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1 $Id: integral.tex,v.5 07/05/05 3:36:4 hk Exp $ Integralrechnung.4 Integration rationaler Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir die Integration rationaler Funktionen diskutieren. Es wird sich herausstellen das sich die Stammfunktionen rationaler Funktionen als explizite Formeln hinschreiben lassen, die sich aus rationalen Funktionen, Logarithmen und Arcustangens Funktionen zusammensetzen. Viele der einfachen Beispiele kennen wir bereits, nämlich x = ln x, x = n n (n > ), xn = arctan x. + x Wir werden im folgenden schrittweise immer kompliziertere Typen rationaler Funktionen behandeln, bis wir letztendlich alle rationalen Funktionen integrieren können. In jedem neuen Schritt werden wir die dabei zu berechnenden Integrale auf die bereits erledigten Fälle des vorigen Schritts zurückführen. Dabei starten wir mit den gerade eben aufgelisteten Integralen. Durch Umskalieren erhalten wir aus diesen für a, b R mit a 0 die unbestimmten Integrale ax + b = ln ax + b und a (ax + b) = n a(n ) (n > ). (ax + b) n Wir kommen jetzt zum nächst komplizierteren Typ rationaler Funktionen, und als ein Beispiel wollen wir das unbestimmte Integral x 3 x + x + 4x + 4x + berechnen. Die Berechnung dieses Integrals erfolgt in zwei Schritten, und im ersten Schritt wollen wir es in ein rationales Integral mit demselben Nenner umformen in dem der Zähler kleineren Grad als der Nenner hat, also linear ist. Zu diesem Zweck müssen wir uns an die Ihnen schon aus Schulzeiten bekannte Polynomdivision erinnern. Sind zwei Polynome f, g über K {R, C} gegeben, so wollen wir das Polynom g eventuell mit Rest durch f teilen. Formal bedeutet dies das wir ein Quotientenpolynom h über K und ein Restpolynom r über K suchen so, dass g = hf + r ist wobei der Grad von r echt kleiner als der Grad von f ist grad(r) < grad(f). Nehmen wir hier den Zähler g(x) = x 3 x + x + und den Nenner f(x) = 4x + 4x + des obigen Integrals, so 7-

2 rechnen wir x 3 x + x + : 4x + 4x + = x 4 (x 3 + x + x) 4 x + 7x + 4 ( x x ) 5 x + 3, 4 und es ergeben sich Quotient und Rest als h(x) = 4 x 5, r(x) = 4 x + 3. Man kann leicht beweisen das es zu beliebig vorgegebenen Polynomen g, f mit f 0 stets eindeutig bestimmte Polynome h, r mit g = hf + r und grad(r) < grad(f) gibt. Dies erlaubt uns bereits eine erste Reduktion in der Integration rationaler Funktionen. Angenommen wir haben eine rationale Funktion f(x) = /q(x) mit Polynomen p, q wobei q 0 ist. Wir wollen uns klarmachen das es ausreicht den Fall grad(p) < grad(q) zu behandeln. Teilen wir nämlich den Zähler p mit Rest durch den Nenner q, schreiben also p = hq + r mit Polynomen h, r, grad(r) < grad(q), so ist q(x) = h(x)q(x) + r(x) = q(x) h(x) + r(x) q(x). Das linke Integral ist die Stammfunktion eines Polynoms, dieses können wir also leicht ausrechnen und erhalten wieder ein Polynom. Das rechte Integral ist dagegen wieder das Integral einer rationalen Funktion, aber diesmal ist der Zählergrad echt kleiner als der Nennergrad. In unserem Beispiel x 3 x + x + 4x + 4x + wird x 3 x + x + 4x + 4x + = ( 4 x ) (4x + 4x + ) x + 3 4x + 4x + und unter Verwendung von 4x + 4x + = (x + ) ist damit x 3 x ( + x + = 4x + 4x + 4 x ) 5 + x x = (x + ) 8 x + = 4 x x + 3 4x + 4x x + 3 (x + ). Zur Bestimmung des rechts stehenden Integrals beachte ((x+) ) = 4(x+) = 8x+4. Steuern wir die Form f /f an, so wird 5 4 x + 3 (x + ) 5 = 4 = 5 3 x + 5 (x + ) ( ln((x + ) ) = 3 8x (x + ) 7- (x + ) ) = 5 6 ln x x +,

3 also ist insgesamt x 3 x + x + = x 4x + 4x + 8 x ln x x +. Wollen wir ein unbestimmtes Integral q(x) berechnen, wobei p und q zwei Polynome sind, so haben wir bereits eingesehen das wir uns durch Polynomdivision immer auf den Fall reduzieren können in dem der Zählergrad echt kleiner als der Nennergrad ist, also grad(p) < grad(q). Eine weitere kleine Reduktion liegt nahe. Ein von Null verschiedenes Polynom heißt bekanntlich normiert wenn sein höchster Koeffizient gleich Eins ist, es also die Form x n + hat. Dies können wir durch Herausziehen der führenden Konstanten in Zähler und Nenner immer annehmen, d.h. man kann sich auch auf den Fall beschränken das Zähler und Nenner normiert sind. Wir wollen jetzt ganz allgemein unbestimmte Integrale der Form (x a) n berechnen. Dabei sind n N und p ein beliebiges Polynom. Wir wissen schon, dass wir uns durch eventuelle Polynomdivision auf den Fall grad(p) < n beschränken können und wenn wir wollen können wir auch p als normiert voraussetzen. Diese Integrale kann man auf verschiedene Weisen berechnen. Die einfachste Methode besteht darin als ein Polynom in x a zu schreiben, also ein Polynom p vom selben Grad wie p zu finden das = p(x a) erfüllt. Man kann p als eine explizite Formel hinschreiben, in I..Lemma 8 haben wir dies sogar für allgemeine Potenzreihen getan, es ist aber meist einfacher dies direkt zu rechnen. Wir wollen dies einmal am Beispiel des Polynoms = x 3 + x + vorführen und dieses als ein Polynom in x schreiben. Wegen (x ) = x x + = x = (x ) + x und ist dann (x ) 3 = x 3 3x + 3x = x 3 = (x ) 3 + 3x 3x + = x 3 + x + = (x ) 3 + 5x 3x + = (x ) 3 + 5(x ) + 7x 3 = (x ) 3 + 5(x ) + 7(x ) + 4, also ist = p(x ) mit = x 3 + 5x + 7x + 4. Kommen wir zum allgemeinen Fall zurück, und nehme an wir haben schon das Polynom = a n x n + + a 0 bestimmt. Dann ist (x a) = a n (x a) n + a n (x a) n + + a 0 n (x a) n = a n x a + a n (x a) + + a 0 (x a), n 7-3

4 ein erstes Beispiel der sogenannten Partialbruchzerlegung. Wie wir diese Funktion integrieren können wissen wir bereits, und es ergibt sich (x a) = a n n ln x a a n x a a 0 (n )(x a). n Zum Beispiel ist damit x 3 + x + (x ) 4 = ln x 5 x 7 (x ) 4 3(x ) 3. Es gibt auch noch einige alternative Rechenwege zum Herstellen der Partialbruchzerlegung von /(x a) n. Man kann zum einen x = (x a) + a für x in einsetzen. Außerdem kann man auch eine mehrfache Polynomdivision durch x a durchführen. Im obigen Beispiel rechnet man x 3 + x + : x = x + 3x + 3 (x 3 x ) 3x + (3x 3x) 3x + (3x 3) 4 x + 3x + 3 : x = x + 4 (x x) 4x + 3 (4x 4) 7 man teilt also den Zähler x 3 + x + durch x, dann teilt man den so erhaltenen Quotienten wieder durch x und so weiter bis wir zu einer Konstanten kommen. Die abschließende Divsion von x + 4 durch x haben wir weggelassen, diese hat offenbar Quotient und Rest 5. Wir erhalten x 3 + x + = (x + 3x + 3)(x ) + 4 = x3 + x + = x + 3x (x ) 4 (x ) 3 (x ), 4 x + 3x + 3 = (x + 4)(x ) + 7 = x + 3x + 3 (x ) 3 = x + 4 (x ) + 7 (x ) 3, und haben damit erneut x + 4 = (x ) + 5 = x + 4 (x ) = x + 5 (x ), x 3 + x + (x ) 4 = x + 5 (x ) + 7 (x ) (x ) 4. Eine dritte Möglichkeit ist es die Partialbruchzerlegung mit Unbekannten anzusetzen x 3 + x + = A (x ) 4 x + B (x ) + C (x ) + D 3 (x ), 4 7-4

5 und die rechte Seite auf den Hauptnenner zu bringen A x + B (x ) + C (x ) + D 3 (x ) = A(x )3 + B(x ) + C(x ) + D 4 (x ) 4 = Ax3 + (B 3A)x + (C B + 3A)x + D C + B A (x ) 4. Vergleichen der Koeffizienten im Zähler ergibt dann die Bedingungen A =, B 3A = = B = + 3A = 5, C B + 3A = 0 = C = B 3A = 7 und D C + B A = = D = + C B + A = 4, und wir haben erneut dasselbe Ergebnis. Insgesamt können wir jetzt also alle rationalen Funktionen der Form /(x a) n integrieren. Wir kommen jetzt zum nächstkomplizierteren Typ rationaler Funktionen und beginnen mit einer kleinen algebraischen Vorbemerkung. Angenommen wir haben ein Polynom p 0 über K {R, C} und eine Nullstelle von p, also ein a K mit p(a) = 0. Dividieren wir dann p durch x a, so erhalten wir Polynome q, r über K mit p = q (x a) + r und grad(r) < grad(x a) =. Damit ist grad(r) 0, d.h. r ist eine Konstante und wegen r = q(a) (a a) + r = p(a) = 0 ist sogar r = 0, d.h. = (x a)q(x). Nullstellen kann man also aus einem Polynom herausziehen. Entweder ist jetzt q(a) 0 oder a ist auch eine Nullstelle von q. In letzterem Fall kann man auch aus q den Faktor x a herausziehen und hat damit aus p sogar (x a) herausgezogen. So fortfahrend erhalten wir schließlich n N mit n und ein Polynom q über K mit = (x a) n q(x) und q(a) 0. Man nennt die Zahl n dann die Vielfachheit der Nullstelle a von p. Alternativ kann man n auch über die Ableitungen von p berechnen, es ist p (k) (a) = 0 für 0 k < n und p (n) (a) 0. Sei jetzt p 0 ein beliebiges Polynom über K {R, C}. Gibt es eine Nullstelle a K von p, so können wir wie gesehen = (x a ) n p (x) mit p (a ) 0 schreiben. Hat auch p eine Nullstelle a in K, so ist a a und wir können p (x) = (x a ) n p (x) mit p (a ) 0 schreiben, also = (x a ) n (x a ) n p (x). Wegen p (a ) 0 ist auch p (a ) 0. So fortfahrend erhalten wir schließlich = (x a ) n... (x a r ) nr q(x) wobei a,..., a r die verschiedenen Nullstellen von p sind, n,..., n r ihre Vielfachheiten sind und q 0 ein Polynom ist das in K keine Nullstellen mehr hat. Ist q eine Konstante, so sagen wir das p über K in Linearfaktoren zerfällt. Wir betrachten nun Stammfunktionen rationaler Funktionen f(x) = /q(x) bei denen der Nenner in mehrere Linearfaktoren zerfällt. Dabei können wir uns auf die folgende Situation beschränken: 7-5

6 . Der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners q(x). Denn ist dies nicht so, so können wir zuvor wie oben eine Polynomdivision machen und erhalten ein Polynom plus eine rationale Funktion r(x)/q(x), deren Zähler einen kleineren Grad als q(x) hat.. Außerdem können wir annehmen das der Nenner normiert ist, also die Form q(x) = x n + mit führenden Koeffizienten hat. Andernfalls können wir den Bruch einfach passend erweitern. Damit hat der Nenner die Form q(x) = (x a ) n... (x a r ) nr, wobei a,..., a r die verschiedenen Nullstellen des Polynoms q(x) sind. Die Exponenten n,..., n r sind die jeweiligen Vielfachheiten der Nullstellen. Die Integration dieser Funktion führen wir jetzt über die sogenannte Partialbruchzerlegung auf den schon behandelten Fall /(x a) n zurück. Lemma.6 (Partialbruchzerlegung) Seien K {R, C}, a,..., a r K paarweise verschieden, n,..., n r natürliche Zahlen, q(x) := (x a ) n... (x a r ) nr und p ein Polynom über K mit grad(p) < n := n + + n r. Dann existieren eindeutig bestimmte Polynome p,..., p r über K mit q(x) = und grad(p i ) < n i für i r. p (x) (x a ) + + p r(x) n (x a r ) nr Beweis: Betrachten wir die n + +n r = n zu bestimmenden Koeffizienten der Polynome p,..., p r als Unbekannte, so ergibt sich für diese nach Übergang zum Hauptnenner auf der rechten Seite und Koeffizientenvergleich mit p ein lineares Gleichungssystem aus n Gleichungen in n Unbekannten dessen rechte Seite die n Koeffizienten von p sind. Wir wollen uns überlegen, dass das zugehörige homogene lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat. Seien also p,..., p r Polynome über K mit grad(p i ) < n i für i r und r i= p i(x)/(x a i ) n i = 0. Angenommen es gibt ein i r mit p i 0. Dann können wir p i (x) = (x a i ) s h(x) mit s N und einem Polynom h über K mit h(a i ) 0 schreiben. Dabei ist 0 s grad(p i ) < n i und es ergibt sich der Widerspruch 0 = lim x ai (x a i ) n i s r j= p j (x) (x a j ) = n j j r j i (x a i ) ni s p j (x) lim x a i (x a j ) n j + lim x ai h(x) = h(a i ) 0. Dieser Widerspruch zeigt p i = 0 für alle i r. Mit dem Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme I. 0.Satz 4 folgt jetzt die Behauptung. 7-6

7 Schreiben wir unsere rationale Funktion f in der Form f(x) = q(x) = p (x) (x a ) + + p r(x) n (x a r ) nr wobei p,..., p r Polynome mit grad p i < n i für i =,..., r sind, so wird f(x) = p (x) (x a ) + + n p r (x) nr (x a r ) und jeden der einzelnen Summanden haben wir bereits im vorigen Schritt berechnet. Natürlich ist es zur realen Ausführung dieses Verfahrens wichtig, dass wir die Partialbruchzerlegung tatsächlich berechnen können, und zur Beschreibung dieses Rechenverfahrens wollen wir das Beispiel des unbestimmte Integrals x 5 + 3x 4 x 3 x + x + x 3 + x x behandeln. Als ersten Schritt bringen wir den Zähler durch Polynomdivision auf Grad höchstens zwei. Die Rechnung zur Polynomdivision lassen wir diesmal weg, und notieren hier nur das Ergebnis x 5 + 3x 4 x 3 x + x + = (x + x ) (x 3 + x x ) + 3x + x, d.h. der Quotient ist x + x und der Rest ist 3x + x. Damit ist x 5 + 3x 4 x 3 x + x + = x 3 + x x 3 x3 + x x + Der Nenner ist ein Produkt x 3 + x x = (x )(x + ) = (x )(x + ), und wir setzen die Partialbruchzerlegung in der Form 3x + x x 3 + x x = A x + Bx + C (x + ) 3x + x x 3 + x x. an. Bringen wir hier die rechte Seite der Gleichung auf den Hauptnenner, so erhalten wir die Bedingung 3x + x x 3 + x x = A(x + ) + (Bx + C)(x ) x 3 + x x = (A + B)x + (A B + C)x + A C. x 3 + x x 7-7

8 Da beide Brüche denselben Nenner haben müssen die Zähler übereinstimmen, und dies heißt das alle Koeffizienten jeweils gleich sind. Wir haben also drei Bedingungen an die Unbekannten A, B, C A + B = 3, A B + C =, A C = 0. Dieses lineare Gleichungssystem kann man leicht direkt lösen, es sind C = A, B = 3 A, also = A B + C = A 3 + A + A = 4A 3, und somit A =, B = 3 A = und C = A =. Als unsere Partialbruchzerlegung ergibt sich somit Folglich ist 3x + x x 3 + x x = 3x + x x 3 + x x = x + x + (x + ). x + x + = ln x + ln x + + (x + ) x +, wobei wir den letzten Schritt mit der schon behandelten Methode zur Lösung von Integralen /(x a) n gerechnet haben. Insgesamt ist damit x 5 + 3x 4 x 3 x + x + = x 3 + x x 3 x3 + x x + ln x + ln x + + x +. Die Methode zur Berechnung der Partialbruchzerlegung läuft also in drei Schritten ab,. rechte Seite auf Hauptnenner bringen,. die entstehenden Koeffizienten im Zähler vergleichen, 3. und dann das entstehende lineare Gleichunssystem lösen. Diese Rechenmethode ist immer möglich, aber in der praktischen Durchführung oft etwas mühsam. Im Spezialfall das unser Nenner keine mehrfachen Nullstellen hat gibt es auch eine alternative, deutlich einfacherere Rechenmethode. Nehme also an wir wollen die Partialbruchzerlegung von /q(x) berechnen, wobei der Nenner die Form q(x) = (x a )... (x a n ) hat, und p ein Polynom von Grad kleiner als n ist. Unser Nenner soll also in Linearfaktoren zerfallen, aber keine mehrfachen Nullstellen haben. Die Zähler in der Partialbruchzerlegung haben dann Grad 0, sind also Konstanten, die wir als ansetzen. Ist für i n nun (x a )... (x a n ) = A x a + + A n x a n q i (x) := (x a )... (x ai )... (x a n ) 7-8

9 das Produkt aller Linearfaktoren mit Ausnahme des i-ten, so haben wir A + + A n = A q (x) + + A n q n (x) x a x a n (x a )... (x a n ). Setzen wir nun x = a i ein, so ist q j (x) = q j (a i ) = 0 für j n mit j i, da unter den Faktoren des Produkts insbesondere a i a i = 0 vorkommt, und wir erhalten die Gleichung A i (a i a j ) = A i q i (a i ) = A q (a i ) + + A n q n (a i ) = p(a i ). j n j i Damit ergeben sich die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung direkt als A i = j n j i p(a i ) (a i a j ). Hat der Nenner also keine mehrfachen Nullstellen, so müssen wir nichts ausmultiplizieren und keine linearen Gleichungssysteme lösen, sondern können die Partialbruchzerlegung einfach hinschreiben. Rechnen wir als ein Beispiel zu dieser Methode der Partialbruchzerlegung die Funktion f(x) = x 7x + x 3 x x +. Hier ist x 3 x x + = (x )(x ) = (x + )(x )(x ), und die Partialbruchzerlegung hat die Form Unsere obige Formel besagt also f(x) = A = B = C = A x + + f(x) = x 7x + x 3 x x +. = 9 6 B x + C x. 9 ( ) ( 3) = 9 6, 5 ( ) = 5, 3 = 3, x + 5 x + 3 x. Wir fassen noch einmal zusammen was wir bisher über die Integration rationaler Funktionen gesehen haben. Gegeben sei also eine rationale Funktion f(x) = /q(x) mit 7-9

10 zwei Polynomen p und q, und wir wollen das unbestimmte Integral f(x) berechnen. Wir nehmen an das der Nenner die Form q(x) = (x a ) n... (x a s ) ns hat, d.h. q zerfällt vollständig in Linearfaktoren und a,..., a s sind die Nullstellen von q mit den zueghörigen Vielfachheiten n,..., n s. Durch Polynomdivision = Q(x) q(x) + r(x) wird f(x) = q(x) = Q(x) + r(x) mit grad(r) < grad(p). Im nächsten Schritt führen wir die Partialbruchzerlegung r(x) = r (x) (x a ) + + r s(x) n (x a s ) ns durch, wobei die Zähler auf der rechten Seite grad(r i ) < n i für i =,..., s erfüllen. Für jedes i s konnten wir dann weiter r i (x) (x a i ) n i = a i x a i + + a ini (x a i ) n i = n i j= a ij (x a i ) j schreiben und haben insgesamt f(x) = Q(x) + s n i a ij (x a i ). j i= j= Als Stammfunktion ergibt sich f(x) = Q(x) + s a i ln x a i i= i s n i > n i j= a i,j+ j (x a i ) j, also eine rationale Funktion plus eine Summe von Logarithmen. Damit können wir jede rationale Funktion deren Nenner in Linearfaktoren zerfällt explizit integrieren. 7-0