Entwicklung eines hybriden Algorithmus für adaptive Regler im geschlossenen Regelkreis

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Samuel Roth
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1 Entwicklung eines hybriden Algorithmus für adaptive Regler im geschlossenen Regelkreis Ensio Hokka Problemstellung In vielen industriellen Regelapplikationen besteht die Notwendigkeit die Parametrisierung von Reglern in zeitlichen wiederkehrenden Abständen zu überprüfen, wenn die Systemeigenschaften der Regelstrecke zeitlich veränderlich sind. Da diese zeitvarianten Regelstrecken den Regelkreis soweit verändern können, daß der Regelkreis instabil werden kann, sind Konzepte wie robuste oder adaptive Regler entworfen worden. Die Zielvorgabe bei selbsteinstellenden Reglern lautet, die Reglerparameter durch einen Adaptionsalgorithmus wenn notwendig soweit zu verändern, daß der geschlossene Regelkreis unabhängig von einer sich ändernden Strecke gleichbleibende Eigenschaften behält. So kann man beispielsweise zwischen Sollwert und Regelgröße eine Wunschübertragungsfunktion definieren, die unverändert bleiben soll, oder bei einfachen Konzepten wird nur die Dämpfung des Regelkreises auf einem konstanten Wert gehalten. Die hier untersuchten Adaptionsalgorithmen gehören zu einer Unterklasse aller adaptiven Regler, da der Sollwert auf einem konstanten Wert gehalten wird, der Regelkreis daher nur die Aufgabe hat Störungen auszuregeln. Dies ist ein typisches Problem, das häufig in der Prozeßindustrie auftritt. Folgendes Schema wird daher als Grundlage für alle weiteren Betrachtungen herangezogen: Abbildung 1 Geschlossener Regelkreis Für v(k) wird angenommen, daß es sich um eine Sequenz von unabhängigen Zufallswerten handelt, die zu jedem Zeitpunkt gleiche Verteilung haben und die Standardabweichung σ besitzen.

2 Prinzip hybrider adaptiver Regler Hybride adaptive Regler verkörpern eine Mischform zwischen direkten und indirekten Adaptionsalgorithmen. Die beiden letzt genannten Adaptionsalgorithmen gehören zur Familie der Model Identification Adaptive Control, wobei als Modell die Übertragungsfunktionen des Prozesses, der aus Regelstrecke mit Störfilter besteht, geschätzt werden. Folgende Ziele werden verfolgt Reglerstruktur soll unabhängig der Streckenordnung gewählt werden können, insbesondere sollen industriell herkömmliche Regler mit beispielsweise PI- oder PID- Strukturen adaptiert werden. Modellfehler durch fehlerhafte Annahmen der Ordnung von Strecke und Störfilter soll keine gravierende Auswirkung auf das Adaptionsergebnis zeigen. Robustheit gegenüber einer fehlerhaften Annahme der Streckentotzeit Als Konsequenz der beiden letztgenannten Punkte, sollen Änderungen der Modellstruktur möglich sein. Vermeidung des Problems bei Allpaßgliedern, die eine Faktorisierung des Zählerpolynoms B(q -1 ) notwendig machen, um eine Kürzung der Nullstellen, die außerhalb des Einheitskreises liegen, zu verhindern. Folgende Darstellung soll die Methode hybrider adaptiver Algorithmen charakterisieren: Abbildung 2 Hybride Adaption

3 Bei der Auslegung des Regler geht man vom Gewißheitsprinzip aus, indem der Regler so entworfen wird als ob die geschätzten Parameter der Strecke mit den wirklichen Werten übereinstimmen würden Hybride Adaptionsalgorithmen können aufgrund dieses Prinzips folgendermaßen realisiert werden: Zu jedem Zeitpunkt k werden die Prozeßparameter mit Hilfe des rekursiven ELS- Algorithmus neu geschätzt [1]: [ ] θ ( k ) = θ ( k 1 ) + γ ( k ) y ( k ) ϕ ( k 1 ) θ ( k 1 ). (1) Aufgrund des Gewißheitsprinzipes werden Schätzungenauigkeiten außer Acht gelassen und der Regler mit Hilfe der geschätzten Parameter ausgelegt : * * * y ( k) = ϕ ( k 1) Γ ( k+ 1) + ε ( k) (2) Wobei folgende Vektoren definiert sind: Reglerparameter: ( 1, 2,...,, 0, 1,..., ) Γ= r r rµ s s sν (3) Prozeßparameter: ( 1, 2,...,, 1, 2,...,, 1, 2,...,, 1, 2,..., ) θ = a a a b b b c c c d d d na nb nc nd und ϕ * (k) aus gefilterten Ein- und Ausgängen des Prozesses besteht. Simulation hybrider Adaptionsalgorithmen Wie aus (4) und (5) zu erkennen ist, sind die Schätzung der Prozeßparameter und Berechnung der Reglerparameter, eine ineinander verwobene Prozedur. Um die theoretischen Ergebnisse durch Simulationen zu unterstützen, wurden mit Hilfe von SIMULINK, das eine graphische Simulationserweiterung von MALAB darstellt, die hybriden Adaptionsalgorithmen implementiert. Hierbei wurden die verschiedensten Kombinationen von Regler- und Streckenstrukturen simuliert. Als Beispiel sei bei folgendem System das Adaptionsverhalten dargelegt: Als Strecke sei ein System 2. Ordnung ohne otzeit angenommen. Die Übertragungsfunktion lautet wie folgt:

4 1 2 z z G ( 1 S z ) = z z 1 2 Diese Übertragungsfunktion besitzt zwei Pole bei z=-0.9 und z=-0.95, weiters eine Nullstelle bei z= Das Störfilter habe folgende Form: G ( 1 Z z ) 1 = z z 1 2 Die Strecke soll mit einem PD-Regler geregelt werden: G ( 1 R z ) = s0 + s1z 1 Betrachtet man die Parameter des hybriden Adaptionsalgorithmus die geschätzt werden müssen, so lauten nach (6) die Prozeßschätzwerte, wenn die Ordnungen von Regelstrecke, Störfilter und die otzeit richtig angenommen werden: (,,, ) θ = a a b b , und der Reglerparametervektor nach (7): ( ) Γ= s, s. 0 1 Die Anfangswerte werden folgendermaßen gesetzt: θ ( 0 ) = 0, 00,, 0 ( ) ( ) Γ( 0) = 010., In der Praxis wird θ(0) durch eine Voridentifikation bereits sinnvolle Werte besitzen, bevor die Adaption gestartet wird. In diesem Beispiel soll das Konvergenzverhalten weit weg von den wahren Werten illustriert werden. Den Verlauf der beiden Reglerparameter ist im folgenden Bild dargestellt:

-10 0 2000 4000 6000 8000 10000 Abbildung 3 Verlauf der Parameter des PD-Reglers k Die grüne Linie entspricht so während blau zu sr gehört.

5 Abbildung 3 Verlauf der Parameter des PD-Reglers k Die grüne Linie entspricht so während blau zu sr gehört. Man erkennt, daß nach einer Einschwingphase die Parameter des Reglers um konstante Werte mit geringen Varianz schwanken. Dem folgenden Bild entnimmt man den Verlauf der Regelgröße y(k): Abbildung 4 Verlauf der Regelgröße k Deutlich zu erkennen ist der Umstand, daß die Standardabweichung der Regelgröße abnimmt und einen konstanten Wert beibehält.

6 Deutlich zu erkennen ist der Umstand, daß die Standardabweichung der Regelgröße abnimmt und einen konstanten Wert beibehält. Literatur [2] Isermann R., Identifikation dynamischer Systeme Bd. 1, Springer-Verlag 1987 [3] Aström K., Wittenmark B., On Self tuning Regulators,Automatica 9 S

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