Graphen vielseitig verwendbar zur Repräsentation von Zusammenhängen, etwa:

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1 7. Grphentheorie Grphen vielseitig verwenr zur Repräsenttion von Zusmmenhängen, etw: Stäte Personen Aktionen... Verinungswege Reltionen zwishen ihnen zeitlihe Ahängigkeiten Def. 7.1: Ein gerihteter Grph G = (V, E) esteht us 1. einer Menge von Knoten (verties) V, 2. einer Menge von Knten (eges) E V x V. Gerihtete Grphen weren illih repräsentiert, inem mn Knoten ls Punkte un Knten ls Pfeile vom zugehörigen Anfngs- zum Enpunkt zeihnet. Beispiel: V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4), (4,5), (5,5), (5,1)} G heißt shlingenfrei, flls (p,q) E impliziert p q. Anmerkung: in er Litertur finet sih mnhml uh ie folgene Definition: Def. 7.1): Ein gerihteter Grph G = (V, A, f) esteht us 1. einer Menge von Knoten (verties) V, 2. einer Menge von Knten A, so ss V A leer, 3. einer Ailung f: A -> V x V, ie jeer Knte ein Pr estehen us Anfngs- un Enknoten zuornet. Def. 7.1) lässt mehrere Knten zwishen enselen Knoten zu! D ie oft irrelevnt sin, wir meist (uh in ieser Vorlesung) ie einfhere Definition verwenet! 25

2 Def. 7.2: Sei G ein gerihteter Grph. Eine enlihe Folge ( 1,..., m ) heißt Weg (oer Pf) in G, wenn für lle i, 1 i < m, gilt: ( i, i+1 ) E. Ein Weg ( 1,..., m ) heißt zyklenfrei, wenn i j impliziert i j. Ein Grph heißt zyklenfrei, wenn lle Wege in ihm zyklenfrei sin. Repräsenttion enliher Grphen: ) Ajzenzmtrix: Speihere Grphen G urh V x V -Mtrix A G, woei ij = 1 flls (v i,v j ) E, 0 sonst. Mtrix für oiges Beispiel: ) Ajzenzlisten: Listen L i, i {1,..., V }, L i enthält lle Nhfolger von v i. für oiges Beispiel: Oft sprsmer ls Mtrix. L 1 : (2,3) L 2 : (3) L 3 : (4) L 4 : (5) L 5 : (5,1) Def.7.3: Ein ungerihteter Grph G = (V, E) esteht us 1. einer Menge von Knoten V, 2. einer Menge von Knten E {{p,q} p, q V}. Def. 7.4: Sei G ein ungerihteter Grph. ) Eine enlihe Folge ( 1,..., m ) heißt Weg (oer Pf) in G, wenn für lle i, 1 i < m, gilt: { i, i+1 } E. ) Ein ungerihteter Grph heißt zusmmenhängen, wenn gilt: p, q in V, p q impliziert es git einen Weg von p nh q. 26

3 ) Ein gerihteter Grph G = (V, E) heißt zusmmenhängen, wenn er zugehörige ungerihtete Grph G = (V,E ), mit V = V un E = {{p,q} (p,q) E} zusmmenhängen ist. Def.7.5: Sei G = (V, E) ein ungerihteter Grph. Der ungerihtete Grph G' = (V',E') heißt Teilgrph von G gw. V' V un E' E, Untergrph von G gw. V' V un E' = {{p,q} E p, q V'}. Def. für gerihtete Grphen nlog. Beispiel: e G Teilgrph von G Untergrph von G Def.: Ein kntenewerteter Grph ist ein ungerihteter Grph G = (V, E) mit einer Wertungsfunktion w: E -> R +, ie jeer Knte eine positive reelle Zhl ls Kosten zuornet. e G Häufig gesuht: kürzester Weg,.h. Weg von x nh y mit geringsten Gesmtkosten Dijkstr-Algorithmus: (Esger Wye Dijkstr, , einer er eeutensten Informtiker) Sei G kntenewerteter Grph mit n Knoten, u einer er Knoten. gesuht: Teilgrph mit kürzesten Wegen von Knoten u zu von u us erreihren Knoten W: Liste er noh zu ehnelnen Knoten F: Liste von Knten, ie uf kürzestem Weg von u zu neren Knoten liegen l(v): kürzeste isher gefunene Weglänge von u nh v 27

4 k(v): optimle zu v führene Knte for v V o if {u,v} E then l(v) := w({u,v}); k(v) := {u,v} else l(v) := ; W := V; F := ; l(u) := 0; for i := 1 to n o fine einen Knoten v W, so ss l(v) miniml; W := W \{v}; if v u un l(v) then F := F {k(v)}; for lle Nhrknoten v' von v mit v' in W o if l(v) + w({v,v'}) < l(v') then l(v') := l(v) + w({v,v'}); k(v') := {v,v'}; Folge er für Beispielgrphen un u= erzeugten Vrilenelegungen: l():, 0 l(): 2 l(): 5, 4 l():, 6, 5 l(e):, 8, 7 k(): k(): {,} k(): {,}, {,} k(): {,}, {,} k(e): {,e}, {,e} v:,,,, e W: {,,,,e}, {,,,e},{,,e},{,e},{e}, F:, {{,}}, {{,},{,}}, {{,},{,}, {,}}, {{,},{,}, {,}, {,e}} Teilgrph (V,F) mit kürzesten Wegen von us: e Korrektheitseweis: nh i Shleifenurhgängen sin ie Längen von i Knoten, ie m nähsten n u liegen, korrekt erehnet un iese Knoten sin us W entfernt. Inuktionsnfng: eim 1. Shleifenurhluf wir u gewählt, l(u) = 0. Inuktionsshritt: Nimm n, v wir im i+1 ten Durhluf us W genommen. Der kürzeste Pf zu v gehe üer Vorgänger v' von v. D v' näher n u liegt, ist v' nh Inuktionsvorussetzung nh i Durhläufen mit rihtiger Länge ereits entfernt. D er kürzeste Weg zu v ie Länge l(v') + w(v'.v) ht un ieser Wert ei Entfernen von v' ereits v zugewiesen wure, wir v mit er rihtigen Länge entfernt un ie korrekte Knte in F eingefügt. 28

5 Def.: Sei G = (V, E) ein gerihteter Grph, v V. Wir efinieren ineg(v) = {(x,y) E y = v} Eingngsgr outeg(v) = {(x,y) E x = v} Ausgngsgr v heißt Nhfolger von v in G gw. (v,v ) E. Def.: Sei G = (V, E) ein gerihteter Grph: G heißt Bum flls gilt: 1. er G entsprehene ungerihtete Grph G ist zyklenfrei, 2. es git s V, so ss ineg(s) = 0, un für lle v s: ineg(v) = 1 Der Knoten s mit ineg(s) = 0 heißt Wurzel es Bums Knoten v mit outeg(v) = 0 heißen Blätter. Knoten, ie niht Blätter sin, heißen innere Knoten. Anmerkung: in einem Bum git es genu 1 gerihteten Weg von er Wurzel zu jeem neren Knoten. Die Tiefe eines Knotens v in einem Bum G ist ie Länge (= Anzhl er Knten) es gerihteten Weges von er Wurzel zu v. Die Tiefe eines Bumes G ist ie Länge es längsten gerihteten Weges in G. Die Ornung eines Bumes ist ie mximle Anzhl er Nhfolger eines Knotens. Def.: Ein Bum G = (V, E) er Ornung 2 heißt Binärum. Def.: Sei G ein Bum er Ornung k mit Tiefe m. G heißt vollstänig, wenn es keinen Bum er Ornung k mit Tiefe m git, er mehr Knoten ls G esitzt. Def.: Ein Bum heißt geornet, wenn ie Nhfolger eines jeen Knotens geornet sin (1., Nhfolger usw., im Fll von Binäräumen linker, rehter Nhfolger). Def.: Sei G = (V, E) ein Bum, M eine Menge von Mrkierungen. G heißt kntenmrkiert, wenn es eine Ailung m: E -> M git, ie jeer Knte eine Mrkierung us M zuornet. (z.b. Kosten). Bäume tuhen immer wieer uf in er Informtik: Beispiele ) Aleitungsäume in er Logik ) Syntxäume ) Entsheiungsäume ) Suhäume eim Prolemlösen zu ) Innere Knoten entsprehen Attriuten, Knten von A nh B sin mit Werten es Attriuts A mrkiert. Blätter entsprehen Aktionen, z.b.: 29

6 Kinoprogrmm Hrry Potter Jmes Bon Herr er Ringe Niht Lernen Wetter Niht Lernen Gut Mittel Shleht Niht Lernen Niht Lernen Lernen zu ) Sei S eine Menge von Zustänen, woei ein Zustn z.b. eshrieen sein knn urh Menge von ussgenlogishen Formeln Ein Prolem ist hrkterisiert urh Anfngszustn s0 Menge von Zielzustänen G Opertoren, ie ei Vorliegen estimmter Anwenrkeitseingungen Zustäne in Nhfolgezustäne üerführen. Gesuht: Folge von Opertoren, ie s0 in einen er Zielzustäne üerführt. Erzeuge shrittweise Suhum: mrkierter Bum mit Wurzel s0, Knte von si zu sj mit Mrkierung op flls op nwenr in si un op erzeugt sj us si. Beispiel STRIPS-Plnen Zustäne: Mengen von tomren Formeln Opertor op: ) Voreingungen pre: Atome, ie in s sein müssen, mit op ngewenet weren knn ) Delete Liste el: Atome, ie im Nhfolgezustn niht mehr enthlten sin ) A Liste : Atome, ie in en Nhfolgezustn ufgenommen weren flls pre s, nn erzeugt op us s en Zustn op(s) = (s\el) s0: hungrig, gel G = {s stt s} Opertionen: Brot-kufen: pre: gel el: gel : rot Brot-essen: pre: rot el: rot, hungrig : stt 30

7 Suhum: {hungrig, gel} Brot-kufen {hungrig, rot} Brot-essen {stt} Anmerkung: Plnen ist niht immer so einfh!! 31