Physik Klasse 12 ÜA 07 stehende Wellen Ks 2012

Transkript

1 Afg.1: Zwei Lautsprecher liegen mit Einem Mikrofon fast auf einer Geraden. Δ x einige Meter Die Lautsprecher schwingen phasengleich mit 1,36 khz. Für Δx = 0 cm registriert das Mikrofon eine Wechselspannung mit Scheitelwert 10 mv. a) Erläutere was geschieht, wenn man den rechten Lautsprecher auf das Mikro zu bewegt und berechne, bei welchen Abständen Δx das Mikrofon maximale Lautstärke registriert. b) Was ist zu beobachten, man das Mikrofon entlang der Geraden nach links verschiebt? (Δx =0 cm) c) Welchen Scheitelwert registriert das Mikrofon aus a), wenn Δx = 10 cm beträgt? Afg.2: Die gleichphasig mit 1,36 khz schwingenden Lautsprecher stehen sich x nun im Abstand l = 120 cm gegenüber. a) Wie viele Maxima registriert das Mikrofon, wenn man es vom linken zum rechten Lautsprecher verschiebt? Erläutere deine Vorgehensweise. b) Erkläre, warum in den meisten Minima immer noch eine gewisse Lautstärke registriert wird. Afg.3: In einer Wellenmaschine ist das linke Ende fest eingespannt, das rechte Ende kann frei schwingen. a) Leite möglichst selbständig eine Formel zur Berechnung der Eigenfrequenzen diese beidseitig begrenzten Wellenträgers her. Übe dabei, deine Gedankengänge eindeutig zu formulieren. b) Der Wellenträger ist 75 cm lang und die gezeigte Eigenschwingung sieht man, wenn er mit 40 Hz erregt wird. Berechne die Frequenz f 1 der ersten Eigenschwingung sowie die Phasengeschwindigkeit auf dem Wellenträger. Afg.4: Das Bild zeigt das Frequenzspektrum einer Orgelpfeife, wobei das erste Maximum bei 290 Hz liegt. a) Ist das obere Ende der Pfeife offen oder verschlossen? Bitte genau begründen! b) Berechne die Länge der Pfeife und diskutiere die Genauigkeit deines Ergebnisses. Afg 5: Die Abbildung zeigt das Momentbild eines Wellenträgers mit c = 6,0 m/s zum Zeitpunkt t 0 = 0 s a) Kann es sich um eine stehende Welle handeln? (Begr.) b) Mit welcher Frequenz schwingt der Erreger? 20 mm c) Es handelt sich um eine nach rechts laufende unbegrenzte Welle. Gib die Wellengleichung an und berechne die Auslenkung des Punktes x = 12 cm zu den Zeitpunkten t 0 = 0 s, und t 1 = 20 ms. Prüfe die Plausibilität deiner Ergebnisse. y 60 cm x Afg 6: Eine Gitarrenseite ist 80 cm lang und schwingt in der Grundfrequenz mit 960 Hz. a) Leite die Formel zur Berechnung der Phasengeschwindigkeit her, berechne diese und gib die Frequenzen aller Oberschwingungen an. b) Welche Manipulationen könnte man vornehmen, damit die Saite mit einer höheren Frequenz schwingt? (genaue Begründen!) Afg. 7 Überlege dir selbst zwei interessante Aufgaben zum Dopplereffekt und löse sie so mustergültig, dass du sie vor der Kamera deinen Mitschülern präsentieren kannst.

2 Afg.1: Zwei Lautsprecher liegen mit Einem Mikrofon fast auf einer Geraden. Δ x einige Meter Die Lautsprecher schwingen phasengleich mit 1,36 khz. Für Δx = 0 cm registriert das Mikrofon eine Wechselspannung mit Scheitelwert 10 mv. a) Erläutere was geschieht, wenn man den rechten Lautsprecher auf das Mikro zu bewegt und berechne, bei welchen Abständen Δx das Mikrofon maximale Lautstärke registriert. Erläuterung: - Die von den Lautsprechern ausgehenden Wellen sind für Δx = 0 phasengleich, woraus folgt, dass sie sich gegenseitig maximal verstärken. - Sobald Δx etwas wächst, sind sie nicht mehr genau phasengleich und die gegenseitige Verstärkung wird geringer. - Bei Δx = λ/2 löschen sie sich gegenseitig aus. - Bei Δx = k λ (k = 0,1,2 ) verstärken sie sich wieder maximal. => Das Mikrofon registriert während der Bewegung abwechselnd große und kleine Lautstärke. Berechnung: Geg.: f = 1,36 khz, c = 340 m/s Ges.: Abstände Δx k für maximale Lautstärke Lsg.: Die Lautstärke ist Maximal, wenn der Abstand gleich 0 mm oder λ oder ein ganzzahliges Vielfaches von λ ist. Δx k = k λ mit k = 0,1,2 Mit c = λ f folgt: λ = c / f = 0,25 m Δx k = k 0,25m mit k = 0,1,2 b) Was ist zu beobachten, wenn man das Mikrofon entlang der Geraden nach links verschiebt? (Δ x =0 cm) Da man dabei den Abstand zu den Lautsprechern verringert, wird die Lautstärke kontinuierlich größer. Man bemerkt dabei keine Maxima oder Minima. c) Welchen Scheitelwert registriert das Mikrofon aus a), wenn Δx = 10 cm beträgt? Grundgedanken: - Bei Δx = 10 cm liegt weder ein Maximum, noch ein Minimum vor. - Um ein Ergebnis zu erhalten, muss man die zu den Wellen gehörenden Zeiger addieren. - Da das Mikrofon weit weg ist, kommen bei ihm beide Wellen mit nahezu gleicher Amplitude an. Wenn die Scheitelspannung U m = 10 mv beträgt, ist U m,1 = 5 mv. Berechnung der Phasenverschiebung zwischen den beiden Wellen: Es gilt: Δφ / Δx = 2 π / λ => Δφ = Δx 2 π / λ = 2,5132 Vektorielle Addition der beiden Spannungszeiger mit Δφ = 2,51..: U m,1 U m cos(δφ/2) = ½ U m / U m1 U m = 2 cos(δφ/2) s m1 U m = 0,62 s m1 = 3,09.. mv ½ Δφ U m2 U m = 3,1 mv

3 Afg.2: Die gleichphasig mit 1,36 khz schwingenden Lautsprecher stehen sich nun im Abstand l = 120 cm gegenüber. a) Wie viele Maxima registriert das Mikrofon, wenn man es vom linken zum rechten Lautsprecher verschiebt? Erläutere deine Vorgehensweise. Geg.: l = 120 cm, f = 1,36 khz, c = 340 m/s Ges.: Zahl N der Maxima Lsg.: - Die Maxima ( = Wellenbäuche) haben den Abstand Δl = λ/2 - Mit c = λ f folgt: λ = c / f = 0,25 m - In der Mitte (bei l = 60 cm) ist ein Maximum. => Auf die Strecke von 60 cm passen weiterhin noch 60cm / 12,5cm = 4,8 Maxima. Es treten auf der halben Strecke also noch je 4 weitere Maxima auf. Insgesamt also das mittlere Maximum und noch 2 x 4 Maxima, was 9 Maxima ergibt. N = 9 x Mitte 12,5 cm b) Erkläre, warum in den meisten Minima immer noch eine gewisse Lautstärke registriert wird. Wenn das Mikrofon z.b. links von der Mitte ist, ist es dem linken Lautsprecher näher als dem rechten. Da nun die von links kommende Welle eine größere Amplitude hat, als die von rechts kommende Welle, können sich beide auch im Minimum nicht völlig auslöschen.

4 Afg.3: In einer Wellenmaschine ist das linke Ende fest eingespannt, das rechte Ende kann frei schwingen. a) Leite möglichst selbständig eine Formel zur Berechnung der Eigenfrequenzen dieses beidseitig begrenzten Wellenträgers her. Übe dabei, deine Gedankengänge eindeutig zu formulieren. Wenn man die verschiedenen möglichen Eigenschwingungen zeichnet erkennt man: Bei einem Wellenträger mit einem losen und einem festen Ende gilt - für die 1. Eigenschwingung: l = 1 λ/4 - für die 2. Eigenschwingung: l = 3 λ/4 - für die 5. Eigenschwingung: l = 5 λ/4 - für die n-te Eigenschwingung: l = (2n-1) λ/4 Löst man diese Gleichung nach λ auf, so erhält man: => λ = 4 l / (2n-1) Mit c = λ f folgt f = c / λ = (2n-1) c / 4 l => f = (2n-1 ) f 1 mit f 1 = c / 4l b) Der Wellenträger ist 75 cm lang und die gezeigte Eigenschwingung sieht man, wenn er mit 40 Hz erregt wird. Berechne die Frequenz f 1 der ersten Eigenschwingung sowie die Phasengeschwindigkeit auf dem Wellenträger. Da der skizzierte Wellenträger 3 Bäuche enthält, muss es sich um die 3. Eigenschwingung handeln. => f 3 = 40 Hz Mit f 3 = (2 3-1) f 1 = 5 f 1 und f 1 = 8,0 Hz f 1 = c/(4 l) erhält man: c = 4 l f 1 = 4 l f 3 /5 c = 24 m/s

5 Afg.4: Das Bild zeigt das Frequenzspektrum einer Orgelpfeife, wobei das erste Maximum bei 290 Hz liegt. a) Ist das obere Ende der Pfeife offen oder verschlossen? Bitte genau begründen! Aus der dem Frequenzspektrum kann man erkennen, dass die Frequenzen der Eigenschwingungen jeweils ein ganzzahliges Vielfaches der ersten Eigenfrequenz sind. Dieses Gesetz (f n = n f 1 ) gilt nur, wenn beide Enden lose oder beide Enden fest sind. Da das untere Ende der Orgelpfeife mit der Außenluft in Verbindung ist und damit bezüglich des Druckes ein festes Ende darstellt, muss auch das obere Ende der Pfeife ein festes Ende darstellen und mit dem Außendruck verbunden sein. Die Pfeife muss oben also offen sein. Vorsicht! Hier musst du mit dem Begriff offen sorgfältig operieren und darfst offen nicht mit lose gleichsetzen! b) Berechne die Länge der Pfeife und diskutiere die Genauigkeit deines Ergebnisses. Geg.: f 1 = 290 Hz, c = 340 m/s Ges.: l Lsg.: Für die erste Eigenschwingung bei zwei losen Enden gilt: l = λ/2 mit c = λ f => λ = c / f => l = c / (2 f) 0,586.. m l 60 cm Das Ergebnis ist nicht sehr genau, denn - der Druckknoten liegt nicht genau beim Ende der Orgelpfeife, sondern etwas außerhalb. Die Größe l ist also nicht genau die Länge der Pfeife sondern, der Abstand der beiden Druckknoten, deren Wert aber um einen unbekannten (kleinen) Faktor größer ist als die Pfeifenlänge. - Die Schallgeschwindigkeit hängt von der Temperatur ab und ist in der Aufgabe nicht exakt gegeben.

6 Afg 5: Die Abbildung zeigt das Momentbild eines y Wellenträgers mit c = 6,0 m/s zum Zeitpunkt t 0 = 0 s 20 mm 60 cm a) Kann es sich um eine stehende Welle handeln? (Begr.) In der Aufgabe ist nicht genannt, ob die Enden fest oder lose sind. Für einen bestimmten Augenblick könnte die stehende Welle eines Wellenträgers mit losem Ende links und festem Ende rechts durchaus so aussehen. Es kann also eine stehende Welle sein. x b) Mit welcher Frequenz schwingt der Erreger? Geg.: c = 6,0 m/s; λ = 60 cm (aus Abbildung entnommen) Ges.: f Lsg.: c = λ f => f = c / λ = 6,0 m/s / 0,6 m = 10 1/s f = 10 Hz c) Es handelt sich um eine nach rechts laufende unbegrenzte Welle. Gib die Wellengleichung an und berechne die Auslenkung des Punktes x = 12 cm zu den Zeitpunkten t 0 = 0 s, und t 1 = 20 ms. Prüfe die Plausibilität deiner Ergebnisse. Geg.: c = 6,0 m/s; f = 10 Hz, y max = 20 mm Ges.: y (12 cm,0 s) und y (12 cm,20 ms) Lsg.: Aus der Abbildung entnimmt man: y (x,t) = - y max cos(ωt kx) mit ω = 2 π f und k = 2 π / λ => y (12 cm,0 s) = - 6,2 mm => y (12 cm,20 ms) = -8,5 mm Plausibilitätsbetrachtung: Aus der Abbildung erkennt man, dass am Ort x = 12 cm zum Zeitpunkt t = 0 s die Auslenkung ca -1/4 y max -5 cm beträgt, was mit der ersten Rechnung gut übereinstimmt. 20 y in mm 15 ca 12 cm 60 x in cm 20 ms später, also nur 1/5 von T später, hat ist die Welle um 1/5 λ nach rechts gewandert und damit sicher noch stärker negativ, als zum Zeitpunkt 0 s. Auch dies passt gut zur Rechnung.

7 Afg 6: Eine Gitarrenseite ist 80 cm lang und schwingt in der Grundfrequenz mit 960 Hz. a) Leite die Formel zur Berechnung der Phasengeschwindigkeit her, berechne diese und gib die Frequenzen aller Oberschwingungen an. Geg.: L = 80 cm, f 1 = 960 Hz Ges.: Formel für c herleiten, f n berechnen für n = 1,2,3 Lsg.: Die beiden Enden sind fest. An beiden Enden müssen daher Bewegungsknoten sein. Zwischen den Enden kann sich also nur eine ganzzahlige Anzahl an Bäuchen befinden. Für zwei feste Enden gilt für die 1. Eigenfrequenz: L = 1 λ/2 2. Eigenfrequenz: L = 2 λ/2 3. Eigenfrequenz: L = 3 λ/2 n. Eigenfrequenz: L = n λ/2 Nach λ aufgelöst: λ = 2 L / n Mit c = λ f folgt: f = c / λ => f n = n c / (2 L) f n = n f 1 mit f 1 = c / (2 L) Berechnung der Phasengeschwindigkeit: f 1 = c / (2 L) => c = f 1 2 L = 1536 m/s c = 1,5 km/s Berechnung der Eigenfrequenzen: f n = n 960 Hz mit n = 1,2,3.. b) Welche Manipulationen könnte man vornehmen, damit die Saite mit einer höheren Frequenz schwingt? (genaue Begründen!) Anhand der Formel f 1 = c / (2 L) kann man erkennen, was man alles tun kann, um die Saite mit höherer Frequenz schwingen zu lassen: - Die Saite Verkürzen, denn kleineres L ergibt größeres f - Die Phasengeschwindigkeit c erhöhen. Dies gelingt durch - Verwendung einer dünneren Saite, da aufgrund der geringeren Massenbelegung der Saite im Massepunkt-Feder-Modell die Trägheit der Masseteichen kleiner wird und sich dadurch die Welle schneller ausbreitet. - Stärkere Spannung der Saite, da dadurch (im Massepunkt-Feder-Modell) die Federkonstante zwischen den Masseteilchen erhöht wird, was zu einer größeren Phasengeschwindigkeit führt.- Afg. 7 Überlege dir selbst zwei interessante Aufgaben zum Dopplereffekt und löse sie so mustergültig, dass du sie vor der Kamera deinen Mitschülern präsentieren kannst.