Mathematik fur Physiker und Mathematiker

Transkript

1 Rainer Wust Mathematik fur Physiker und Mathematiker Band 2

2 Rainer Wust Mathematik fur Physiker und Mathematiker 2., uberarbeitete Auflage Band 2: Analysis im Mehrdimensionalen und Einfuhrungen in Spezialgebiete

3 Prof. Dr. rer. nat. Rainer Wiist Institut fir Mathematik an der Technischen Universitat Berlin StraBe des 17. Juni Berlin Das vorliegende Werk wurde sorgfdtig erarbeitet. Dennoch ubernehmen Autoren, Herausgeber und Verlag fiir die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlagen sowie fiir eventuelle Druckfehler keine Haftung. Umschlag: Tafelbild, Rainer Wiist Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz fur diese Publikation ist bei Die Deutsche Bibliothek erhatlich ISBN WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, 2002 Gedruckt auf saurefreiem Papier. Alle Rechte, insbesondere die der ijbersetzung in andere Sprachen, vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form - durch Photokopie, Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren - reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmachinen, verwendbare Sprache ubertragen oder ubersetzt werden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme, dass diese von jedermann frei benutzt werden diirfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschutzte Kennzeichen handeln, wenn sie nicht eigens als solche markiert sind. All rights reserved (including those of translation into other languages). No part of this book may be reproduced in any form - by photoprinting, microfilm, or any other means - nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publishers. Registered names, trademarks, etc. used in this book, even when not specifically marked as such, are not to be considered unprotected by law. Druck: Straws Offsetdruck GmbH, Morlenbach. Bindung: Litges & Dopf Buchbinderei GmbH, Heppenheim. Printed in the Federal Republic of Germany.

4 Richtungsableitung Integrale implizite Tangentialebene Bemerkungen Inhalt sverzeichnis Band 2 16 Abbildungen aus dem Rm in den R" 16.1 Beispiele Die Topologie des R" Grenzwerte und Stetigkeit bei Abbildungen aus dem Rn" in den R" Differentiation bei Abbildungen aus R" nach R" 17.1 Differenzierbarkeit von Abbildungen Partielle Differentiation und Kriterienfur Differenzierbarkeit Rechenregeln fur die Differentiation Gradient ~ ~ zu,,differentialen'. ein Mittelwertsatz Hohere partielle Ableitungen Umkehrabbildungen ~ Funktionen Der Gradient in Kugelkoordinaten Kurvenintegrale 18.1 Kurven Definition von Kurvenintegralen Lange von Kurven Wegunabhangigkeit. konservative Felder - Potentialfelder Rotation von Feldern Integration im R" 19.1 Definition von Integralen uber Quadern im Rm (Mehrfachintegrale) Integration uber Jordan-Bereichen, Berechnung von Integralen durch iterierte Integrale Uneigentliche Integrale in1 R" Transformation von lntegralen im R" Oberflachenintegrale 20.1 Hyperflachen im R" ~ 20.2 Flacheninhalt ~... uber Flachen Orientierte Flachen - FlufS

5 VI Inhaltsverzeichnis 21 Integralsatze Divergenz und GauD scher Satz Stokes scher Satz im B2 und R Funktionentheorie Holomorphe Funktionen Konforme Abbildungen - Mobius-Transformationen Integralsatze der Funktionentheorie - Residuen Potenzreihen- und Laurent-Reihendarstellungen holomorpher Funktionen Berechnung von Integralen mit der Residuenmethode Matrix-wertige holomorphe Abbildungen - Jordan-Normalform von Matrizen Gewohnliche Differentialgleichungen: Losungen und Losungsmethoden Losung einer Differentialgleichung Richtungsfeld - Maximal fortgesetzte Losungen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung - Bernoulli-Differentialgleichung Die exakte Differentialgleichung - Multiplikatoren Die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Existenz und Eindeutigkeit von Losungen von Anfangswertproblemen Differentialgleichungen n-ter Ordnung und Differentialgleichungssysteme GleichmaDige Konvergenz und Banach-Raume Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz - Banach scher Fixpunktsatz Abhangigkeit der Losungen von den Anfangswerten Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung Existenz und Eindeutigkeit von Losungen - Struktur der Losungsgesamtheit Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Hilbert. WeierstraD. Fourier Funktionenraume als Pra-Hilbert- und Hilbert-Raume Orthonormalsysteme.(Pra-) Hilbert-hum-Basis Der Weierstrai3 sche Approximationssatz Fourier-Reihen Fourier-Transformation auf dem Schwartz-Raum

6 Green sche Inhaltsverzeichnis VII 27 Lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung Beispiele Die eindiniensionale Wellengleichung Die Wellengleichung im R3 und im R Potentialgleichung ~ Funktion Mittelwerteigenschaften und Maximum-Prinzip harmonischer Funktionen Green sche Funktion und Eigenfunktionen des Laplace-Operators Warmeleitungsgleichung und Schrodinger-Gleichung, Separationsmethoden Hinweise zu den Aufgaben 1211 Literatur 1225 Symbollist e 1227 Index 1229