FHZ. K13 Rekursion. Lernziele. Hochschule Technik+Architektur Luzern Abteilung Informatik, Fach Programmieren. Inhalt

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1 Inhalt 1. Einführung 1. Beispiel: Fakultät 2. Beispiel: Zahlenfolge <x i > 3. Beispiel: Formale Sprache 4. Unterschied Iteration/Rekursion 2. Rekursive Methoden 1. Beispiel: Fakultät 2. Beispiel: "Türme von Hanoi" Folie 1 Lernziele Sie wissen, was Rekursion bedeutet Sie kennen den Unterschied zwischen Iteration und Rekursion Sie wissen, wie Iterationen und Rekursionen programmiertechnisch umgesetzt werden Sie kennen die Vor-/Nachteile von iterativen und rekursiven Lösungen Folie 2 Seite 1

2 1. Einführung Etwas heisst rekursiv: wenn es sich teilweise selbst enthält Eine Definition ist rekursiv wenn das zu Definierende teilweise durch sich selbst definiert wird Beispiel: Fernsehbild, wo Kamera auf eigenen Monitor gerichtet ist bewirkt Rekursion eine unendlich tiefe Verschachtelung muss daher in einem Programm einmal abgebrochen werden 4 1 & 8.8 Folie 3 1. Einführung Rekursion bietet Möglichkeit, mit endlichem Quelltext unendlich viele "Objekte" zu definieren Andere Möglichkeit Iteration mit Hilfe von Schleifen Auch hier braucht es ein Abbruchkriterium 4 1 & 8.8 Folie 4 Seite 2

3 1.1 Beispiel: Fakultät Iterative Definition:? n! = 1* 2 * 3 *... * n Rekursive Definition: 0! =? n! = n * (n 1)!? 5! = 5 * 4!? 5! = 5 * 4 * 3!? 5! = 5 * 4 * 3 * 2!? 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1!? 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 0!? 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1 = 120? & 8.8 Folie Beispiel: Zahlenfolge <x i > Iterative Definition:? x i = x i / i! (i = 1, 2, 3,... ) Rekursive Definition:? x 1 = x? x i = x i - 1 * ( x / i)? x 4 = x 3 * ( x / 4)? x 4 = x 2 * ( x / 3) * ( x / 4)? x 4 = x 1 * ( x / 2) * ( x / 3) * ( x / 4)? x 4 = x * ( x / 2) * ( x / 3) * ( x / 4) 4 2 Folie 6 Seite 3

4 1.3 Beispiel: Formale Sprache Formale Sprachen sind meist extrem rekursiv Definition von unendlicher Anzahl von syntaktisch korrekten Formulierungen durch endliche Syntax Iterative Definition:? Buchstabe ::= A B... Z a b... z? Ziffer ::= ? Bezeichner ::= Buchstabe Buchstabe Ziffer Rekursive Definition:? Bezeichner ::= Buchstabe (Bezeichner (Buchstabe Ziffer))? z.b. Bezeichner A = Bezeichner 4 A = b 4 A 4 2 Folie Unterschied Iteration/Rekursion Vorangehende Beispiele zeigen Unterschied zwischen Iteration und Rekursion Iteration erfordert eine Schleife Rekursion ohne Schleife Datenstrukturen sind häufig rekursiv Listen, Bäumen Iteration und Rekursion sind äquivalent Jede Iteration kann in eine Rekursion überführt werden Jede Rekursion kann in eine Iteration überführt werden 4 3 Folie 8 Seite 4

5 1.4 Unterschied Iteration/Rekursion Programmiertechnische Umsetzung Iteration Schleife (while, do...while, for) Ausführung der Anweisungen erfolgt zeitlich nacheinander Rekursion Aufruf der eigenen Methode Zwischenwerte werden auf dem Stack gehalten erfordert in der Regel mehr Speicherplatz und Rechenzeit Gefahr eines Stack-Überlaufs zur Laufzeit! Einer iterativen Lösung ist deshalb der Vorzug zu geben 4 3 Folie 9 2. Rekursive Methoden Methode ist rekursiv wenn sie sich selbst aufruft Über Parameter oder Abbruchkriterium muss man dafür sorgen, dass die Rekursion terminiert? int method(int x) // Abbruchkriterium if (x > 0) // Ausdruck mit method(x - 1) return...; else // Ausdruck ohne method(..), z.b Konstante return...; 4 4 Folie 10 Seite 5

6 2.1 Beispiel: Fakultät Methode mit Iteration:? int fak(int n) int i=1; for (int j = 1; j <= n; j++) i = i * j; return i; 4 5 Folie Beispiel: Fakultät Methode mit Rekursion:? int fak(int n) // Abbruchkriterium if (n > 1) // Ausdruck mit method(x - 1) return (n * fak(n - 1)); else // Ausdruck ohne method(..), z.b Konstante return 1; 4 5 Folie 12 Seite 6

7 2.1 Beispiel: Fakultät Methodenaufruf vonfak(4) Methode ruft sich selbst wiederholt verschachtelt auf 4 Inkarnationen sind die Folge? fak(4)? 4 * fak(3)? 4 * 3 * fak(2)? 4 * 3 * 2 * fak(1)? 4 * 3 * 2 * 1 * fak(0) Folie Beispiel: "Türme von Hanoi" Grundstellung für 4 Scheiben n=4 A B C Aufgabe Gesamten Turm auf einen anderen Pfosten verschieben Es darf stets nur eine Scheibe bewegen werden Niemals eine grössere Scheibe auf einer kleineren legen Scheiben dürfen nur auf die Pfosten gelegt werden 4 6 Folie 14 Seite 7

8 2.2 Beispiel: "Türme von Hanoi" Strategie Problem wird allgemein für einen Turm der Höhe n gelöst Scheiben werden von A via B nach C befördert Fälle n = 1: Scheibe von A nach C bewegen n > 1: 1. Turm der Höhe (n - 1) von A via C nach B bewegen A B C 4 6 Folie Beispiel: "Türme von Hanoi" 2. Scheibe von A nach C legen A B C 3. Turm der Höhe (n - 1) von B via A nach C bewegen A B C 4 6 Folie 16 Seite 8

9 2.2 Beispiel: "Türme von Hanoi" import java.applet.applet; import java.io.printstream; // for println public class TowersOfHanoi extends Applet public void init() move("a", "B", "C", 4); private void move(string from, String via, String to, int n) if (n > 1) move(from, to, via, n-1); // Turm (n-1) von A via C nach B move(from, via, to, 1); // Scheibe von A nach C legen move(via, from, to, n-1); // Turm (n - 1) von B via A nach C else System.out.println("move disk " + from + " to " + to); 4 7 Folie 17 Seite 9