A3.2 Quadratische Funktionen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "A3.2 Quadratische Funktionen"

Babette Böhme
vor 6 Jahren
Abrufe

1 A. Quadratische Funktionen Die Quadratfunktion Definition: Eine reelle Funktion f: = a + b + c, D = R (a, b, c R a 0) heißt quadratische Funktion. Beispiele:. f: =. f: = 0,5 - + Die Quadratfunktion f: = Definition: Die Funktion f: = heißt Quadratfunktion. Wählt man als Definitionsmenge D f = R, dann ergibt sich für den Graphen folgende Kurve: - 0 Eigenschaften der Quadratfunktion:. Die Funktionswerte sind als Quadrate reeller Zahlen alle nicht negativ.. Der kleinste Funktionswert ist 0; für steigen die Funktionswerte unbegrenzt an W f R 0 [0; [.. Wegen f(-) = (-) = = f() für alle D f ist der Graph von f, die sog. Normalparabel, smmetrisch zur -Achse, die Parabelachse.. Der tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel S(0; 0). 5. In I = R + ist der Graph von f streng monoton steigend, d. h. es gilt 0 f( ) f( ), I. Entsprechend ist die Normalparabel in I = R - streng monoton fallend. Die Funktion f: = + S Beispiel: f: = - A- a- erstellt am 9..0

2 Wertetabelle: ,5 0 0,5 9 0,5 0 0, Graph: 7,75 -, Analoge Graphen ergeben sich, wenn S einen anderen Wert annimmt. Zusammenfassung: Die Funktion f: = + S, S R, hat für D f = R die Wertemenge W = [ S ; [. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel S(0; S ). Die Funktion f: = ( - S) Beispiel: f: = ( - ) Wertetabelle: () A-- a- erstellt am 9..0

3 Graph: - 0 Zusammenfassung: Die Funktion f: = ( - ), S R, hat für D f = R die Wertemenge W = [0; [. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel S( S ; 0). Die Funktion f: = ( - S) + S Beispiel: f: = ( - ) + Wertetabelle: ( - ) ( - ) Graphen: - 0 A-- a- erstellt am 9..0

4 Überlegung: Der Wert S im Funktionsterm bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel um S nach rechts, der Summand S eine zusätzliche Verschiebung um S nach oben. Nicht immer liegt allerdings die Funktionsgleichung in dieser einfachen Form vor; sie lässt sich aber durch quadratische Ergänzung leicht in die gewünschte Form umwandeln. Beispiel: f: = + + f() = = = ( + ) - Der zugehörige Graph ist eine um zwei Einheiten nach links (!) und eine Einheit nach unten (!) verschobene Normalparabel. Jeder Punkt der Parabelachse hat die -Koordinate S. Zusammenfassung: Jede Funktion der Form f: = + b + c lässt sich durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform f: = ( - S ) + S bringen. Ihr Graph ist für D f = R eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel S( S ; S ). Ihre Wertemenge ist W = [ S ; [. Die Parabelachse hat die Gleichung = S. Eine Musteraufgabe: Gegeben ist die quadratische Funktion f: = , D f = R. Gib Wertemenge W, Scheitel S und Parabelachse an und berechne die Schnittpunkte von G f mit den Koordinatenachsen. Zeichne dann G f. Lösung: f() 5 6, 5, 5, 5 6 (, 5) 0, 5. => W = [-0,5; [, S(-,5; -0,5), = -,5. Schnittpunkt mit der -Achse: = 0 => f(0) = 6 => SP (0; 6) Schnittpunkt mit der -Achse: = f() = 0 => = 0 ( + ) ( + ) = 0 = - = -. Die Funktion f: = a Beispiel: In Fahrschulheften findet man oft folgende Faustregel für den Bremsweg km (in m) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v (in h ): Dividiere die Tachoanzeige durch 0 und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst. Als Abstand vom vorausfahrenden Auto wird "halber Tacho" empfohlen (z. B. 0 m Abstand bei v = 80 km ). Der Bremsweg ist eine Funktion der Geschwindigkeit, die so formuliert werden kann: f() ( 0 ) 00. h Die Wertetabelle liefert in km/h 0 in m A-- a- erstellt am 9..0

5 Abstand in m Der zugehörige Graph ist ein Stück einer Parabel, aber keine Normalparabel. Weitere Beispiele: f: = a, D f = R, a {0,5; ; -0,5; -} Wertetabelle: ,5 0,5 0 0,5,5 8, ,5 - -0,5 0-0,5 - -,5-8,5 Graphen: P 8 6 f:->* f0:->* g:->0,5** P Man erkennt: Der Graph von g : geht aus dem Graphen von f 0 : = durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(0; 0) und dem Streckfaktor m = hervor. Rechnerischer Nachweis, Verallgemeinerung: f : a ; f :, f a a (a ) a a f () für alle R d. h. jeder Punkt P(; ) G f* hat einen Bildpunkt P (a; a ) G f, der Streckfaktor ist mithin m = a. A--5 a- erstellt am 9..0

6 Zusammenfassung: Der Graph der Funktion f: = a (a 0), D f = R, heißt Parabel. Sie hat den Scheitel S(0; 0) und ist smmetrisch zur -Achse. Für a > 0 ist die Parabel nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Der Graph geht aus der Normalparabel durch zentrische Streckung mit dem Streckzentrum Z(0; 0) und dem Streckfaktor m a hervor. Alle Parabeln sind ähnlich. Die allgemeine quadratische Funktion f: = a + b + c Der Scheitel einer allgemeinen quadratischen Funktion kann durch quadratische Ergänzung bestimmt werden. Beispiel: f: = - + f() = - + = = ( - 6) + = = ( ) + = = ( ) = = ( - ) + Auswertung: Der Graph hat den Scheitel S(; ); der Faktor bewirkt gegenüber dem Graphen von f*: = eine zentrische Streckung mit Zentrum Z(0; 0) und Streckfaktor m ; daran schließt sich noch eine Verschiebung um parallel zur -Achse (nach rechts) und um parallel zur -Achse (nach oben) an Allgemeine Berechnung des Scheitels: f: = a + b + c f() a ( b a ) c a ( b a ( b a ( b a ( b a ) ( b a ) ) c a ) ) c a b a A--6 a- erstellt am 9..0

7 a ( b a ) c b. a Daraus liest man unmittelbar die Koordinaten des Scheitels S ab: S b a ; c b a, wobei der Scheitel je nach dem Vorzeichen von a der niedrigste oder der höchste Punkt des Graphen ist. Zusammenfassung: Der Graph der Funktion f: = a + b + c (a 0) hat den Scheitel S b a ; c b a und für D = R die Wertemenge W c b a ;. Für a > 0 ist die Parabel nach oben, für a < 0 nach unten geöffnet. Aufstellen von Funktionsgleichungen Erinnerung: Durch zwei Punkte ist eindeutig eine Gerade bestimmt. In der Geradengleichung = m + b können die Formvariablen m und b durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die Gleichung bestimmt werden (Lösen eines Gleichungssstems aus zwei Gleichungen). In analoger Weise lassen sich die Formvariablen a, b und c in der Funktionsgleichung = a + b + c aus drei Punkten bestimmen, so dass durch drei Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen) eindeutig eine Gerade bestimmt ist. Beispiel: Bestimme die allgemeine quadratische Gleichung, deren Graph durch die drei Punkte P(0; ), Q(; 0) und R(5; 8) gegeben ist. Lösung: I f(0) = c = II f() = 0 a + b + c = 0 III f(5) = 8 5 a + 5 b + c = 8 I in II: II' a + b = - I in III: III' 5 a + 5 b = 5 Mit einem der üblichen Verfahren (Gleichsetzungs-, Einsetzungs- oder Additionsverfahren) erhält man daraus schnell die Gleichung f: = - +. Weitere Beispiele: P(; ), Q(; ), R(-; 9) S(;), P(;0) Schnitt von Parabeln Analog zum Schnitt von Geraden erhält man die Schnittpunkte von beliebigen Funktionsgraphen, also auch von Parabeln, indem man die Funktionsterme aus der epliziten Darstellung der Funktion gleichsetzt und die Gleichung löst. Beispiele: A--7 a- erstellt am 9..0

8 . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f : und g :. Lösung: = =.. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f : und g :. Lösung: = =. Skizzen: Gg Gg Musteraufgabe: Geben ist die Parabel p mit der Gleichung = - -. Bestimme die Schnittpunkte der Parabel mit a) der Geraden mit den Koordinatenachsen b) mit der Geraden mit der Gleichung = + c) mit der Parabel p mit der Gleichung = - + d) mit der Geradenschar mit der Gleichung = -m + m A--8 a- erstellt am 9..0

Ähnliche Dokumente

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion :

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion : Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x, D = R, heißt Quadratfunktion. Wertetabelle : x 0 0,5 1 3 4 0,5 1