mathphys-online Abiturprüfung Berufliche Oberschule 1998 Mathematik 13 Technik - B II - Lösung

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Simon Beckenbauer
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1 Abiturprüfung Berufliche Oberschule 8 Mathemati Techni - B II - Lösung In der Selbstbedienungsabteilung eines Supermartes für Obst und Gemüse werden grüne, rote und gelbe Papria zum gleichen Preis verauft. Alle Papria sind in ausreichender Anzahl vorhanden und önnen von den Kunden in jeder Farbe und in beliebiger Anzahl ausgewählt, in eine Plastitüte gepact und gewogen werden. Aus Erfahrung weiß man, dass 45 % aller verauften Papria grün, 0 % rot und 25 % gelb sind. Interpretieren Sie diese relativen Häufigeiten als Wahrscheinlicheiten für die Auswahl einer Papria durch einen beliebigen Kunden. Teilaufgabe (8 BE) Ein Kunde wählt drei Papria aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheiten für folgende Ereignisse: E : Mindestens eine der drei Papria ist grün. E 2 : Der Kunde wählt genau zwei grüne und eine gelbe Papria. E : Der Kunde wählt nicht nur Papria in einer Farbe. E = Ω \ { eine grüne } P "mindestens eine grün" PE = ( ) = P ("eine grün" ) = 0.55 = E 2 = { ( gr gr ge), ( gr ge gr), ( ge gr gr) } P "zwei grüne und eine gelbe" PE 2 = ( ) = = E = Ω \ { ( gr gr gr), ( ge ge ge), ( ro ro ro) } P "gleiche Farbe" PE = ( ) = = Teilaufgabe 2 (4 BE) Im Einauf osten grüne Papria,80, rote Paria,0 und gelbe Papria 2,05, jeweils pro Kilogramm. Berechnen Sie, welchen Preis man für ein Kilogramm der Papria-Mischung bei obigem Wahlverhalten veranschlagen muss, wenn der Veraufspreis im Durchschnitt 40 % über dem Einaufspreis liegen soll. Die Zufallsgröße Y beschreibe den Einaufspreis. "Z" "P(Z)" μ μ.82 Veraufspreis: VP.4μ 2.64 also 2.65 Abi 8, Mathemati Techni. Klasse, B II - Lösung Seite von 5

2 Teilaufgabe (6 BE) In der Tabelle ist die Wahrscheinlicheitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der von einem Kunden geauften Papria gegeben. "X" "P(X)" "mindestens 7" 0 Berechnen Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung von X und bestimmen Sie die Wahrscheinlicheit P( X μ ). Interpretieren Sie das Ergebnis. μ μ.8 Var_X μ 2 Var_X.556 Var_X.887 P( μ X μ ) P( 0.0 X.87) P ( X ) P ( X ) = PX ( = ) PX ( = 2) PX ( = ) = = 0.5 Interpretation: Es werden mit 5 %-iger Wahrscheinlicheit mindestens eine, jedoch höchstens drei Papria geauft. Teilaufgabe 4 (5 BE) Um zu überprüfen, ob sich der Anteil der grünen Papria in der Käufergunst signifiant verringert hat (Gegenhypothese), wird ein Hypothesentest bei 200 verauften Papria auf dem Signifianzniveau von 0 % durchgeführt. Geben Sie beide Hypothesen und den Ansatz für den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese an und ermitteln Sie diesen. Testgröße: Anzahl der grünen Papria unter n 200. Testart: Linsseitiger Signifianztest p 0.45 Nullhypothese H 0 : p 0 p p Gegenhypothese H : p p p 0.45 Annahmebereich: A = { } Ablehnungsbereich: A = { 0... } Sigifianzniveau: α S 0. PA 0. PX ( ) 0. Abi 8, Mathemati Techni. Klasse, B II - Lösung Seite 2 von 5

3 Binomialverteilung aus Tafelwer: i 0 B( i) > 80 Ablehnungsbereich: A = { } Lösung mit Mathcad: Inverse umulative Binomialverteilung: Ablehnungsbereich: qbinom α S n p 80 Wahrscheinlicheit für A: P A pbinom( n p) P A 0. Tatsächlicher Fehler: α pbinom( n p) α Darstellung 0.06 Linsseitiger Signifianztest B(, n, p) Abi 8, Mathemati Techni. Klasse, B II - Lösung Seite von 5

4 Teilaufgabe 5 (7 BE) Bei einer Werbeation des Supermarts wird ein Zufallsapparat verwendet, der aus drei unabhängigen Glücrädern besteht. Jedes Glücsrad zeigt nach dem Stillstand jeweils mit der Wahrscheinlicheit eine rote, eine grüne und eine gelbe Papria. Wenn der Apparat drei gleichfarbige Früchte anzeigt, erhält der Spieler eine Papria als Gewinn. Bestimmen Sie die Wahrscheinlicheit, dass ein Spieler gewinnt, sowie das leinste Intervall symmetrisch zum Erwartungswert, in dem bei Spielen mit mindestens 0-prozentiger Wahrscheinlicheit die Anzahl der Gewinne liegt. p rot = p grün = p gelb = p Wahrscheinlicheit, dass ein Spieler gewinnt: P_F = P(drei gleiche Farben) = P( { ( ro ro ro), ( gr gr gr), ( ge ge ge)} ) P_F P_F Die Zufallsgröße Y beschreibe die Anzahl der Gewinne bei Spielen. Y ist binomialverteilt mit n und p P( Y c) 0. P( c Y c) 0. c c B i B i 0. i 0 i 0 Erwartete Anzahl von Gewinnen (binomialverteilt) nach Merhilfe: μ = np, = np ( p). μ μ 8. >, Näherung durch Noramlverteilung möglich. Φ c μ 0.5 Φ c 0.5. Φ c μ Φ c Φ c 0.5 Φ c Φ c 0.5 Φ c Abi 8, Mathemati Techni. Klasse, B II - Lösung Seite 4 von 5

5 2Φ c Φ c 0.5. Φ c Quantile aus der Tabelle: c Auflösen nach c: c auflösen c Gleitommazahl c Aufrunden auf die nächste größere ganze Zahl: c 0 ceil( 5.84) 6 Kleinstes Intervall um den Erwartungswert: μ c 0 Y μ c 0 5 Y 27 Mathcadlösung: Inverse umulative Normalverteilung: t ( ) qnorm( 0 ) 0.5 t.645 Lösung der Ungleichung: c auflösen c Gleitommazahl 4 c 5.84 Darstellung Binomialverteilung und Dichtefuntion mit integraler Näherung μ μ c 0 5 μ c B(x), φ(x) x Abi 8, Mathemati Techni. Klasse, B II - Lösung Seite 5 von 5

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