EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK

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1 H.v.MANGOLDTS EINFÜHRUNG IN DIE HÖHERE MATHEMATIK FÜR STUDIERENDE UND ZUM SELBSTSTUDIUM SEIT DER SECHSTEN AUFLAGE NEU HERAUSGEGEBEN UND ERWEITERT VON KONRAD KNOPP E. O. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT TÜBINGEN ZWEITER BAND DIFFERENTIALRECHNUNG UNENDLICHE REIHEN ELEMENTE DER DIFFERENTIALGEOMETRIE UND DER FUNKTIONENTHEORIE 14. AUFLAGE MIT 115 FIGUREN IM TEXT S. HIRZEL VERLAG LEIPZIG 1972

2 I INHALTSVERZEICHNIS Erster Grundregeln der Differentialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen Begriff und Bedeutung eines Differentialquotienten Seite i. Einleitende Betrachtungen I 2. Differentialrechnung und Integralrechnung 9 3. Differenzierbarkeit Einseitige und unendliche Ableitungen Differenzierbarkeit in einem Intervall Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung 19 Grundregeln der Differentialrechnung 7. Vorbemerkungen Differentiationen einer Konstanten und der Funktion x Differentiation einer Summe Differentiation eines Produktes Differentiation einer Potenz Differentiation eines Quotienten Differentiation der rationalen Funktionen Differentiation der Exponentialfunktion Differentiation der Logarithmen. Natürliche Logarithmen 3t 16. Differentiation der Kreis- und Hyperbelfunktionen Differentiation einer mittelbaren Funktion Differentiation der allgemeinen Potenz und der Wurzeln Differentiation einer inversen Funktion Differentiation der zyklometrischen und der Area-Funktionen Differenzierbarkeit geschlossener analytischer Ausdrücke Stetigkeit und Differenzierbarkeit Gründe für die Unzulänglichkeit der Anschauung und für die Bevorzugung differenzierbarer Funktionen Vermischte Übungsaufgaben 63 VII

3 Zweiter Differentiale. Mittelwertsatz. Taylorscher Satz Differentiale. Mittelwertsatz Seite 25. Das Differential einer Funktion /(#) Vorteile der differentiellen Schreibweise Die Bedeutung des Vorzeichens der Ableitung Der Satz von Rolle Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Einfachste Anwendungen des Mittelwertsatzes Erweiterung des Mittelwertsatzes 80 Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung 32. Die Ableitung f'(x) als Funktion von x Ableitungen zweiter und höherer Ordnung Physikalische Bedeutung der zweiten Ableitung Die höheren Ableitungen der elementaren Funktionen Die höheren Ableitungen einer Summe und eines Produktes Die höheren Ableitungen einer mittelbaren Funktion Höhere Differenzen Differentiale höherer Ordnung Geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung. Konvexität und Konkavität Ermittlung der Gestalt des geometrischen Bildes einer Funktion Newtons Näherungsverfahren zur Auflösung einer Gleichung und die Regula falsi 104 Der Taylorsche Satz 43. Entwicklung einer ganzen rationalen Funktion nach Potenzen eines Zuwachses ihres Argumentes Die Sätze von Taylor und MacLaurin in 45. Beweis der Sätze von Taylor und MacLaurin 114 Entwicklung der elementaren Funktionen 46. Bedeutung des Taylorschen Satzes Darstellung der Exponentialfunktion Berechnung der Exponentialfunktion, insbesondere der Zahle Irrationalität von e Entwicklung der Funktionen sin* und cos* Entwicklung der Logarithmusfunktion Berechnung der Logarithmen Allgemeine Exponentialfunktion und allgemeine Potenz Erweiterung des Binomiallehrsatzes, Entwicklung der Funktion arctg* Berechnung der Zahl n Entwicklung der Funktion aresin* 142 VIII

4 Dritter Minima und Maxima. Grenzwerte Minima und Maxima Seite 58. Begriff eines Minimums oder Maximums Bedingungen für das Auftreten eines Minimums oder Maximums Beispiele 150 Bestimmung von Grenzwerten 61. Allgemeine Bemerkungen über die Bestimmung von Grenzwerten Erste Grundaufgabe: Bestimmung des Grenzwertes eines Bruches, dessen Zähler und Nenner beide gegen Null streben Zweite Grundaufgabe: Bestimmung des Grenzwertes eines Bruches, dessen Nenner gegen +00 oder 00 strebt Zurückführung anderer Aufgaben auf die Grundaufgaben Zusätze 180 Unendlich klein, unendlich groß 66. Unendlich klein werdende Funktionen Von verschiedener Ordnung unendlich klein werdende Funktionen Von verschiedener Ordnung unendlich groß werdende Funktionen und Vierter Unendliche Reihen 70. Vorbemerkungen Unendliche Reihen Konvergenz und Divergenz 19S 73. Die Taylorsche Reihe 201 Reihen mit positiven Gliedern 74. Das I. Hauptkriterium Die beiden Vergleichskriterien Das Wurzel- und das Quotientenkriterium 211 Reihen mit beliebigen Gliedern 77. Das II. Hauptkriterium Das Rechnen mit konvergenten Reihen Absolute Konvergenz Bedingte und unbedingte Konvergenz Der große Umordnungssatz Multiplikation unendlicher Reihen Das Abelsche Konvergenzkriterium '., 237

5 Potenzreihen Seite 84. Konvergenzradius einer Potenzreihe Identitätssatz für Potenzreihen Transformation auf einen neuen Mittelpunkt. Stetigkeit und Diflerenzierbarkeit Die Taylorschen Reihen Der Abelsche Grenzwertsatz Das Rechnen mit Potenzreihen Einsetzen einer Potenzreihe in eine andere Bemerkungen und Beispiele ' Division durch eine Potenzreihe Die Bernouillischen Zahlen Übungsaufgaben 266 Funktionenfolgen. Reihen mit veränderlichen Gliedern 95. Erklärungen Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz Gliedweise Grenzübergänge Kriterien für gleichmäßige Konvergenz Anwendungen und Beispiele, Beispiel einer durchweg stetigen, nirgends differenzierbaren Funktion Unendliche Produkte 101. Unendliche Produkte Unendliche Produkte mit positiven Gliedern Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz Nicht-absolute Konvergenz 289 Fünfter Grenzwerte und Stetigkeit der Funktionen von mehreren Veränderlichen Punktmengen in mehrdimensionalen Räumen 105. Mehrdimensionale Räume Abstand. Dreiecksungleichung. Intervalle. Kugeln. Umgebungen Geraden. Polygonzüge. Kurven. Vektoren Koordinatentransformation Punktmengen in w-dimensionalen Räumen : 300 no. Häufungspunkte 301 in. Punktfolgen. Konvergenz 303 H2. Weitere Erklärungen und Sätze Gebiete, Kontinua 305 Funktionen von mehreren Veränderlichen 114. Feste und veränderliche Stellen. Funktionen Geometrische Darstellung einer Funktion von mehreren Veränderlichen Grenzwerte Stetigkeit 3" X

6 Seit«118. Stetigkeit einer mittelbaren Funktion Sätze über Funktionen, die in einem abgeschlossenen Bereiche stetig sind Sechster Ausdehnung der Differentialrechnung auf Funktionen von mehreren Veränderlichen Partielle Ableitungen 120. Partielle Ableitungen erster Ordnung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit der Gleichung f xv = f bx Unabhängigkeit partieller Ableitungen höherer Ordnung von der Reihenfolge der Differentiationen Vollständige Differenzierbarkeit und vollständige Differentiale.... * Richtungsableitung. Gradient Ausdehnung der Regel für die Differentiation einer mittelbaren Funktion Ausdehnung des Mittelwertsatzes Ausdehnung des Taylorschen Satzes Harmonische Funktionen 353 Siebenter Unentwickelte Funktionen Minima und Maxima der Funktionen von mehreren Veränderlichen Unentwickelte Funktionen 130. Gleichungen zwischen mehreren Veränderlichen Unentwickelte oder implizite Funktionen Höhere Ableitungen einer unentwickelten Funktion Unentwickelte Funktionen von mehreren Veränderlichen Systeme unentwickelter Funktionen von mehreren Veränderlichen Abbildung ebener Bereiche Inverse Abbildungen 382 Minima und Maxima der Funktionen von mehreren Veränderlichen 137. Minima und Maxima der Funktionen von mehreren Veränderlichen Beispiele Minima und Maxima mit Nebenbedingungen 394 Achter Die Begriffe Kurve und Fläche 140. Notwendigkeit einer genauen Erklärung Stetige Kurven Beispiele 400 XI

7 i Nr:,' Seite 143. Beispiel einer Peanokurve Jordansche Kurvenstücke Die v. Kochsche Kurve Rektifizierbare Kurven. Wege Glatte Kurven Stetig gekrümmte und analytische Kurvenstücke Parameterdarstellung eines KurVenstücks Darstellung eines ebenen Kurvenstücks durch eine Gleichung. Implizite und explizite Darstellung... : Darstellung eines räumlichen Kurvens'tücks durch zwei Gleichungen Darstellung eines Kurvenstücks in Polarkoordinaten Der Begriff Fläche Darstellung eines Flächenstücks durch eine einzige Gleichung 430 Neunter Kurven und Flächen zweiter Ordnung Kurven zweiter Ordnung 155. Gleichwertigkeit algebraischer Gleichungen Parabel, Ellipse, Hyperbel Ausartungen Zurückführung der Gleichung zweiten Grades auf möglichst einfache Formen Zusammenfassung ' Flächen zweiter Ordnung 160. Die Hauptachsentransformation» Übersicht über die Flächen zweiter Ordnung 461 Zehnter Elemente der Differentialgeometrie Tangenten und Normalen 162. Tangente, Normale und Normalebene Gleichungen von Tangente, Normale und Normalebene Richtungskosinus der Tangente einer ebenen Kurve Richtungskosinus der Tangente einer räumlichen Kurve Beispiele und Übungsaufgaben Tangentenebene eines Flächenstücks 487 Krümmung ebener Kurvenstücke 168. Krümmungsmittelpunkt als Grenzlage des Schnittpunktes zweier Normalen Krümmungskreis als Grenzlage eines Kreises durch drei Punkte Krümmung eines durch eine einzige Gleichung gegebenen Kurvenstücks Art der Berührung von Kurve und Krümmungskreis, Evolute Beispiele und Übungsaufgaben 506 XII

8 ffpt ' Inhaltsverzeichnis Einhüllende ebener Kurvenscharen, Seite ] 174. Beispiele Einhüllende einer einfach-unendlichen ebenen Kurvenschar Hinreichende Bedingungen für das Vorhandensein einer Einhüllenden Schnittpunkte benachbarter Kurven einer Schar 525 Elfter Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern und Funktionen einer komplexen Veränderlichen 178. Vorbemerkungen 529 Zahlenfolgen und unendliche Reihen mit komplexen Gliedern 179. Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern Punktmengen in der Ebene der komplexen Zahlen. Gebiete und Wege Unendliche Reihen und Produkte mit komplexen Gliedern Potenzreihen, Konvergenzkreis 539 Funktionen einer komplexen Veränderlichen 183. Funktionen einer komplexen Veränderlichen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen) 544 Die elementaren analytischen Funktionen 188. Polynome. Fundamentalsatz der Algebra Produktdarstellung der ganzen rationalen Funktionen Rationale Funktionen. Teilbruchzerlegung Die Exponentialfunktion Die trigonometrischen Funktionen Die Hyperbelfunktionen Die Logarithmusfunktion...' Die allgemeine Potenz Die zyklometrischen und die Area-Funktionen 571 Zwölfter Analytische Funktionen und konforme Abbildung Grundregeln der Differentialrechnung für Funktionen einer komplexen Veränderlichen 197. Begriff der Differenzierbarkeit. Analytische Funktionen Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Die Laplacesche Differentialgleichung Hinreichende Bedingungen für die Differenzierbarkeit 580 XIII

9 . Stile 201. Grundregeln der Flfferentialrechnung Differentiation inverser Funktionen Differentiation des Logarithmus, der zyklomctrischen und der Area-Funktionen 585 Konforme Abbildung 204. Abbildung durch reguläre Funktionen. Konforme Abbildung Beispiele Abbildung durch ganze lineare Funktionen Die Abbildung durch w = \jz. Reziproke Radien Der Punkt 00 (unendlich) Spiegelung an einem beliebigen Kreise Reziproke Radien im Räume 605 2ti. Stereographische Projektion. Die Riemannsche Zahlenkugel Abbildung durch beliebige lineare Funktionen. Fixpunkte. Doppelverhältnisse 611 Namen- und Sachverzeichnis zum zweiten Bande 6i*> Mathematische Zeichen Trigonometrische und hyperbolische Funktionen sin cos tg ctg aresin arecos arctg oj 29 tg 9tt in 2Ir of «t g %i tg (sin)* (cos) (tan) (cot) (Aresin) (Arecos) (Arctan) (Arccot) (sinh) (cosh) (tanh) (coth) (arsinh) (arcosh) (artanh) (arcoth) Sinus Kosinus Tangens Kotangens Arkussinus (Hauptwert) Arkuskosinus (Hauptwert) Arkustangens (Hauptwert) Arkuskotangens (Hauptwert) Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus Kotangens hyperbolicus area-sinus hyperbolicus area-cosinus hyperbolicus area-tange.ns hyperbolicus area-cotangens hypetbolicus * In Klammern Abkürzung nach TGL. XIV