Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker

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1 Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die Grundbegriffe der Vektorraumtheorie an. 1. Es sei V eine Menge und K ein Körper. Für die Elemente von V sei eine Addition a, b V a + b V sowie eine skalare Multiplikation a V, α K α a V gegeben. Welche Eigenschaften müssen diese Operationen erfüllen, damit V ein Vektorraum über K ist? 2. Welche Standardvektorräume kennen Sie? 3. Schauen Sie sich folgende Begriffe für einen Vektorraum V über einem Körper K an: Linearkombination, lineare Hülle Erzeugendensystem, Basis, Dimension, lineare und affine Unterräume. Aufgabe 2 Im linearen Raum V = R 4 über R seien die folgenden zwei linearen Unterräume gegeben: { ( ) } U 1 = x R 4 x = o U 2 = [ a, b] mit a = (1, 1, 0, 1) T, b = (0, 3, 1, 5) T (a) Geben Sie eine Basis B 1 von U 1 und eine Basis B 2 von U 2 an.

2 (b) Geben Sie dim(u 1 ) und dim(u 2 ) an. (c) Bestimmen Sie U = U 1 U 2. Ist U ein linearer Unterraum von V? Falls ja, bestimme man eine Basis von U und gebe dim(u) an. (d) Begründen Sie, warum der Durchschnitt von linearen Unterräumen stets ein linearer Unterraum ist. Gilt dies auch für die Vereinigung? (e) Ist U 1 = U 2? Aufgabe 3 Im R 3 seien die Punktmengen Γ 1 = { r R 3 A r = b} = r 1 + [ a] Γ 2 gegeben mit A = ( ) b = ( 3 4 ) r 1 = a = (a) Bestimmen Sie rg(a) und rg(a, b). (b) Ist Γ 1? Falls ja, gebe man dim(γ 1 ) an. (c) Gilt Γ 1 = Γ 2? Aufgabe 4 Im Raum R 4 sei die (Ursprungs-)Ebene Γ = r 0 + [ a 1, a 2 ] gegeben mit r 0 = sowie der Punkt a 1 = r 1 = (0, 1, 2, 5) T a 2 =

3 (a) Für das orthogonale Komplement U des linearen Unterraumes U = [ a 1, a 2 ] gebe man eine Basis und die Dimension an. (b) Man berechne den Fußpunkt r F des Lotes von r 1 auf Γ sowie den Lotvektor d von r 1 auf Γ. (c) Man gebe den Abstand d( r 1, Γ) von r 1 und Γ an. Aufgabe 5 Gegeben seien die vier Punktpaare (x 1, y 1 ) = ( 1, 0) (x 3, y 3 ) = (2, 2) (x 2, y 2 ) = (0, 1) (x 4, y 4 ) = (3, 5) Gesucht ist eine Ausgleichsgerade, d.h. eine Gerade p(x) = a x + b, für welches die quadratische Abweichung D = (y 1 p(x 1 )) (y 5 p(x 5 )) 2 den kleinsten Wert annimmt. Man gebe diesen Wert W an und berechne p(8). Aufgabe 6 Gegeben sei die Matrix A = A(λ) R (3,3) mit A = λ λ λ und λ R. a) Geben Sie det(a) an. b) Für welche λ R ist A invertierbar? Man gebe dann det(a 1 ) an. c) Für welche λ R besitzt das homogene LGS A x = o eine nicht-triviale Lösung x o? 3

4 d) Für welche λ R besitzt das inhomogene LGS A x = b mit b = (0, 6, 1) T Aufgabe 7 1) genau eine Lösung 2) keine Lösung 3) unendlich viele Lösungen? Im R 3 seien die Vektoren a = (0, 1, 11) T, b = (1, 1, 5) T und c = (3, 2, 1) T gegeben. a) Berechnen Sie a b, a ( a b), a b und e 1 e 2. b) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Menge Γ = { r R 3 c r = b} an. Ist Γ ein affiner Unterraum? Welche Dimension hat Γ? c) Für die Ebene Γ = r 0 + [ a, b] mit r 0 = ( 1, 0, 1) T bestimme man einen Normalenvektor n sowie die Hessesche Form. d) Die Ebene Γ teilt den Raum R 3 in zwei Hälften (Halbräumen). Man untersuche, ob die Punkte r 1 = (0, 1, 1) T und r 2 = (1, 1, 0) T im selben Halbraum bzgl. Γ liegen. Aufgabe 8 Im R 3 sei die Ursprungsebene Γ = [ a, b] gegeben mit a = (1, 1, 1) T und b = e 3. Weiterhin sei L : R 3 R 3 die Spiegelung an Γ. a) Geben Sie L( o), L( a), L( b) und L( a b) an. b) Bestimmen Sie die Matrizendarstellung von L, d.h., eine Matrix M mit L( x) = M x für alle x R 3. c) Für den Punkt x = e 1 bestimme man L( x) sowie den Abstand d( x, Γ). 4

5 Aufgabe 9 Es sei Γ = [ a 1 ] eine Urpsrungsgerade des R 3 mit a 1 = (1, 1, 1) T und es sei g : R 3 R 3 die Drehung um Γ mit dem (mathematisch positivem) Drehwinkel ϕ = 2 3 π. a) Für die lineare Abbildung g bestimme man die Matrix D mit g( x) = D x für alle x R 3. b) Für die inverse Abbildung g 1 gebe man die Matrix C an deart, dass gilt g( x) = C x für alle x R 3. Aufgabe 10 Gegeben sei die orthogonale Matrix M = R (3,3) sowie die zugehörige Abbildung L : R 3 R 3 mit L( x) = M x. a) Begründen Sie, warum L eine Spiegelung im R 3 ist. b) Bestimmen Sie die Spiegelebene Γ der Abbildung L. Aufgabe 11 ( ) 1 3 a) Für die symmetrische Matrix A = R 3 7 (2,2) bestimme man die Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenräume. Außerdem gebe man eine orthogonale Matrix T R (2,2) derart an, daß D = T T AT = T 1 AT eine Diagonalmatrix ist. b) Für die quadratische Gleichung q( x) = x 2 + 6xy + 7y 2 mit x = (x, y) R 2 gebe man die Hauptachsentransformation (Transformationsgleichung, transformierte Gleichung, Skizze der Lösung in der x-y-ebene) an. 5

6 Aufgabe 12 Es sei F : R 2 R 2 eine Siegelung in der x-y-ebene an der Geraden Γ = r 0 + [ a] mit r 0 = (1, 2) T und a = (3, 4) T. Geben Sie für F eine Darstellung der Form F( x) = M x + b mit M R (2,2), b R 2 und x = (x, y) T an. 2 Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen Aufgabe 1 Gegeben sei die Funktion f aus R 2 in R mit f(x, y) = x (ln y x) + 2. (a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D von f und den Rand D an. Ist D eine offene oder abgeschlossene Menge? (b) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f. (c) Geben Sie den Gradienten gradf(x, y) von f an. (d) Für welche Richtung v hat der Anstieg f (a) der Funktion f im v Punkt a = (1, 1) den größten bzw. den kleinsten Wert? Geben Sie jeweils den zugehörigen Wert f (a) an. v (e) Für die Höhenlinie der Funktion f, die durch den Punkt a = (1, 1) verläuft, gebe man eine Gleichung für die Tangente im Punkt a an. Wie groß ist der Anstieg f (a), falls v ein Richtungsvektor der Tangente v ist? (f) Man gebe das Differential df(x, dx) an mit x = (x, y) und dx = (dx, dy). (g) Geben Sie das erste Taylorpolynom T 1 (x, y) der Funktion f im Punkt a = (1, 1) an. 6

7 (h) Geben Sie die Hessematrix H f (x, y) sowie das zweite Taylorpolynom T 2 (x, y) der Funktion f im Punkt a = (1, 1) an. (i) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene von f im Punkt a = (1, 1). Liegt der Punkt (x, y, z) = (2, 2, 2) auf, oberhalb, oder unterhalb der Tangentialebene? (j) Man bestimme die lokalen Extremwerte von f auf D. Aufgabe 2 Welcher relative Fehler ist bei der Berechnung von R gemäß R = l c mit c = const zu erwarten, wenn l = 100mm, r = 10 3 m r 2 gemessen wurde und l 5cm, r 10 1 mm gilt? Aufgabe 3 Man bestimme alle lokalen Extremalstellen der Funktionen f : R 2 R mit (a) f(x, y) = 1 2 (x2 + 1) 2y(2x + 7) + 3x + 9y 2 ; (b) f(x, y) = 2xy(x + y 6); Aufgabe 4 Nach der Multiplikatorregel von Lagrange bestimme man alle Punkte, die als lokale Extremwertstellen für die gegebene Funktion f unter der jeweiligen Nebenbedingung in Frage kommen. (a) f(x, y) = x 2 + y 2 mit 5x 2 + 5y 2 8xy = 18 (b) f(x, y, z) = xyz mit x + y + z = 9. 7

8 Aufgabe 5 Es sei P = (0, a) ein Punkt in der Ebene. Bestimmen Sie die Punkte Q = (x, y) der Parabel y = 4x 2, die zu P den kleinsten Abstand haben. Aufgabe 6 Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit und die Menge f(x, y) = x 2 y + 2y 2 + 2x D = {(x, y) 1 x 1, 1, y 1}. Bestimmen Sie die globalen Extremwertstellen und die globalen Extremwerte von f auf D. 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgabe 1 Was läßt sich über die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer expliziten DGL der Form y = f(t, y) für eine gesuchte Funktion y = y(t) mit (t, y) D R 2 aussagen. Aufgabe 2 Ist das Anfangswertproblem y = t cosy, y(0) = 1 auf dem Rechteckgebiet D = {(t, y) π t π, 2 y 2} eindeutig lösbar? 8

9 Aufgabe 3 Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen erster Ordnung und erläutern Sie die Lösungsverfahren zur Bestimmung der allgemeinen Lösung. y = y cost, y = y(t) xx + 1 t 2 = 0, x = x(t) y = t+2y 2t y (y 2t), y = y(t) t 3 yy = t 2 y 2 + y 4, y = y(t) (3x 2 y 1) + (x 3 + 2y sin(2y))y = 0, y = y(x) y + 2ty = t, y = y(t) y 1 t y = 2t2, y = y(t), t > 0 Aufgabe 4 Es sei L : X Y eine Abbildung und b Y. 1. Wann heißt die Gleichung L(x) = b lineare Gleichung, d.h., was muss für X, Y und L gelten? 2. Wenn diese Gleichung linear ist, welche Eigenschaft hat dann die Lösungsmenge U = {x X L(x) = 0 Y } der homogenen linearen Gleichung? 3. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Lösungsmenge Γ = {x X L(x) = b} der inhomogenen linearen Gleichung und U? Aufgabe 5 Lineare Differentialgleichungen 9

10 1. Gegeben sei eine lineare DGL der Form L(y) = b für y = y(t) mit L(y) = y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y. Welche Eigenschaften hat die Abbildung L = L(y)? 2. Was läßt sich über die Lösungsstruktur der homogenen linearen DGL L(y) = b(x) aussagen? 3. Was läßt sich über die Lösungsstruktur der inhomogenen linearen DGL L(y) = 0 aussagen? 4. An Hand der folgenden homogenen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten für eine gesuchte Funktion y = y(t) erläutere man die Vorgehensweise zur Bestimmung einer Basis für den Lösungsraum dieser DGL und gebe die allgemeine Lösung y h an. y + 4y 5y = 0 y + 4y + 4y = 0 y + 9y = 0 5. An Hand der folgenden inhomogenen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten für eine gesuchte Funktion y = y(t) erläutere man die Methode der speziellen Ansätze zur Bestimmung einer speziellen Lösung y s der DGL. Was versteht man unter dem Resonanzfall? Geben Sie die allgemeine Lösung y in der inhomogenen linearen DGL an. y + 4y 5y = 5t + sin 2t y + 4y + 4y = 3e 2t 6. Man erläutere die Methode der Variation der Konstanten am Beispiel der folgenden linearen DGL. y + 3y + 2y = (1 + e t ) 1 10