Stoß zweier Kreisscheiben

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1 Universität Potsdam Institut für Physik und Astronomie Grundpraktikum 10/2015 M3 Stoß zweier Kreisscheiben Für den Stoß zweier Kreisscheiben auf einem Luftkissentisch wird geprüft, wie gut der Impulserhaltungssatz und der Massenmittelpunktsatz erfüllt sind. Aus dem Drehimpulserhaltungssatz wird das Trägheitsmoment einer Scheibe bestimmt. Außerdem ist der relative Energieverlust bei dem nicht vollkommen elastischen Stoß zu bestimmen. Aufgaben 1. Luftkissenapparatur, Kamera und Stroboskop sind zu justieren. 2. Der Stoß zweier Kreisscheiben wird aufgenommen. Die experimentellen Parameter (Masse und Durchmesser der Scheiben und die Stroboskopfrequenz) sind zu erfassen. 3. Anhand des aufgenommenen Bildes sind der Massenmittelpunktsatz und die Geschwindigkeitsbilanz zu überprüfen. Das Trägheitsmoment einer der beiden Scheiben und der relative Energieverlust sind zu berechnen. Zubehör Gebläse, Luftkissenapparatur, Stroboskop, Kamera, zwei (nahezu) gleiche Kreisscheiben, Waage, Meßschieber Grundlagen Der Bewegungszustand einer Kreisscheibe wird durch den Ortsvektor r des Mittelpunktes bezüglich eines Bezugspunktes 0, die Geschwindigkeit v des Mittelpunktes und die Winkelgeschwindigkeit um den Mittelpunkt beschrieben. Wir wollen positiv zählen, wenn sich die Scheibe entgegen dem Uhrzeigersinn dreht. 1

2 10/2015 Abb.1: Bewegte Kreisscheibe Der Impuls der Scheibe ist p = m v. Die Gesamtenergie E = m 2 v2 J 2 2 (1) setzt sich aus der Translations- und Rotationsenergie zusammen. Entsprechend setzt sich der Drehimpuls L bezüglich 0 aus einem Translations- und einem Rotationsteil zusammen: L = r p J (2) Alle drei Drehimpulsvektoren stehen senkrecht auf der Zeichenebene. In der Abb.1 zeigt J nach oben und r p nach unten. Mit dem nach oben weisenden Einsvektor k gilt L = L Z k =: L k, r p = rp sin k = ap k, = k (3) a = r sin ist der Abstand der Geraden g vom Bezugspunkt 0. Damit lautet die Vektorgleichung (2) in Koordinatenschreibweise L = ap J (4) Mit diesen Definitionen lassen sich die Erhaltungssätze für das Stoßproblem wie folgt formulieren: Der Impulssatz p 1 p 2 = p ' 1 p ' 2 bzw. v 1 m v 2 = v' 1 v' 2 (5a, b) besagt, dass der Gesamtimpuls des Zweischeibensystems vor dem Stoß gleich dem Gesamtimpuls nach dem Stoß ist (Abb.2). 2

3 10/2015 Abb.2: Impulserhaltung Wenn wir die Stoßwinkel 2, ' 1 und ' 2 einführen, ist die Vektorgleichung (5b) den beiden Koordinatengleichungen v 1 v 2 cos 2 = v ' 1 cos ' 1 v' 2 cos ' 2, v 2 sin 2 = v' 1 sin ' 1 v' 2 sin ' 2 (6) äquivalent. Der Massenmittelpunkt r M liegt aus Symmetriegründen in der Mitte zwischen beiden Scheibenmittelpunkten: r M = 1 2 r 1 r 2. Da sich die beiden Scheiben in dem zweidimensionalen Inertialsystem vor und nach dem Stoß geradlinig gleichförmig bewegen, gilt dies auch für den Massenmittelpunkt: r i = r i0 r i t, i = 1,2 r M = r M0 v M t mit v M = 1 2 v 1 v 2 = 1 2 v ' 1 v' 2 (7) Das heißt, der Massenmittelpunktsatz folgt aus dem Impulserhaltungssatz. Bei dem Stoß der beiden (nährungsweise als gleich angenommenen) Kreisscheiben müsste (aus Symmetriegründen) auch die Winkelgeschwindigkeitsdifferenz eine Erhaltungsgröße sein: 1 2 = ' 1 ' 2 (8) Der Drehimpulserhaltungssatz besagt L 1 L 2 = L' 1 L' 2 3

4 10/2015 Abb.3: Punktebahnen der mittleren Stahlkugeln Wenn wir als Bezugspunkt den Schnittpunkt 0 1 der beiden Geraden g 1 und g' 1 wählen (Abb.3), lautet die Drehimpulsbilanz mit (4) J 1 a 2 p 2 J 2 = J ' 1 a ' 2 p ' 2 J ' 2 a 2 und a' 2 sind die Abstände der Geraden g 2 und g' 2 vom (willkürlich) gewählten Bezugspunkt 0 1. Hieraus folgt das Trägheitsmoment: a J = 2 p 2 a' 2 p ' ' 1 ' 2 Für eine homogene Kreisscheibe hat es den Wert J h = m 2 R 2 (9) (10) Statt dessen wird sich für unsere fast homogenen Scheiben ein Quotient q := J J h 1 (10a) ergeben, der bestimmt werden soll. Die Energiebilanz lautet E 1 E 2 = E ' 1 E ' 2 U. Nur beim elastischen Stoß ohne Gleitreibung wäre der Verlust an mechanischer Energie ΔU = 0. Mit den Gesamtenergien vor und nach dem Stoß (11) und E := E 1 E 2 = m 2 v 2 1 v 2 2 J E ' := E ' 1 E ' 2 = m 2 v' 2 1 v ' 2 2 J 2 ' 2 1 ' 2 2 ergibt sich der zu bestimmende relative Energiverlust U E = E E' E (12) 4

5 Versuchsdurchführung 10/2015 Abb.4: Versuchsapparatur Der Versuchsaufbau ist in Abb.4 skizziert. In eine Pertinaxplatte 5 ( cm 2 ) sind in einem Abstand von 1 cm kleine Löcher gebohrt, durch die von unten Luft geblasen wird. Den Luftstrom 9 erzeugt man mit einem Gebläse. Der Luftstrom wird so eingestellt, dass die beiden Scheiben 1 und 2 reibungsfrei auf dem nahezu homogenen Luftpolster schweben. Die Luftkissenapparatur 3 wird mit Hilfe der Drehfüße 6 so justiert, dass eine schwebende Scheibe nahezu im Ruhezustand bleibt. Damit die Scheiben Anfangsgeschwindigkeit erhalten, werden sie mit Hilfe eines zwischen den Rahmen gespannten Gummibandes 4 so loskatapultiert, dass sie etwa in der Plattenmitte zusammenstoßen. Mit dem Stroboskop 7 wird die Apparatur beleuchtet. Da es auf einen möglichst großen Kontrast zwischen den Lichtreflexen der drei Stahlkugeln auf den Scheiben und der Platte ankommt, erweist es sich als günstig, das Licht streifend einfallen zulassen, damit die Platte möglichst wenig beleuchtet wird. Die Kamera 8 ist an einem Stativ festgeschraubt. Vor der Aufnahme ist die Scharfeinstellung und die Ausnutzung des Aufnahmeformates zu kontrollieren. Die Kamera wird durch die Lichtblitze des Stroboskopes entsprechend der eingestellten Frequenz in bestimmten Zeitabständen belichtet. Auf dem Bild sind die Lichtreflexe der drei Stahlkugeln als helle Flecken zu sehen. Je höher die Frequenz gewählt wird, desto mehr Flecke werden sichtbar. Für die Auswertung hat es sich als günstig erwiesen, eine Frequenz zwischen 18 und 20 Hz einzustellen. So erhält man bei 1s Belichtungszeit Bildpunkte je Stahlkugel. 5

6 Versuchsauswertung 10/2015 Zu 3. Überprüfung, dass keine Reibungs- und Hangabtriebskräfte wirken (Geradlinigkeit der vier Bahnen der Scheibenmittelpunkte, Äquidistanz der Abstände der Punkte auf diesen Bahnen). Überprüfung der Gültigkeit des Massenmittelpunktsatzes (Geradlinigkeit der Bahn des gemeinsamen Massenmittelpunktes, Äquidistanz der Abstände der Punkte auf dieser Bahn). Überprüfung der Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes (zeichnerisch nach Abb.2 und rechnerisch nach den Gleichungen 6). Überprüfung der Gültigkeit des Drehimpulserhaltungssatzes (rechnerisch durch Vergleich des aus experimentellen Daten ermittelten Trägheitsmoments J (Gl.9) mit dem berechneten Trägheitsmoment des homogenen Kreiszylinders (Gl. 10)). Eine Meßunsicherheit ist nur für das nach Gl.10 berechnete Trägheitsmoment anzugeben. Berechnung des relativen Energieverlustes nach Gl.12. Hinweise zur Vorbereitung Woran würde man an den Punktebahnen in Abb.3 erkennen, wenn Reibungskräfte auf die Scheiben wirken? Woran würde man an den Punktebahnen in Abb.3 erkennen, wenn Hangabtriebskräfte auf die Scheiben wirken? Wo befindet sich der gemeinsame Massenmittelpunkt der beiden Scheiben zu den Zeitpunkten 0, 1, 2, 3... in Abb.3? Formulieren Sie hieraus den Massenmittelpunktsatz. Erläutern Sie die Geschwindigkeitsbilanz v 1 v 2 = v ' 1 v' 2 in Abb.2. Erläutern Sie die Energiebilanz für einen vollkommen elastischen und für einen nicht vollkommen elastischen Stoß. Literatur /1/ Grehn, J. (Hrsg.): Metzler Physik, Hannover