Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 4 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe 37 a Berechnen Sie B x + y + z d(x, y, z, wobei B die Kugel um mit Radius R > sei. b Bestimmen Sie lim ρ B ρ x +y +z d(x, y, z, wobei B ρ die Kugelschale {(x, y, z R 3 : ρ x + y + z R } mit < ρ < R bezeichne. c Man berechne lim R B R (+x +y +z d(x, y, z, wobei B R die Kugel um mit Radius R > sei. d Bestimmen Sie den Wert des Integrals M R 3 : x + y + z 4, z }. z d(x, y, z, wobei M := {(x, y, z +x +y e Es sei f : [, R] R stetig (R > und es sei B die Kugel um mit Radius R. Zeigen Sie, dass dann f( R x + y + z d(x, y, z = 4π r f(r dr B gilt. Lösungsvorschlag: Um die einzelnen Teilaufgaben zu lösen, gehen wir jeweils zu Kugelkoordinaten über. zu a: Wegen B = {(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ : r R, ϕ [, π], ϑ [ π/, π/]} erhalten wir R x + y + z d(x, y, z = B π π π R r r cos ϑ dϑ dϕ dr = 4π r 3 dr = πr 4. zu b: Aus B ρ = {(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ : ρ r R, ϕ [, π], ϑ [ π/, π/]}

2 ergibt sich R x + y + z d(x, y, z = B ρ und somit zu c: Es gilt ρ π π π R r r cos ϑ dϑ dϕ dr = 4π r dr = π(r ρ ρ lim ρ B ρ x + y + z d(x, y, z = πr. B R = {(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ : r R, ϕ [, π], ϑ [ π/, π/]}. Damit folgt R π B R ( + x + y + z d(x, y, z = ( π = π woraus sich ergibt. lim R zu d: Es gilt woraus π π ( [ r = 4π ( + r [ = 4π r cos ϑ π ( + r dϑ dϕ dr ( R cos ϑ dϑ ] R + R r ( + r + arctan(r B R ( + x + y + z d(x, y, z = lim R r ( + r dr + r dr ] R ( π arctan(r = π arctan(r πr + R, πr = π + R M = {(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ : r, ϕ [, π], ϑ [, π/]}, M z d(x, y, z = + x + y π = π = π = π = π π π r sin ϑ + r cos ϑ r cos ϑ dϑ dϕ dr r 3 sin ϑ cos ϑ dϑ dr + r cos ϑ [ r log ( + r cos ϑ ] ϑ= π r log( + r dr [ ( + r ( log( + r ] ϑ= = π (5 (log(5 (log( = π(log(55 /4 3 dr

3 folgt; hierbei haben wir verwendet, dass d (t log(t t = log(t (t > gilt. dt zu e: Aus B = {(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ : r R, ϕ [, π], ϑ [ π/, π/]} ergibt sich durch Transformation auf Kugelkoordinaten B wie behauptet. f( x + y + z d(x, y, z = R π = π ( π π π π R = 4π r f(r dr f(r r cos ϑ dϑ dϕ dr ( R cos ϑ dϑ r f(r dr

4 Aufgabe 38 Es sei U := (, ( π, π (,. Wir betrachten die Abbildung und setzen V := Φ(U. a Zeigen Sie, dass Φ : U R 3 ; (r, ϕ, c (cr cos ϕ, cr sin ϕ, r V = {(x, y, z R 3 : z > } \ {(x,, z R 3 : x } gilt und dass Φ : U V bijektiv ist, und berechnen Sie die Funktionaldeterminante det Φ. b Berechnen Sie das Integral M x z d(x, y, z, wobei M = {(x, y, z R 3 : z, ( + z x + y ( + z, x > }. Lösungsvorschlag: zu a: Wir betrachten die Abbildung Ψ : (, ( π, π R \{(x, R : x }; (r, ϕ (r cos ϕ, r sin ϕ, welche bekanntlich bijektiv ist (Polarkoordinaten!. Es gilt Φ(r, ϕ, c = (Ψ(cr, ϕ, r für alle (r, ϕ, c U und wir erkennen, dass Φ(U V gilt. Wir betrachten nun die Abbildung ( z χ : V R 3 ; (x, y, z +, (Ψ (x, y, (Ψ (x, y, z + wobei Ψ : R \{(x, R : x } (, ( π, π; (x, y Ψ (x, y = ((Ψ (x, y, (Ψ (x, y die Umkehrabbildung zu Ψ bezeichne. Offenkundig gilt χ(v U. Des Weiteren gilt ( χ(φ(r, ϕ, c = r +, (Ψ (cr cos ϕ, cr sin ϕ, (Ψ (cr cos ϕ, cr sin ϕ (r + = ( r, ϕ, cr = (r, ϕ, c r für alle (r, ϕ, c U sowie ( ( (Ψ (x, y Φ(χ(x, y, z = Ψ z + z ( +, (Ψ (x, y, z + = ( Ψ ( (Ψ (x, y, (Ψ (x, y, z = ( Ψ ( Ψ (x, y, z = (x, y, z

5 für alle (x, y, z V. Mithin ist Φ(U = V und Φ : U V ist bijektiv mit Umkehrfunktion χ. Offenbar ist Φ beliebig oft (stetig partiell differenzierbar und es gilt c cos ϕ cr sin ϕ r cos ϕ Φ (r, ϕ, c = c sin ϕ cr cos ϕ r sin ϕ r r für alle (r, ϕ, c U. Entwickeln nach der dritten Zeile liefert ferner det Φ (r, ϕ, c = r ( cr sin ϕ cr cos ϕ = cr3 r r für alle (r, ϕ, c U; insbesondere ist det Φ (r, ϕ, c für jeden Punkt (r, ϕ, c U. zu b: Es gilt { M = Φ(r, ϕ, c : r = [, 5 ], { [ ] Φ(r, ϕ, c : r, 5, Der Transformationssatz liefert nun 5 π x z d(x, y, z = M = π 5 π π ( 5 ( π = r 5 dr = = 7 6 ( π ( π } r c r r, ϕ ( π, π, c > c }, ϕ ( π, π. c r cos (ϕ r det Φ (r, ϕ, c dc dϕ dr c 3 r 5 cos ϕ dc dϕ dr π ( cos ϕ dϕ cos (ϕ π dϕ cos (ϕ dϕ = 585π 3, wobei wir hier zur Berechnung von π cos (ϕ dϕ = π die Rekursionsformel aus der 5. Saalübung herangezogen haben. c 3 dc

6 Aufgabe 39 a Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme auf geeigneten Intervallen. (i y = y tan(x + cos(x, y( = π (ii log(y = x y e y, y( = (iii y = x y + x, y( = x (iv xy( + x y = + y, y( = b Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der nachstehenden Differentialgleichungen auf dem angegebenen Intervall I. (i y = 3y + e x sin(x, I = R (ii y = + y, I = R (iii y +y =, I = (, y (iv x 3 y + ( 3x y = x 3, I = (, Lösungsvorschlag: zu a (i: Bei dieser Differentialgleichung handelt es sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Wir betrachten daher zunächst das homogene Problem y = y tan(x. Jede Lösung y h dieser homogenen Gleichung ist von der Form y h (x = ce log(cos(x = c cos(x, c R, für x ( π, π (beachte d (log(cos(t = ( sin(t = tan(t. Um eine spezielle dt cos(t Lösung y p der inhomogenen Gleichung zu finden, verfolgen wir den Ansatz der Variation der Konstanten und betrachten y p (x = c(x cos(x (x ( π, π mit einer differenzierbaren Funktion c. Dann gilt y p = y p tan(x + cos(x c (x cos(x c(x sin(x = c(x sin(x + cos(x c (x cos(x = cos(x und diese letzte Gleichung wird z.b. durch c(x = x gelöst. gegebenen inhomogenen Differentialgleichung lautet mithin Die allgemeine Lösung der y(x = c cos(x + x cos(x (x ( π, π, c R. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert nun y( = π c = π. Folglich ist y(x = (x + π cos(x mit x ( π, π die gesuchte Lösung des gegebenen Anfangswertproblems.

7 Beachte: Obwohl die Lösungsfunktion auf ganz R definiert ist, müssen wir uns auf das Intervall ( π, π einschränken, da die Differentialgleichung (wegen des Termes tan(x auf keinem echt größeren Intervall sinnvoll ist! zu a (ii: Wir beachten zunächst folgende Äquivalenzen log(y = x y e y e log(y = e x y ey y e y e ey = e x. Letzteres ist eine Differentialgleichung in getrennten Variablen und wir erhalten e ey = e x + c für ein c R. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert e = e + c c =. Hieraus widerum ergibt sich e y = x und somit y(x = log(x für x >. zu a (iii: Bei dieser Differentialgleichung handelt es sich wieder um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Wir betrachten daher zunächst das homogene Problem y = x x y. Jede Lösung y h dieser homogenen Gleichung ist von der Form y h (x = ce log( x = c( x, c R, für x (, (beachte d (log( dt t = ( t. Um eine spezielle Lösung y t p der inhomogenen Gleichung zu finden, verfolgen wir den Ansatz der Variation der Konstanten und betrachten y p (x = c(x( x (x (, mit einer differenzierbaren Funktion c. Dann gilt y p = x x y p + x c (x( x xc(x = xc(x + x c (x( x( + x = x c (x = + x für x (, und diese letzte Gleichung wird z.b. durch c(x = log( + x gelöst. Die allgemeine Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung lautet mithin y(x = c( x + log(x + ( x (x (,, c R. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert nun y( = c =. Folglich ist y(x = (log(x + + ( x mit x (, die gesuchte Lösung des gegebenen Anfangswertproblems.

8 Beachte: Obwohl die Lösungsfunktion sogar auf (, definiert ist, müssen wir uns auf x das Intervall (, einschränken, da die Differentialgleichung (wegen des Termes auf x keinem echt größeren Intervall sinnvoll ist! zu a (iv: Offenkundig ist die gegebene Differentialgleichung (auf R \{} zu yy + y = x( + x (x äquivalent, was eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen ist. Wir beachten nun, dass x( + x = + x x x( + x = x x + x gilt. Daher folgt log( + y = log x log( + x + c für x mit einem c R. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert nun log(5 = log( + c c = log(. Wir betrachten nun x > (denn unser Lösungsintervall muss ja den Anfangspunkt enthalten und erhalten log( + y = log x log( + x + c log( + y = log(x log( + x + log( ( x log( + y = log x + + y = x x + y = 9x x + (3x (3x + =. x + Der Term auf der rechten Seite der letzten Gleichung ist auf (, lediglich für x 3 nichtnegativ und für x > sogar strikt positiv und wegen y( = > und wegen der 3 Stetigkeit von y erhalten wir 9x y(x = x + für x > (man beachte hier, dass wir x = auszuschließen haben, da y dort zwar noch 3 3 definiert und stetig, jedoch nicht mehr differenzierbar ist. In der Tat hat man nämlich für x > 3 ( ( y(x y(/3 3 x 3 x + 3 x = ( ( 3 x 3 x + = 3 x + 3 ( x 3 ( x + x + 3

9 zu b (i: Bei dieser Differentialgleichung handelt es sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Wir betrachten daher zunächst das homogene Problem y = 3y. Jede Lösung y h dieser homogenen Gleichung ist von der Form y h (x = ce 3x, c R, für x R. Um eine spezielle Lösung y p der inhomogenen Gleichung zu finden, verfolgen wir den Ansatz der Variation der Konstanten und betrachten y p (x = c(xe 3x (x R mit einer differenzierbaren Funktion c. Dann gilt y p = 3y p + e x sin(x c (xe 3x + 3e 3x c(x = 3e 3x c(x + e x sin(x c (x = e x sin(x für x R. und diese letzte Gleichung wird z.b. durch c(x = x e t sin(t dt gelöst. Wir berechnen x [ c(x = e t sin(t dt = ] x x e t sin(t + e t cos(t dt = [ e x sin(x + ] x x 4 e t cos(t 4 e t sin(t dt und erhalten = e x sin(x 4 e x cos(x c(x c(x = 5 e x sin(x 5 e x cos(x + 5. Die allgemeine Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung lautet mithin ( y(x = c 5 e x sin(x 5 e x cos(x e 3x für x R mit c R. zu b (ii: Hier ist eine Differentialgleichung in getrennten Variablen gegeben, welche wir in die Form y + y = bringen und alsdann erkennen, dass dann bzw. arsinh(y = x + c y = sinh(x + c gelten muss mit einem c R, wobei x R. Die allgemeine Lösung lautet also y(x = arsinh(x + c, x R,

10 mit c R. zu b (iii Auch hier liegt eine Differentialgleichung in getrennten Veränderlichen, die wir in die Form y y + y = bringen und hierdurch einsehen, dass + y = x + c mit einem c R gelten muss, wobei zumindest x c für jedes x aus I erfüllt sein muss. Es folgt des Weiteren y = (x + c = (x + c (x + c + und wir sehen, dass sogar wenigstens x c erfüllt sein muss. Wegen I = (, muss zudem c also c sichergestellt sein. Für jedes x aus (, gilt dann { y(x ± } (x + c. Da y als differenzierbare Funktion insbesondere stetig ist und der Ausdruck (x + c auf [ c, ausschließlich für x = c gleich ist, folgt, dass entweder für alle x I oder dass für alle x I y(x = (x + c y(x = (x + c gilt. Mithin ist { (, R; x } { (x + c : c (, R; x } (x + c : c die Menge aller gesuchten Lösungen. zu b (iv Da wir x < betrachten, ist die gegebene Differentialgleichung zu y = 3x x 3 y + äquivalent. Dabei handelt es sich nun also um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Wir betrachten daher zunächst das homogene Problem ( y = 3x 3 y = x 3 x y. x 3 Jede Lösung y h dieser homogenen Gleichung ist von der Form y h (x = ce 3 log( x+ x = cx 3 e x, c R, für x I. Um eine spezielle Lösung y p der inhomogenen Gleichung zu finden, verfolgen wir den Ansatz der Variation der Konstanten und betrachten y p (x = c(xx 3 e x (x I mit einer differenzierbaren Funktion c. Dann gilt y p = 3x x 3 y p +

11 c (xx 3 e x ( + c(x x 3 e x x 3 3x e x = 3x c(xx 3 e x 3 x + c (xx 3 e x c(x ( 3x e x = (3x c(xe x + c (x = e x 3 x für x I und diese letzte Gleichung wird z.b. durch c(x = e x { (, R; x cx 3 e x } x3 : c R gelöst. Daher ist die Menge aller Lösungen.

12 Aufgabe 4 Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme auf geeigneten Intervallen. a y = x, y( = y 3 b ( x y xy + =, y( = c y = x sin(xe y, y(π = d y + y = e x, y( = Lösungsvorschlag: zu a: Hier liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen vor, die wir in die Form y y 3 = x bringen, aus welcher wir sofort y 4 4 = 3 x3 + c mit einem c R erhalten. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert unmittelbar c =. Also 4 erhalten wir y 4 = 4 3 x3. Die rechte Seite ist jedoch ausschließlich für x 3 3 nichtnegativ. Für solche x gilt also 4 } {± 4 43 x3 y(x. Wegen der Stetigkeit von y und wegen y( = < ergibt sich für alle x (, 3 stetig, allerdings nicht differenzierbar ist. 3 4 y(x = x3 (beachte, dass die Funktion im Randpunkt definiert und auch zu b: Wir betrachten x aus dem Intervall (, (welches die Anfangsstelle enthält und bringen die Differentialgleichung alsdann in die Form y = x x y x. Bei dieser Differentialgleichung handelt es sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Wir betrachten daher zunächst das homogene Problem y = x x y. Jede Lösung y h dieser homogenen Gleichung ist von der Form y h (x = ce log( x = c x, c R,

13 für x (,. Um eine spezielle Lösung y p der inhomogenen Gleichung zu finden, verfolgen wir den Ansatz der Variation der Konstanten und betrachten y p (x = c(x x (x (, mit einer differenzierbaren Funktion c. Dann gilt y p = x x y p x c(xx c (x x + c (x = ( x 3 x = x x c(x x x für x (, und diese letzte Gleichung wird z.b. durch c(x = arccos(x gelöst. allgemeine Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung lautet mithin y(x = c + arccos(x x Die (x (,, c R. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert nun y( = c + π = c = π Folglich ist y(x = arccos(x π x mit x (, die gesuchte Lösung des gegebenen Anfangswertproblems (beachte, dass sich diese Lösung nicht auf ein größeres Intervall fortsetzen lässt. zu c: Hier liegt eine Differentialgleichung mit separierten Veränderlichen vor, die wir in die Form y e y = x sin(x bringen, woraus sich e y = x sin(x dx + c mit einem c R ergibt. Mit partieller Inetgration erhält man x sin(x dx = x cos(x + cos(x dx = sin(x x cos(x + d (d R und es folgt e y = sin(x x cos(x + c mit einem c R. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert e = π + c c = e π. Wegen (sin(x x cos(x+e π x=π = e > existiert ein δ > derart, dass sin(x x cos(x+ e π > für alle x I := (π δ, π + δ erfüllt ist. Und auf I gilt sodann y(x = log(sin(x x cos(x + e π. zu d: Wir bringen die Differentialgleichung in die Form y = y + e x

14 und sehen, dass es sich abermals um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Wir betrachten daher zunächst das homogene Problem y = y. Jede Lösung y h dieser homogenen Gleichung ist von der Form y h (x = ce x, c R, für x R. Um eine spezielle Lösung y p der inhomogenen Gleichung zu finden, verfolgen wir den üblichen Ansatz der Variation der Konstanten und betrachten y p (x = c(xe x (x R mit einer differenzierbaren Funktion c. Dann gilt y p = y p + e x c (xe x c(xe x = c(xe x + e x c (x = für x R und diese letzte Gleichung wird z.b. durch c(x = x gelöst. Die allgemeine Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung lautet mithin y(x = (c + xe x (x R, c R. Einsetzen der Anfangsbedingung liefert nun y( = c = Folglich ist y(x = (x + e x mit x R die gesuchte Lösung des gegebenen Anfangswertproblems.