeptierenden Zustand ab: Die beiden letzten Buchstaben sind ab. Welche Zustandsübergänge? Minimierung Beispiele 48 / 102

124 Zustandsminimierung: Die Menge M 0 a ε b a aa a b a b a a b b ab ba b a bb b a b (a) Der Automat A merkt sich tatsächlich die beiden letzten Buchstaben. (b) ab ist der einzige akzeptierende Zustand. Minimierung Beispiele 49 / 102

125 Zustandsminimierung: Die Menge M 0 ab ist der einzige akzeptierende Zustand = Die Menge M 0 hat die Form M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}} Minimierung Beispiele 50 / 102

126 Zustandsminimierung: Die Menge M 0 ab ist der einzige akzeptierende Zustand = Die Menge M 0 hat die Form M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}} a b aa ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 0 bb M 0 ε a b aa ab ba Was haben wir gelernt? Minimierung Beispiele 50 / 102

127 Zustandsminimierung: Die Menge M 0 ab ist der einzige akzeptierende Zustand = Die Menge M 0 hat die Form M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}} a b aa ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 0 bb M 0 ε a b aa ab ba Was haben wir gelernt? (a) {ab} ist eine Klasse der Verschmelzungsrelation, (b) die restlichen Klassen sind disjunkte Teilmengen von {ε, a, b, aa, ba, bb}. Wie sieht M 1 aus? Minimierung Beispiele 50 / 102

128 Zustandsminimierung: Die Menge M 1 Es ist M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}}. a b aa ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 0 bb M 0 ε a b aa ab ba Es sei {p, q } M 0 und es gelte x = a oder x = b. Wenn δ(p, x) = p, δ(q, x) = q, dann ist {p, q} M 1. Der Zustand ab wird erreicht Minimierung Beispiele 51 / 102

129 Zustandsminimierung: Die Menge M 1 Es ist M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}}. a b aa ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 0 bb M 0 ε a b aa ab ba Es sei {p, q } M 0 und es gelte x = a oder x = b. Wenn δ(p, x) = p, δ(q, x) = q, dann ist {p, q} M 1. Der Zustand ab wird erreicht b wird in den Zuständen a, aa, ba gelesen. Minimierung Beispiele 51 / 102

130 Zustandsminimierung: Die Menge M 1 Es ist M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}}. a M 1 b M 1 aa ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 0 bb M 1 M 0 ε a b aa ab ba Es sei {p, q } M 0 und es gelte x = a oder x = b. Wenn δ(p, x) = p, δ(q, x) = q, dann ist {p, q} M 1. Der Zustand ab wird erreicht b wird in den Zuständen a, aa, ba gelesen. Minimierung Beispiele 51 / 102

131 Zustandsminimierung: Die Menge M 1 Es ist M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}}. a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 0 bb M 1 M 1 M 0 ε a b aa ab ba Es sei {p, q } M 0 und es gelte x = a oder x = b. Wenn δ(p, x) = p, δ(q, x) = q, dann ist {p, q} M 1. Der Zustand ab wird erreicht b wird in den Zuständen a, aa, ba gelesen. Minimierung Beispiele 51 / 102

132 Zustandsminimierung: Die Menge M 1 Es ist M 0 = {{ε, ab}, {a, ab}, {b, ab}, {aa, ab}, {ba, ab}, {bb, ab}}. a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba Es sei {p, q } M 0 und es gelte x = a oder x = b. Wenn δ(p, x) = p, δ(q, x) = q, dann ist {p, q} M 1. Der Zustand ab wird erreicht b wird in den Zuständen a, aa, ba gelesen. Minimierung Beispiele 51 / 102

133 Was haben wir gelernt? a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba Minimierung Beispiele 52 / 102

134 Was haben wir gelernt? a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba 1. Wir haben jeden der Zustände a, aa, ba von jedem der Zustände ε, b, bb getrennt. Minimierung Beispiele 52 / 102

135 Was haben wir gelernt? a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba 1. Wir haben jeden der Zustände a, aa, ba von jedem der Zustände ε, b, bb getrennt. 2. Die weiteren Äquivalenzklassen der Verschmelungsrelation sind disjunkte Teilmengen entweder von {a, aa, ba} oder von {ε, b, bb}. Minimierung Beispiele 52 / 102

136 Was haben wir gelernt? a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba 1. Wir haben jeden der Zustände a, aa, ba von jedem der Zustände ε, b, bb getrennt. 2. Die weiteren Äquivalenzklassen der Verschmelungsrelation sind disjunkte Teilmengen entweder von {a, aa, ba} oder von {ε, b, bb}. Lassen sich die Zustände in {a, aa, ba} (bzw. in {ε, b, bb}) voneinander trennen? Minimierung Beispiele 52 / 102

137 Zustandsminimierung: Die Menge M 2 a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba Minimierung Beispiele 53 / 102

138 Zustandsminimierung: Die Menge M 2 a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba 1. Die Zustände a, aa, ba können nicht voneinander getrennt werden, da sie alle unter a auf den Zustand aa und unter b auf den Zustand ab führen. Minimierung Beispiele 53 / 102

139 Zustandsminimierung: Die Menge M 2 a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba 1. Die Zustände a, aa, ba können nicht voneinander getrennt werden, da sie alle unter a auf den Zustand aa und unter b auf den Zustand ab führen. 2. b und bb lassen sich ebenfalls nicht mehr trennen. Beide führen unter a auf ba und unter b auf bb. Minimierung Beispiele 53 / 102

140 Zustandsminimierung: Die Menge M 2 a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba 1. Die Zustände a, aa, ba können nicht voneinander getrennt werden, da sie alle unter a auf den Zustand aa und unter b auf den Zustand ab führen. 2. b und bb lassen sich ebenfalls nicht mehr trennen. Beide führen unter a auf ba und unter b auf bb. 3. Aber auch ε führt unter a auf die Klasse {a, aa, ba} und unter b auf b. Minimierung Beispiele 53 / 102

141 Zustandsminimierung: Die Menge M 2 a M 1 b M 1 aa M 1 M 1 ab M 0 M 0 M 0 M 0 ba M 1 M 1 M 0 bb M 1 M 1 M 0 M 1 ε a b aa ab ba 1. Die Zustände a, aa, ba können nicht voneinander getrennt werden, da sie alle unter a auf den Zustand aa und unter b auf den Zustand ab führen. 2. b und bb lassen sich ebenfalls nicht mehr trennen. Beide führen unter a auf ba und unter b auf bb. 3. Aber auch ε führt unter a auf die Klasse {a, aa, ba} und unter b auf b. Es ist M 2 =, denn ε lässt sich nicht von b, bb trennen. Minimierung Beispiele 53 / 102