Ein hybrides Modell basierend auf einem Neuronalen Netz und einem ARIMA-Zeitreihenmodell zur Prognose lokaler Verkehrskenngrößen

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1 Ein hybrides Modell basierend auf einem Neuronalen Netz und einem ARIMA-Zeitreihenmodell zur Prognose lokaler Verkehrskenngrößen Dr.-Ing. Klaus Bogenberger, BMW AG Dipl.-Techno-Math. Heidrun Belzner, BMW AG Dr. Ronald Kates Die Vorhersage von Verkehr ist sicherlich eine der größten Herausforderungen der gegenwärtigen Forschungen im Bereich der Verkehrstechnik. Der Schwerpunkt der hier dargestellten Arbeiten liegt auf der Prognose lokaler Verkehrskenngrößen, wie z.b. der mittleren lokalen Geschwindigkeit, für kurze Prognosehorizonte. Hierfür wurde ein neues hybrides Modell, bestehend aus einem stochastischen ARIMA 1 -Zeitreihenmodell und einem Neuronalen Netz entwickelt und mit realen Verkehrsdaten validiert. Das Hybridmodell wurde evaluiert und mit konventionellen Verfahren zur Verkehrsprognose mittels unabhängiger realer Testdaten verglichen. Es zeigte sich, dass das neue hybride Modell exaktere und zuverlässigere Prognosen der Geschwindigkeit liefert als die bisher bestehenden Verfahren. 1 Einführung Die Verkehrsnachfrage steigt seit Jahren - und wird nach aktuellen Untersuchungen auch zukünftig weiter steigen [SHELL; 2001]. Der größte Teil der Verkehrsnachfrage wird durch das Verkehrsangebot der Bundesautobahnen befriedigt. Mit rund km macht deren Streckennetz ca. 2% des deutschen Gesamtstraßennetzes aus, wobei rund 30% der gefahrenen Fahrzeugkilometer auf ihnen erbracht wird. Um eine möglichst effiziente Abwicklung des Verkehrs zu gewährleisten, wird ein günstiges Verhältnis von Verkehrsnachfrage zur Kapazität der Strecke angestrebt. Ein bestimmender Faktor der Kapazität ist der Ausbaugrad einer Strecke und hier hauptsächlich die Anzahl und Breite der Fahrstreifen. So wurde auch über viele Jahre versucht, die steigende Nachfrage durch den bloßen Ausbau der Infrastruktur zu befriedigen eine Vorgehensweise, die sowohl aus finanzieller Sicht, als auch in Bezug auf Ressourcenverbrauch und ökologische Gesichtspunkte nicht mehr als ausschließlicher Weg zur Schaffung eines angemessenen Angebots verfolgt werden kann. Ein Bundesbürger verbringt jährlich im Durchschnitt rund 65 Stunden im Stau. Dies zeigt, dass alternative Wege zur Bewältigung des Verkehrsaufkommens benötigt werden. Als Mittel zur Bewältigung des Verkehrsaufkommens wurde in den letzten Jahren in steigendem Maße auf die Entwicklung und den Einsatz von aktiv und passiv in den Verkehr eingreifenden Techniken gesetzt. Diese sind unter dem Begriff Telematik zusammengefasst. Der grundlegende Gedanke ist, bei Beibehaltung der Infrastruktur eine größere Verkehrsmenge verträglich, effizient und sicher abzufertigen. Dazu sind dynamische Eingriffe in den Verkehrsablauf mit dem Ziel der Regelung verschiedener Kennwerte und Parameter in der Art notwendig, dass sich ein gemäß den Anforderungen und den resultierenden Zielsetzungen gewünschtes Verhalten der Verkehrsteilnehmer einstellt. Fast alle bisher entwickelten bzw. implementierten Verkehrsmanagement- bzw. Verkehrsleitsysteme funktionieren in ähnlicher Art und Weise: Sie sammeln meist aktuelle bzw. historische Messdaten, bewerten diese und schließen auf einen intelligenten Handlungseingriff, wie z.b. eine Wechselwegweisung, eine dynamische Geschwindigkeitsanzeige etc. Ein Hauptproblem für die Steuerung dieser Anlagen ist die reaktive Wirkung, d.h. die Handlungen 1 ARIMA: AutoRegressive Integrated Moving Average [BOX UND JENKINS; 1976]

2 des Steuerungssystems basieren auf einem bereits existierenden, gemessenen Zustand. Hinzu kommen weitere zeitliche Verzögerungen im Regelsystem aufgrund von Verarbeitungsschritten usw., d.h. die Situation, auf die aktuell reagiert wird, liegt bereits in der Vergangenheit. Eine deutliche Verbesserung der Wirkung wäre zu erwarten, wenn diese Steuersysteme die Verkehrssituation antizipieren und ihre Handlung auf den zukünftigen Zustand abstimmen könnten. Eine genaue Prognose des Verkehrs ist für diese proaktive Steuerung notwendig. Je früher möglichst genau bekannt ist, wie sich der Verkehr in den nächsten Minuten ändern wird, desto früher kann darauf reagiert werden. Neben der direkten Beeinflussung des Verkehrssystems auf der Strecke existieren weitere indirekte Beeinflussungsmöglichkeiten. Immer mehr Fahrer nutzen die Möglichkeit sich vor oder während einer Fahrt über den aktuellen Verkehrszustand auf ihrer Route zu informieren. Fast alle Verkehrsinformationssysteme bedienen ihre Kunden jedoch mit bereits veralteten Messdaten. Durch zeitliche Verzögerung innerhalb der Aufbereitungs- und Verarbeitungsschritte kann es zu zeitlichen Versätzen von bis zu 25 Minuten kommen, d.h. die dem Fahrer zur Verfügung gestellte Information über den Verkehrszustand ist bereits 25 Minuten alt. Man weiß jedoch auch, dass sich hochdynamische Systeme wie Straßenverkehr sehr kurzfristig ändern. Dies bedeutet, es kann sich bereits ein Stau auf der Route gebildet haben oder ein gemeldeter Stau hat sich bereits wieder aufgelöst. Um die Qualität und somit den nachhaltigen Erfolg von Verkehrsinformationsdiensten sicher zu stellen, ist es zwingend erforderlich, Verkehrsprognosen in die Verarbeitungsschritte zu integrieren. Der Verkehrsteilnehmer erhält dann nicht wie bisher die veraltete Situation dargestellt, sondern eine genaue Verkehrsvorhersage für seine Route. Ziel der nachfolgend dargestellten Untersuchung war es, ein Modell zu entwickeln, dass Geschwindigkeiten auf Autobahnstrecken möglichst exakt vorhersagt und sowohl für Verkehrsinformationssysteme, als auch für Verkehrsleitsysteme eingesetzt werden kann. Als Eingangsgrößen sollten nur Messdaten und keine zusätzlichen Informationen, wie z.b. Quelle-Ziel-Matrizen o.ä., verwendet werden. Das entwickelte Hybridsystem ist dadurch sehr autark und nur von sehr wenigen Mess- bzw. Eingangsgrößen und damit verbundenen Fehlerquellen abhängig. 2 Verkehrsprognose Verkehrsprognose kann wie folgt definiert werden: Vorhersage des Verkehrsgeschehens ausgehend vom aktuellen Zeitpunkt und dem aktuellen bzw. historischen Wissensstand. Dabei muss zwischen kurzfristiger und langfristiger Prognose unterschieden werden. Während der Prognosehorizont bei Langfristprognosen zwischen einigen Monaten und mehreren Jahren liegt, werden die betrachteten Kenngrößen bei der Kurzfristprognose meist lokal für einige Sekunden oder Minuten vorhergesagt. Abbildung 1 veranschaulicht den zeitlich-räumlichen Zusammenhang der am häufigsten verwendeten Prognosemodelle. Langfristige und großräumige Verkehrsprognosen werden bis heute fast ausschließlich mit Umlegungsmodellen realisiert. Zeitlich kürzer und auch räumlich beschränkter sagen Simulationsmodelle voraus. Beiden Modellfamilien ist jedoch gemeinsam, dass sie eine große Menge an a-priori Informationen benötigen, um Verkehr im Straßennetz vorherzusagen. In die Entwicklung der Umlegungsmodelle geht die Information des

3 Verkehrsangebots und von Quelle-Ziel-Matrizen ein. Simulationsmodelle benötigen Informationen sowohl über das Verkehrsangebot, als auch über die Verkehrsnachfrage. Abb.1: Überblick Verkehrsprognose Dagegen werden bei der Kurzfristprognose, die meist mit Hilfe der Zeitreihenanalyse Voraussagen trifft, nur die Informationen der Zeitreihe als Eingaben für die Berechnung der Vorhersage verwendet. Zeitreihenanalysen können aber auch für sehr langfristige Voraussagen, wie z.b. der Entwicklung der DTV-Werte oder des PKW-Bestandes etc. genutzt werden. Mit der ständig zunehmenden Erfassung von Verkehr, z.b. durch (x)fcd Fahrzeuge und neue Sensoren bzw. Datenfusion, wird es aber auch möglich sein über reine Zeitreihenanalyse netzbezogene Prognosen zu errechnen. Die Anwendung der Kurzfristprognose liegt in der proaktiven Verkehrssteuerung [BOGENBERGER; 2001]. Je nach Anwendung können verschiedenste Prognoseverfahren Verwendung finden. Dazu gehören lineare Modelle wie der Mittelwert oder die in dieser Arbeit verwendeten BOX-JENKINS-Methoden [1976], aber auch dynamische Modelle, Filtertechniken, Spektralanalysen und eine Vielzahl anderer Modelle. Bekannte lineare Modelle sind die städtischen Verkehrssysteme UTCS-2 [GANSLAW UND SCHAAKE; 1973] und ASCOT [ROSS ET AL.; 1977]. Sie verwenden historische und gegenwärtige Daten bei der Berechnung des Prognosewerts. Das später entwickelte System UTCS-3 verwendet nur aktuelle Daten, um besser auf plötzliche Veränderungen im Verkehr zu reagieren. Dabei müssen jedoch zeitliche Verzögerungen in Kauf genommen werden. Spektralanalysen eignen sich aufgrund ihrer Eigenschaften sehr gut für die Analyse periodischer Zeitreihen [NICHOLSON UND SWAN; 1974]. Zudem können sie als Vortransformation von Eingabegrößen für Neuronale Netze verwendet werden [PARK ET AL.; 1999]. Weitere in der Verkehrstechnik wichtige Filter sind die Kalmanfilter. Diese wurden z.b. von OKUTANI UND STEPHANEDES [1984] angewandt, um die Verkehrsstärke in städtischen Netzen um 15 Minuten vorauszusagen. In den letzten Jahren gewannen Modelle mehr und mehr an Bedeutung, die den stochastischen und dynamischen Charakteristiken des Verkehrs Rechnung tragen. BHATTACHARJEE UND SINHA [1997] benutzten diese, um den Verkehrsfluss unter normalen Verkehrsbedingungen um eine Zeiteinheit vorauszusagen. Sie hoben hervor, dass ein dynamisches Modell nicht so datenintensiv wie andere Methoden sei.

4 Stochastische Zeitreihenmodelle nach BOX UND JENKINS [1976] zeichnen sich durch eine überschaubare Anzahl an Parametern und ihre geringe Rechenzeit für die Prognose aus. Sie wurden unter anderem von AHMED UND COOK [1979] für die Entwicklung eines Prognosemodells auf Basis von Verkehrsstärken und Belegungsgrad verwendet. Bei der Validierung zeigten sich die ARIMA-Modelle im Vergleich mit anderen Methoden überlegen. Seit den 90ern hat das Interesse an der Verwendung Neuronaler Netze im Verkehrswesen stark zugenommen. Neuronale Netze eignen sich hervorragend für die Behandlung nichtlinearer Probleme; sie können in Bereichen eingesetzt werden, die durch starke Schwankungen im Verkehrsgeschehen geprägt sind. TAYLOR UND MELDRUM [1979] entwickelten ein Neuronales Netz für die Prognose von Verkehrsvolumen und Belegungsgrad für einen Prognosehorizont von einer Minute. Dagegen hat das von DOUGHERTY [1993] geschaffene Netz einen Prognosehorizont von fünf Minuten. Bei der Entwicklung eines Prognosemodells ist es wichtig, das Verkehrsgeschehen geeignet nachzubilden. Makroskopisch wird der Verkehrsablauf allgemein durch die Kenngrößen, Verkehrsstärke q [Fz/h], Verkehrsdichte [Fz/km] und die mittlere lokale Geschwindigkeit v [km/h] beschrieben. Hierfür ist vor allem die Darstellung der Zusammenhänge zwischen den einzelnen Verkehrskenngrößen von großer Bedeutung. Es lässt sich folgender Zusammenhang definieren: q = k v Zwei unabhängige Kenngrößen können empirisch über eine Zustandsgleichung verknüpft werden, z.b.: q = v f k - v f k 2 / k max q: Verkehrsstärke [Fz/h]; v f : Freie Geschwindigkeit (Wunschgeschwindigkeit); k: Verkehrsdichte [Fz/km] k max : Maximale Verkehrsdichte Die Form der Gleichung, das sog. Fundamentaldiagramm, ist in Abbildung 2 dargestellt. In der Theorie existieren verschiedene Ansätze für die Charakterisierung des Verkehrs. MAY [1990] unterscheidet drei Phasen: freier, teilgebundener und gebundener Verkehr. Das Modell nach KIM [2001] identifiziert sogar sechs verschiedene Phasen. In der Praxis finden sich jedoch zumeist Modelle, die nur zwei Phasen, freien und gestauten Verkehr, unterscheiden. Dieses Zwei-Phasen-Modell wurde auch in der zugrundeliegenden Arbeit verwendet (siehe Abbildung 2).

5 Abb.2: Fundamentaldiagramm mit realen Verkehrsdaten 3 Hybrides Verkehrsprognosemodell Das neu entwickelte Hybridmodell besteht aus einem ARIMA-Zeitreihenmodell und einem Neuronalen Netz (siehe Abbildung 3). Durch eine intelligente Verknüpfung werden die Stärken beider Modelle vereint. Abb.3: Hybrides Verkehrsprognosemodell Das ARIMA-Modell eignet sich als lineares Modell hervorragend für den Bereich des fließenden, freien Verkehrs. Zu diesem Zeitpunkt ist der Verkehrszustand stabil, die Fahrzeuge beeinflussen sich kaum in ihrem Fahrverhalten. Die Geschwindigkeiten an den benachbarten Messquerschnitten sind nur schwach korreliert. Ein Neuronales Netz zeigt seine Stärken bei der Modellierung von nicht-linearen Problemen. Diese treten bei stark schwankendem Verkehr, insbesondere im gestauten Verkehrsbereich auf. Charakteristisch für diesen Verkehrszustand ist die Ausbreitung von Stoßwellen stromaufwärts und die starken Korrelationen zwischen benachbarten Messquerschnitten. Aus diesem Grund werden im Neuronalen Netz die Verkehrskenngrößen beider benachbarter Messquerschnitte für die Erstellung der Prognose miteinbezogen.

6 Welches Verfahren zum aktuellen Zeitpunkt verwendet wird ist über einen Umschaltmechanismus geregelt. Dieser besteht aus zwei Stauindikatoren, die über eine Logikschaltung miteinander verknüpft sind. Der Stauindikator nach KIM [2001] berechnet den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit, um Aussagen über den aktuellen Verkehrszustand zu treffen: V i = v i + v i-1 + v i-2 + v i-3 + v i-4 Flow_ind = (V i - V i-5 )/(V i + V i-5 ) Die Methode der automatischen Staudetektion (ACD 2 -Methode) [ZHANG ET AL.; 1994] besteht aus einem Schwellenwertverfahren, das basierend auf der aktuellen Geschwindigkeit eine Aussage über den Verkehrszustand ableitet. Die hier verwendeten Schwellenwerte sind in Tabelle 1 dargestellt. Meldet einer der beiden Indikatoren Stau, so wird vom ARIMA-Modell in die Vorhersage des Neuronalen Netzes gewechselt. Melden beide Indikatoren freier Verkehr wird die Prognose des ARIMA-Modells verwendet. Schwellenwerte ACD-Methode 60 km/h 85 km/h Indikator nach KIM 0.3 Tabelle 1: Parameter der Stauindikatoren Zu jedem Zeitpunkt werden die Werte der Geschwindigkeit und der Verkehrsstärke zum gegenwärtigen Zeitpunkt t und für die vergangenen Zeitpunkte t-1, t-2,... im Modell verarbeitet. Ausgehend davon wird der Wert für die Geschwindigkeit für den zukünftigen Zeitpunkt t+1 berechnet. 3.1 Stochastisches ARIMA-Modell Es ist zweckmäßig, aus den aggregierten Rohdaten der Geschwindigkeit am betrachteten Messquerschnitt zunächst eine normierte Zeitreihe z t = v v t f zu definieren. Der Index t bezeichnet hierbei die Zeit etwa in Minuten. Stehen nun die Werte z t, z t-1, z t-2, z t-3... bis zu einem Zeitpunkt t zur Verfügung, so besteht unsere Aufgabe darin, eine Vorhersage der Geschwindigkeit für spätere Zeitpunkte, beispielsweise t+1, t+2,... zu erhalten. Die n-schritt-prognose des Zeitreihenwerts z t+n mit n 1 wird mit ẑ t (n) bezeichnet. Zur Lösung dieser Aufgabe betrachten wir nun diese Zeitreihe als Realisierung eines stochastischen Prozesses. Für fließenden, freien Verkehr wird zur Darstellung des stochastischen Prozesses ein univariates stochastisches Modell der Form ARIMA (p,d,q) nach BOX-JENKINS [1976] gewählt. Mit einem univariaten Modell wird der Einfluss der früheren Werte z t-1, z t-2, z t-3 auf z t, jedoch nicht der Einfluss äußerer Faktoren, wie etwa der Werte an anderen Messquerschnitten, berücksichtigt [STEINHOFF ET AL.; 2002]. Für ganze Zahlen p, d, und q versteht man unter dem Begriff ARIMA (p,d,q) ein Modell der Form 2 ACD: Automatic Congestion Detection

7 φ(b) (1-B) d z t = θ(b) a t, wobei der autoregressive AR-Operator φ(b) ein Polynom der Ordnung p, der MA-Operator θ(b) ( moving average oder gleitender Mittelwert ) ein Polynom der Ordnung q, und B der Lag -Operator ist, d.h., B(z t ) = z t-1, B 2 = B*B z t = z t-2 usw. Mit der Substitution u t = (1-B) d z t lässt sich das Modell ARIMA immer auf die etwas einfachere Form ARMA (p,q) φ(b) u t = θ(b) a t reduzieren, woraus ersichtlich ist, dass der Parameter d schlicht eine Differenzbildung bedeutet, d.h., für d = 1 stellt u t die erste Differenz z t - z t-1, dar, usw. Bei bekannten oder geschätzten Werten von u t bildet man die erwünschte Reihe z t durch eine entsprechende Summation, so daß man dieses Modell als integriert bezeichnet. Die Zufälligkeit oder stochastische Natur des Modells steckt in der Reihe a t. Das heißt, jeder Wert von a t stellt eine Stichprobe aus identischen Normalverteilungen (Mittelwert = 0 und Standardabweichung = σ) dar. In Anlehnung an Zufallsprozesse in der Physik werden diese Werte zur Veranschaulichung auch manchmal als Stöße bezeichnet. Eine wesentliche vereinfachende Eigenschaft der ARIMA Modelle besteht in der Annahme einer linearen Abhängigkeit des Wertes z t von den bisherigen Beobachtungen z t-1, z t-2,... bzw. von den Stößen a t, a t-1, a t-2,... Diese Annahme muss natürlich nicht notwendigerweise der Wirklichkeit für alle Verkehrszustände entsprechen, erscheint aber für die Modellierung des freien Verkehrs als plausibel. Für uns steht die praktische Anwendung eines solchen Modells im Vordergrund: Ein ARMA(p,q)-Modell ist offenbar durch die Angabe von p+q+1 Parametern bestimmt: Denn neben der Standardabweichung σ der Stöße a t enthalten der autoregressive Operator φ(b) bzw. der MA-Operator θ(b) jeweils p bzw. q zunächst unbekannte Parameter. Die Bestimmung des Modells erfordert i.d.r. drei wesentliche Phasen: 1. Die Modellidentifikation (bzw. selektion), d.h., die Bestimmung von d, p und q. 2. Die Schätzung der p+q+1 freien Parameter aus einem repräsentativen Datensatz. 3. Die Überprüfung der Güte des Modells (mit unabhängigen Stichproben). Ist ein ARIMA-Modell erst bestimmt worden, lässt es sich für eine n-schritt-prognose z t+n auf intuitiv recht einfache Weise folgendermaßen anwenden: Zu einem Zeitpunkt t = T liegen alle Werte von z t vor. Daraus lassen sich insbesondere auch alle bisherigen Stöße a t bis einschließlich a T rekonstruieren. Für etwa die 1-Schritt-Prognose ẑ T (1) bildet man den Erwartungswert von z T+1 aus dem Modell für z T mit der Annahme a T+1 = 0. Der wahre Wert wird sich modellgemäß von dieser Prognose offenbar durch das normalverteilte Residuum a T+1 unterscheiden. Für die 2-Schritt-Prognose ẑ T (2) wiederholt man einfach diese Vorgehensweise, d.h., man berechnet z t+2 mit a T+1 und a T+2 gleich null. Zur Unterstützung der Modellidentifikation ist es zweckmäßig, die Autokorrelationen und die partiellen Autokorrelationen der Geschwindigkeitszeitreihe einer Stichprobe zu analysieren. Die Berechnung dieser Größen mit Hilfe der Statistiksoftware SPSS [1996] ergab folgende plausible Modelle, die wir mit (p,d,q) bezeichnen: (1,0,1), (0,1,1) und (0,2,2). Um eine einheitlichere Analyse zu ermöglichen und die Modelle auf Überanpassung zu testen, wurden weiter die Modelle (0,1,2), (1,1,1) und (0,2,1) untersucht.

8 Für die Bestimmung der p+q+1 Parameter jedes Modells wurde wie üblich eine Maximum- Likelihood-Schätzung verwendet. Eine zusätzliche graphische Überprüfung der Näherungsfunktion gab Auskunft über Besonderheiten im Funktionsverlauf (siehe Abbildung 4). Abb.4: Funktionsverlauf des Modells Zur vergleichenden Bewertung der Güte der Modelle wurde eine χ 2 Analyse durchgeführt. Die Modelle (1,0,1), (0,2,2) und (0,2,1) schieden mit sehr hohen χ 2 Werten aus. Die restlichen Modelle wurden anhand eines unabhängigen Datensatzes evaluiert. Dazu wurde der mittlere quadratische und der mittlere absolute Fehler berechnet. Das Modell (0,1,2) wies den kleinsten Prognosefehler auf, jedoch konnte Modell (1,1,1) die Schwankungen im Verkehr besser nachbilden. Aus diesem Grund fiel die Wahl auf letzteres Modell. Mit den entwickelten Parametern kann die Prognose berechnet werden. Das Modell (1,1,1) für die Vorhersage von 1 Minute lautet folgendermaßen: ẑ t (1) = (1+Φ) z t - Φ z t-1 - θ 1 a t Diese drei ARIMA-Prognosemodelle wurden im Hinblick auf die jeweilige Prognosegüte für freien Verkehr mit dem Mittelwert aus der Gesamtzeitreihe und einem gleitenden Mittelwert verglichen. Da keine stationären Zeitreihen vorlagen; war mit dem Mittelwert keine ausreichend gute Prognose möglich. Der gleitende Mittelwert lieferte Ergebnisse, die etwa um eine Zeiteinheit verschoben waren. Ein zeitlicher Versatz ist bei einer Prognose aber nicht erwünscht, vielmehr sollten auftretende Richtungsänderungen und Schwankungen zeitnah aufgezeigt werden. 3.2 Neuronales Netz Für die Analyse von Zeitreihen wird das Neuronale Netz darauf trainiert, den gesamten Verlauf der Zeitreihe zu approximieren und für eine Prognose entsprechend zu verallgemeinern. Die n Eingabegrößen werden so gewählt, dass auf den zu prognostizierenden Wert intelligent geschlossen werden kann. Die Wahl der Eingabegrößen und ihrer Vergangenheitstiefe, also die Festlegung, wie viele Zeiteinheiten der Vergangenheit in die Prognose miteinbezogen werden, ist von großer Bedeutung. Die Eigenschaften des

9 Neuronalen Netzes hängen in hohem Maße von den Eingangsgrößen und der Vergangenheitstiefe ab, da sie repräsentativ für die gestellte Aufgabe sind. Abb.5: Winkeländerung zwischen den Geschwindigkeitsvektoren Als Eingabegrößen wurden nicht nur die Variablen an dem zu prognostizierenden Messquerschnitt betrachtet, sondern auch die der beiden unmittelbar benachbarten Messquerschnitte. Diese Messquerschnitte beeinflussen den Verkehrszustand am betrachteten Messquerschnitt vor allem bei gestautem Verkehr erheblich. Um die Vergangenheitstiefe festzulegen, wurde eine Korrelationsanalyse durchgeführt. Die dabei festgestellten Tendenzen ergaben eine optimale Vergangenheitstiefe von drei Minuten. Für das Testbeispiel (siehe Kapitel 4) ergaben sich schließlich 21 Eingabevariablen: die Geschwindigkeit und die Verkehrsstärke an allen drei Messquerschnitten, sowie die Winkeländerung zwischen den Geschwindigkeitsvektoren im Fundamentaldiagramm zu den Zeiten t, t-1 und t-2. Letztere Größe ist ein Indikator für die Richtung der Geschwindigkeitsänderung und der Stärke ihrer Differenz (siehe Abbildung 5). Abb.6: Schematischer Aufbau des neuronalen Netzes

10 Für die Winkeländerung gilt: v2 v1 tan ϕ = 1+ v v 1 2 Dabei muß berücksichtigt werden, dass die Geschwindigkeiten v 1 und v 2 in diesem Fall skalare Größen sind. Als Netz-Topologie wurde ein dreischichtiges vorwärtsgerichtetes Neuronales Netz mit einer versteckten Schicht gewählt. Das gesamte Neuronale Netz ist in Abbildung 6 zu sehen. Die dazugehörige Aktivierungsfunktion bildete die sigmoid-funktion und die Ausgabefunktion die Identität. I = n i= 0 1 σ ( I) = 1 + e βi ( ω x ) = ω + ( ω x ) i i 0 n i= 1 i i Dazu war es nötig, die Eingangsdaten auf das Intervall [0,1] zu skalieren. Als Lernverfahren wurde der Backpropagation-Algorithmus verwendet. Der Fehler am Ausgabeneuron ergibt sich dabei aus der Ausgabe des Neuronalen Netzes ŷ und den realen Messwerten y zu: e = 0.5 (ŷ y) 2 Das neue Gewicht von Neuron j zu Neuron i aus Schicht l berechnet sich folgendermaßen: ω lij k+1 = ω lij k + ω lij k = ω lij k + η e ω lij k Zusätzlich wurden weitere Varianten des Backpropagation-Algorithmus untersucht: k e Hinzunahme eines Momentumterms ( ω lij = η + µ ω k-1 lij ), ω lij Durchführung des Trainings mit Batch-Lernen, Verwendung des Optimal Brain Surgeon Algorithmus (Pruning-Verfahren) und Hinzunahme eines Bestrafungsterms. Die Lern-Datenpaare wurden in 20% Validierungs- und 80% Trainingspaare aufgeteilt. Das Netz wurde mit den Trainingsdaten und unterschiedlichen Parametern des Backpropagation-Algorithmus gelernt. Gleichzeitig gab die Berechnung des Fehlers mit den Validierungsdaten einen Hinweis auf die Güte des Lernens im Hinblick auf die Möglichkeit der Verallgemeinerung und des Übertrainieren des Netzes. Nach dem Lernen wurden die entstandenen Netze an einem unabhängigen Datensatz getestet. Es zeigte sich, dass das Netz mit Momentumterm das beste Ergebnis lieferte. k

11 4 Evaluation des Hybridmodells Das hybride Prognosemodell wurde am Beispiel des zweispurigen Autobahnabschnitts der A92 Deggendorf-München (siehe Abbildung 7) evaluiert. Dieser Abschnitt besteht aus insgesamt vier Messquerschnitten. Der erste Messquerschnitt 268 befindet sich an der zweispurigen Auffahrt am Flughafen München. Im Abstand von 2,55 km liegt der Messquerschnitt 267 an der Anschlussstelle Freising Süd. An diesem Messquerschnitt wird die Prognose erstellt. Daran schließt Messquerschnitt 321 im Abstand von 2,1 km an. Der letzte betrachtete Messquerschnitt liegt 2 km stromabwärts am Autobahnkreuz Neufahrn. Abb.7: Testfeld Die an den Messquerschnitten vorliegenden Fahrzeug-Einzel-Daten wurden analysiert und zu Ein-Minuten-Intervallen aggregiert. Wichtig war dabei die Berücksichtigung fehlerhafter Daten und Zeitstempel, die herausgefiltert werden mussten. Um für die Entwicklung der Modelle ausreichend Datensätze zur Verfügung zu haben, wurden alle Wochentage der Jahre 2000 und 2001 verwendet, an denen Staus oder Geschwindigkeitsabfälle vorherrschten. Das Hybridmodell wurde für einen unabhängigen Testtag, den , offline für die Prognose der lokalen Geschwindigkeit für eine Minute getestet. Der zugehörige Geschwindigkeits-Contourplot ist in Abbildung 8 gezeigt. Der Bereich mit niedrigen Geschwindigkeiten ist in rot dargestellt, während höhere Geschwindigkeiten in blau gezeichnet wurden. Als unabhängige Referenz dienten ein ARIMA-Modell (1,1,1), ein Neuronales Netz und der gleitende Mittelwert. Zu betonen ist hierbei, dass sowohl das ARIMA-Modell (1,1,1) als auch das Neuronale Netz den gesamten Verkehrskontext repräsentierten und nicht wie im Hybridprognosemodell intelligent über einen Umschaltmechanismus kombiniert wurden.

12 Abb.8: Geschwindigkeits-Contourplot Die jeweils verwendeten Parameter der Referenzmodelle sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. Modell Parameter ARIMA Φ = 0.09 Θ = Modell Lernrate Momentumterm Neuronales Netz η = 0.2 µ = 0.4 Tabelle 2: Parameter der Referenzmodelle In Abbildung 9 und 10 sind die vier Modelle 3 und deren Prognosewerte illustriert. Als Zeitreihe sind jeweils die Ein-Minuten-Prognosen und der tatsächliche Verlauf der Geschwindigkeit (v) am Prognosequerschnitt dargestellt. Die Balkendiagramme stellen die jeweiligen Abweichungen zwischen tatsächlich gemessener, lokaler Geschwindigkeit und der dafür berechneten Prognose dar. Das ARIMA-Modell bildete den fließenden Verkehr gut nach, konnte jedoch, wie zu erwarten war, den Bereich des gestauten Verkehrs nicht zufriedenstellend modellieren. Die Flanken wurden zeitlich verschoben vorhergesagt. Dies ergab einen hohen Fehler in diesem Bereich (siehe Abbildung 9). Im Staubereich zeigte das Neuronale Netz seine Fähigkeit, nicht-lineare Probleme zu modellieren. Der Bereich des Staus und die Flanken wurden gut nachgebildet. Der fließende Verkehr wurde aber zu niedrig geschätzt. Dieser Bereich wurde von dem Neuronalen Netz auch nicht gelernt (siehe Abbildung 9). 3 ARIMA (1,1,1) (arima), Neuronales Netz (ann), gleitender Mittelwert und hybrides Prognosemodell (hybrid)

13 Abb.9: Vergleich der Geschwindigkeitszeitreihen des ARIMA-Modells und des Neuronalen Netzes Das neu entwickelte, hybride Modell kombiniert die Vorteile beider Modelle. Beide Bereiche wurden gut nachgebildet. Am Anfang war das ARIMA-Modell geschalten. Als der Umschaltmechanismus Stau meldete, wurde auf das Neuronale Netz geschalten, bis beide Staudetektoren wieder freier Verkehr meldeten. Bei einem Geschwindigkeitsabfall ist es wichtig, möglichst schnell auf das Neuronale Netz zu schalten. Die prognostizierte Zeitreihe ist in Grün in Abbildung 10 dargestellt. Abb.10: Vergleich der Geschwindigkeitszeitreihen des hybriden Modells und des gl. Mittelwerts Der Fehler des gleitenden Mittelwerts war vergleichbar zu dem des ARIMA-Modells (siehe Tabelle 3). Die Prognose war wiederum zeitlich etwas verschoben.

14 Modell Mittlerer quadratischer Fehler Mittlerer absoluter Fehler ARIMA Neuronales Netz Gleitender Mittelwert Hybrides Modell Tabelle 3: Vergleich der Prognosefehler [km/h] Neben dem zeitlichen Verlauf der Prognosen wurden auch der mittlere quadratische Fehler und der mittlere absolute Fehler berechnet und analysiert (siehe Tabelle 3). Die geringsten Fehler ergaben sich für das hybride Modell. Die Verbesserung der Prognose im Vergleich zum zweitbesten Verfahren, dem gleitenden Mittelwert, betragen fast 10%. 5 Zusammenfassung Durch die Entwicklung eines hybriden Modells konnten die Stärken eines Neuronalen Netzes und des stochastischen ARIMA-Zeitreihenmodells kombiniert werden. Das neue Modell demonstrierte in einer unabhängigen Evaluation eindrucksvoll seine Fähigkeiten und schnitt dabei besser ab als die beiden einzelnen Modelle oder andere Standardverfahren. Der kurzfristige Prognosehorizont von wenigen Sekunden bis zu wenigen Minuten ist geprägt durch starke Schwankungen, Einbrüche und Rauschen der Messreihen. Eine Modellierung dieser Phänomene ist äußerst komplex und stellt eine große Herausforderung dar. Mit dem neuen Hybridmodell ist es gelungen, diese sehr kurzfristigen Schwankungen und Einbrüche in lokalen Geschwindigkeitszeitreihen sehr gut vorherzusagen. Mittelfristige (5Min. 30Min.) und langfristige (>30Min.) Verkehrsprognosen sind durch stabilere Trends und Einflussfaktoren beschrieben. Die Verwendung des Hybridmodells für derartige Vorhersagen wird gegenwärtig getestet und erste Ergebnisse sind sehr vielversprechend. Der kurze Prognosehorizont von einer Minute stellt also nur die Grundlage für weitere zu entwickelnde Verfahren dar. Jedoch gibt es auch zahlreiche Anwendungen, in denen Ein- Minuten-Prognosen notwendig und sinnvoll sind, wie z.b. in Realzeit-Regelungs- Algorithmen [LESORT; 1987]. 6 Literaturverzeichnis AHMED, M.S. UND A.R. COOK (1979). Analysis of Freeway Traffic Time-Series Data by Using Box-Jenkins Techniques. Transportation Research Board Record 722, Washington D.C., pp1-9. BHATTACHARJEE, D. UND K.C. SINHA (1997). An Application of Dynamic Linear Model in Short-term Freeway Traffic Flow Prediction. Transportation Research Board, Paper No BOGENBERGER, K. (2001). Adaptive Fuzzy Systems for Traffic Responsive and Coordinated Ramp Metering. Ph.D.-Dissertation; Technische Universität München. BOX, G.E.P. UND G.M. JENKINS (1976). TIME SERIES ANALYSIS forecasting and control. Holden Day Inc., San Francisco.

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