Aufgabe Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f(x) = x 2 + a 1 x + a 0 erfüllt sein, damit f(x) keine Nullstellen besitzt?

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1 R. Brinkmann Seite Lösungen Parabeln aus gegebenen Bedingungen I en: A A A A Welche Bedingungen müssen für die Koeffizienten der Funktion f() = + a + a 0 erfüllt sein, damit f() keine Nullstellen besitzt? f() = + a + a Bedingung für keine Nullstelle: D < 0 0 p a a p = a ;q= a D = q a a = = 4 a a D < 0 a0 < 0 + a0 < a 0 4 a < 4a0 4 4 Die Art der Nullstelle ist vom Wert der Diskriminante abhängig. D > 0 Zwei Nullstellen D = 0 Eine doppelte Nullstelle D < 0 keine Nullstelle Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von f() und g() in Abhängigkeit von a, wenn gilt: * f() = + ; und g() = a a ; ; a f() = + ; g() = a a / g() = f() a a = + a + a + = 0 Betrachtung von a: a = f() = g() identische Parabeln mit unendlich vielen Schnittpunkten. a a+ a+ = 0 = = ± zwei verschiedene Schnittpunkte Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :4 Seite von 6

2 R. Brinkmann Seite Gegeben sind die quadratischen Funktionen f() und g() mit f() = ; und g() = 0,5 + ; a) Zeichnen Sie die Graphen von f() und g() in ein Koordinatensystem. Begründen Sie ohne Rechnung warum sich f() und g() auf der Achse schneiden. S(,5,5 ) ist der Scheitel von f(). Geben Sie den Scheitel von g() an b) Die Gerade mit = u schneidet für < u < 0 f() in P und g() in Q. Bestimmen Sie die Koordinaten von P und Q. c) Die Strecke PQ ist eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimmen Sie den Inhalt des Rechtecks für u = - und den Umfang U in Abhängigkeit von u. d) Verschieben Sie die Parabel g() in y Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von f() berührt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes. Bestimmen Sie a so, dass f(a) f a + = 4 ist. e) a) f( ) g( ) s ( ) ( ) f() = = + P 0 0 ;P 0 g() = 0,5 + P 0 0 ;P 0 f() und g() haben die gleichen Nullstellen. ( ) f(): S,5,5 g() = 0,5 f() y = 0,5,5 =,5 S,5,5 b) Einsetzen von = u in die Funktionsgleichungen ergibt die y Werte: f(u) = u u P u u u g(u) = 0,5u u + Q u 0,5u u + Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :4 Seite von 6

3 R. Brinkmann Seite c) A B AP = BQ P =u - Q - - Ergebnis aus b) ( ) ( + ) ( ( + )) s P u u u oder P u u u Qu 0,5uu KoordinatedesScheitels =,5 Für u gilt: u 0 u ist negativ PQ = u u + + 0,5u u PQ = u u + 0,5u u + PQ =,5u u + Falls,5 u 0 = u liegt rechts vom Scheitel AP dann gilt: =,5 u =,5 + u da u negativ AP =,5 + u Rechteckfläche: A = PQ AP =,5u u +,5 + u Speziell für u = gilt: A =,5 +,5 = FE Der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit von u: U= PQ+ AP =,5u u+ +,5+ u = u 5u+ 6 Falls u,5 = u liegt links vom Scheitel AP dann gilt: = u,5 = u,5 da u negativ AP = u,5 Der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit von u: U = PQ+ AP =,5u u+ + u,5 = u u 6 Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :4 Seite von 6

4 R. Brinkmann Seite d) f() = ; g() = 0,5 + = 0,5 +,5 Die in y Richtung verschobene Parabel g() hat die Funktionsgleichung: g * () = 0,5 +,5 + a Wert des Scheitels bleibt =,5 0 s Bedingung für die Berührung beider Parabeln: f() = g * () und D = 0 9 f() = g*() + + a = 0 p = ; q = a D = a 4 7 D = 0 a0 = =,75 g*() = 0,5 +,5 +,75 8 Berührungspunkt: B(,5 g * (,5) ) B(,5,5 ) Die Parabel g() wird um,75 LE nach oben geschoben und berührt f() in B (,5,5 ) e) f() = f(a) = a a f(a+ ) = a+ a+ = a 5a 4 f(a) f(a + ) = 4 a a a 5a 4 = 4 a + 4 = 4 a = 0 Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :4 Seite 4 von 6

5 R. Brinkmann Seite A4 A4 A5 A5 Gegeben ist eine quadratische Funktion f(). Bestimmen Sie a so, dass die Parabel g() den Graphen von f() berührt. f = ; ;g = a f() = = + ; g() = a a f() = g() a + = 0 ; mit a + = 0 p = ;q= a a a a Bedingung für Berührung ist D = 0 p D = q 0 = = ( a) a a = 0 = 0 4 a 4 a 4 a ( ) 9 8( a) = 0 a = 8 g() = berührt f() 8 Zeigen Sie, dass es keinen Wert von a gibt, sodass der Graph von f() die Normalparabel berührt. f() = a + Normalparabel: g() = ; f() = a + f() = g() = für a a für a > = < 0 keine Lösung a für a < = > 0 zwei Lösungen / =± a a Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :4 Seite 5 von 6

6 R. Brinkmann Seite A6 Eine Parabel mit der Funktionsgleichung f() hat ihren Scheitel in S 0 6 und schneidet die Achse im Punkt P 0. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen. A6 S0 6 f() = a + 6 P 0 f = a + 6 = 0 a + 6 = 0 a = f() = + 6 f( ) A7 A7 A8 A8 Der Graph einer ganzrationalen Funktion. Grades f() schneidet die Koordinatenachsen in P k 0 ; P 0 und in P 0 k. y Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(). f = a k + Linearfaktoren f( 0) = k a( k) = k a = f( ) = ( k)( + ) = + ( k) k Ermitteln Sie die Koeffizienten a und a so, dass die Funktion f() = a + a + an den Stellen = und = 0,5 die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion g() =. f() = a + a + ; g() = g( ) = = f( ) = a a + = g(0,5) = = 0 f(0,5) = 0 0,5a + 0,5a + = 0 a = 8;a = f() = 8 + Erstellt von R. Brinkmann p_quad_fkt_0_e.doc :4 Seite 6 von 6