Einleitung Definition Credibility Theorie Bühlmann-Straub Modell. Credibility Theory. Martin Klaudinger

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1 Credibility Theory Martin Klaudinger

2 Inhalt Einleitung Individuelle Prämie Kollektive Prämie Bayes Prämie Definition Credibility Theorie Bühlmann-Straub Modell Modell Annahmen Credibility Prämie Homogene Credibility Prämie Empirische Credibility Prämie

3 Standardannahmen X j... Gesammtschaden im Jahr j Stationärität: X j, j = 1, 2,..., n sind identisch verteilt mit Verteilungsfkt F (x) Bedingte Unabhängigkeit: X j, j = 1, 2,..., n sind bedingt unabhängig bezüglich F (x)

4 Individuelle Prämie P ind = µ(θ) = E[X n+1 θ] θ Θ... Risikoprofil geschätzt wird Gesamtschaden in nächter Periode eines Vertrags wenige Information vorhanden

5 Kollektive Prämie P coll = µ 0 = Θ µ(θ)du(θ) = E[X n+1] U(θ)... strukturelle Funktion des Kollektivs viele Informationen vorhanden Problem der Antiselektion

6 2 Urnen Modell 1. Bedingt durch Θ = θ sind X 1, X 2... unabhängig ident verteilt mit Vertfkt F θ 2. Θ besitzt Vertfkt U

7 Bayes Prämie P Bayes = µ(θ) = E[µ(Θ) X] beste mögliche Erfahrungsprämie aufgrund Komplexität für Praxis ungeeingnet

8 Credibility Theorie mathematisches Werkzeug, heterogene Kollektive zu beschreiben klärt Frage der Verbindung individueller und kollektiver Informationen motiviert aus Versicherungsgeschäft mathematisch Teil der Bayes Statistik

9 Modell Annahmen S ij... Gesammtschadenshöhe, V ij... Laufzeit bisher, S ij V ij = X ij... Schadensrate, w ij... bekanntes Gewicht Das Risiko i ist charakterisiert durch ein individuelles Risikoprofil θ i, welches selbst die Realisation einer Zufallszahl Θ i ist. BS1 Die X ij : j = 1, 2,.., n sind bedingt in Θ i unabhängig mit E[X ij Θ i ] = µ(θ i ) V ar[x ij Θ i ] = σ2 (Θ i ) w ij BS2 Die Paare (Θ 1, X 1 ), (Θ 2, X 2 ),... sind unabhängig und Θ 1, Θ 2,... sind unabhängig und identisch verteilt.

10 Bühlmann-Straub Modell BS2 2 Urnen Modell, 1. Risikoprofil Θ i, 2. Zufallsvariable X ij, a priori alle Θ i gleich praktische Probleme, z.b. Feuerversicherung BS1 µ(θ i ) ist konstant Praxis: Inflationsanpassungen, etc.

11 Kollektiv im Bühlmann-Straub Modell Kollektive Prämie µ 0 := E[µ(Θ i )] Durchschnittliche Varianz innerhalb der individuellen Risiken σ 2 := E[σ 2 (Θ i )] Varianz zwischen individuellen Risiken τ 2 := V ar[µ(θ i )] Maß für Heterogenität des Portfolios

12 Credibility Prämie mit µ(θ i ) = α i X i + (1 α i )µ 0 = µ 0 + α i (X i µ 0 ) α i... Credibility Gewicht κ... Credibility Koeffizient w ij w i X ij X i = j w i = j w ij α i = w i w i + σ2 τ 2 = w i w i +κ

13 Credibility Gewicht je größer w i, desto größer α i folglich der Anteil des individuellen Risikoprofils je größer κ, desto kleiner α i und somit größerer Anteil des Kollektivs

14 Homogene Credibility Prämie mit hom µ(θ i ) = α i X i + (1 α i ) µ 0 = µ 0 + α i (X i µ 0 ) µ 0 = I α i = i=1 α i α X i w i w i + σ2 τ 2 α = I i=1 α i

15 Homogene Credibility Prämie Für Schätzung von µ 0 werden Informationen des gesammten Kollektivs benutzt In der Praxis homogene Credibility Prämie mindestens so wichtig wie inhomogene Credibility Prämie, da Schätzung von µ 0 in Formel

16 Kalkulationsprozedur Veranschaulicht durch Baumstruktur des Bühlmann-Straub Modells: 1. X i, µ 0 bottom up berechnen 2. µ(θ i ) hom durch einsetzen von µ 0 top down berechnen

17 Balance Eigenschaft Gegeben BS1 folgt für die homogene Credibility Prämie im Bühlmann Straub Modell: hom i,j w ij µ(θ i ) = i,j w ijx ij

18 geschätzter Credibility Koeffizient E[ τ 2 ] = τ 2, τ 2 κ = σ2 τ 2 E[ σ 2 ] = σ 2, σ 2 P I σ2 P I τ 2, τ 2 = max( τ 2, 0)

19 Empirische Credibility Prämie mit emp µ(θ i ) = α i X i + (1 α i ) µ 0 α i = µ 0 = w i w i + κ κ = σ2 τ 2 i α ix i i α i

20 Empirische Credibility Prämie wenn i w i w 2 für I dann emp P µ(θ i ) µ(θ i ) I E[ µ(θi ) emp E[ I i w i w µ(θi ) ] µ 0 I emp ] = µ 0