Hinweise vor Beginn der Bearbeitung

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1 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 1 Bachelor-Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL Wintersemester 2016/ Bitte gut leserlich ausfüllen! Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe Punkte Hinweise vor Beginn der Bearbeitung 1. Bitte überprüfen Sie ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält: Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Hinweise zur Bearbeitung Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben Ihrer Wahl. Notation und Symbole: sind aus der Vorlesung übernommen. Bearbeitungszeit: zusammen 90 Minuten für Dynamische Methoden und Quantitative Methoden. Punkteverteilung: Pro Aufgabe sind maximal 10 Punkte erreichbar.

2 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 2 Aufgabe 1: Grundlagen (Theorie) (a) Erklären Sie, was genau durch die folgenden abstrakten Konzepte formalisiert wird: Abstraktes Konzept... Folge Differenzengleichung... ist Formalisierung für (b) Definieren Sie, was man unter einer Lösung einer DGL versteht. (c) Wie viele Startwerte werden benötigt, um die Lösungsfolgen der folgenden DGLn zu berechnen? DGL Anzahl an Startwerten x t = x 3 t 1 + x 1 t 3 λ i = λ 1 i 1 + λ2 i 1 λ3 i 2 + eπ (d) Geben Sie eine DGL an, die zwar auf ganz R definiert ist, deren Lösung aber nicht zu allen Startwerten aus der Definitionsmenge bis ins Unendliche berechnet werden kann. (e) Stellen Sie die DGL zu folgender Situation auf: Der Erwärmungstrend der globalen Durchschnittstemperatur beträgt 0,13 C pro Jahrzehnt. Erläutern Sie dabei, was Ihre Zustandsvariable ist und wie Sie eine Periode definieren.

3 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 3 Aufgabe 2: Ruhepunkte (Theorie) Gegeben sei die DGL 1.Ordnung x t = f(x t 1 ) mit Ruhepunkt k. (a) Definieren Sie formal präzise, was man darunter versteht, dass ein Ruhepunkt k stabil ist. (b) Zeigen Sie, dass aus einer Sekantensteigung zwischen x t und k, die betragsmäßig kleiner eins ist, folgt, dass x t+1 näher am Ruhepunkt liegt als x t. (c) Kreisen Sie in den folgenden Graphen alle Ruhepunkte deutlich erkennbar ein. Markieren Sie stabile Ruhepunkte mit einem S und nicht stabile mit einem N. 5 4 x t Achse f(x t ) 5 4 x t Achse f(x t ) x t x t (d) Nehmen Sie nun konkret an, dass f als f(x) := 2 x gegeben ist. Berechnen Sie den nicht-trivialen Ruhepunkt und untersuchen Sie, ob er stabil ist. (e) Nun sei f(x) := ax + b gegeben. Markieren Sie auf dem folgenden Zahlenstrahl, wie die Stabilität des Ruhepunkts von a abhängt. Insbesondere das Verhalten in den Fällen a = 1, a = 0, a = 1 soll klar aus ihrer Antwort hervorgehen a

4 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 4 Aufgabe 3: Lineare DGLn (Theorie) Betrachten Sie die folgende lineare DGL 2.Ordnung: x t = 1 4 x t x t 2 (a) Hat diese DGL einen Ruhepunkt, und falls ja wo? (b) Stellen Sie das charakteristische Polynom auf. (c) Setzen Sie das charakteristische Polynom gleich 0 und lösen Sie es auf. Geben Sie die allgemeine Lösung der DGL an. (d) Wie lauten die beiden Gleichungen, die bei gegebenen Startwerten x 0 = 0 und x 1 = 3 die Konstanten c 1 und c 2 bestimmen? (e) Lösen Sie die beiden Gleichungen aus Aufgabenteil (d) nach c 1 und c 2 auf. Wie lautet die spezielle Lösung der DGL zu diesen Startwerten folglich?

5 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 5 Aufgabe 4: Erwartungs-DGLn (Theorie) (a) Geben Sie zwei Beispiele für intertemporale Zusammenhänge, welche die Einführung von Erwartungs-DGLn rechtfertigen. (b) Gegeben sei die folgende lineare Rückwärts-DGL 1.Ordnung: x t = ax t+1 + b t. Rechnen Sie iterativ von x t+2 auf x t zurück und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich ( verwenden). (c) Vorausgesetzt alle nötigen Grenzwerte existieren, welche Lösung der DGL in (b) lässt sich daraus ableiten? (d) Betrachten Sie nun die lineare Erwartungs-DGL 1.Ordnung x t = 1 2 E t(x t+1 ) + 2. Berechnen Sie eine Lösungsfolge mit beschränkten Erwartungswerten. (Hinweis: Geometrische Reihe k=0 zak = z 1 a.) (e) Kann es in Teilaufgabe (d) weitere Lösungfolgen mit beschränkten Erwartungswerten geben? Begründung!

6 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 6 Aufgabe 5: Staatshaushalt (Anwendung) Bezeichne D t den Schuldenstand des Staats, r = 2% den (konstanten) Zinssatz und P den (konstanten) Primärüberschuss (Steuereinnahmen abzüglich Ausgaben ohne Zinsen). Setzen Sie überall so weit wie möglich Zahlen ein! (a) Wie lautet die DGL 1.Ordnung, die die Entwicklung des Schuldenstands D t im Zeitablauf beschreibt? (b) Welcher konstante Wert D erfüllt die DGL in Aufgabenteil (a)? (c) Wie lautet die allgemeine Lösung der DGL aus Aufgabenteil (b)? (d) Wie entwickeln sich die Lösungsfolgen in Abhängigkeit vom Startwert D 0? Zeichnen Sie die zu unterscheidenden Bereiche auf dem Zahlenstrahl ein und beschriften Sie sie entsprechend. D 0 (e) Gegeben D 0 = 100, wie muss der Primärüberschuss P gewählt werden, um den Schuldenstand konstant zu halten?

7 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 7 Aufgabe 6: Populationsmodell (Anwendung) Eine Population wächst pro Periode mit der größenabhängigen Wachstumsrate r(n) = N + 2. (a) Bei welcher Populationsgröße N kommt das Wachstum der Population zum Erliegen? (b) Stellen Sie die DGL für das Wachstum der Population auf und vereinfachen Sie die Gleichung so weit wie möglich. (c) Bestimmen Sie Typ und Ordnung der DGL. (d) Im folgenden ist die DGL aus Teilaufgabe (b) dargestellt. Zeichnen Sie die Entwicklung der DGL zum Startwert N 0 = 30 ein und lesen Sie N 3 möglichst genau ab. N 3 = x t+1 DGL (e) Berechnen Sie die Ableitung der DGL am Ruhepunkt N = 100. Ist der Ruhepunkt stabil? (Ohne Begründung.) x t (f) Prognostizieren Sie die langfristige Entwicklung dieser Population.

8 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 8 Aufgabe 7: Marktmodell (Anwendung) Nachfrage und Angebot in einem Markt lauten: D t = 20 3P t bzw. S t = P t. (a) Berechnen Sie den markträumenden Preis P. (b) Illustrieren Sie den Markt anhand der üblichen Grafik mit dem Preis auf der waagrechten und D t und S t auf der senkrechten Achse (geben sie dabei alle Achsenabschnitte der beiden Geraden explizit an). (c) Die Preisanpassung erfolgt gemäß P t+1 P t = 1 10 (D t S t ). Benutzen Sie die Formeln für D t und S t, um eine DGL in P t herzuleiten. (d) Gegeben den Startwert P 0 = 0, berechnen Sie P t für t = 1,..., 4. P 1 P 2 P 3 P 4 (e) Ist der Markt stabil? Entwickeln sich die Preise zyklisch oder monoton? (Jeweils mit Begründung!)

9 Dynamische Methoden der VWL - Klausur WS 2016/17 Seite 9 Aufgabe 8: Aktienkurs-Bubbles (Anwendung) Seien x t und ε t der Kurs bzw. die (noch in der Kaufperiode gezahlte und wiederangelegte) Dividende einer Aktie und r der risikolose Zins. (a) Formulieren Sie die Gleichung, die besagt, dass in der Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten ein gleiches erwartetes Vermögen aus Anlage von x t Euro in festverzinslichen Titel bzw. bei Anlage in Aktien resultiert. (b) Nehmen Sie an, dass die Dividende konstant ist: ε t = ε. Leiten Sie aus (a) die DGL für x t her und berechnen Sie den Fundamentalkurs. Vereinfachen Sie so weit wie möglich. (Hinweis: Geometrische Reihe k=0 zak = z 1 a.) (c) Nennen Sie den Fundamentalkurs aus Aufgabenteil (b) f. Definieren Sie die Abweichung zwischen einem Kurs x t und f als Bubble b t. Ermitteln Sie aus Ihrer Antwort zu Aufgabenteil (a) die Erwartungs-DGL, die eine Bubble erfüllen muss, damit x t = f + b t ein valider Gleichgewichtskurs ist. (d) Welche Gleichung beschreibt b t+1, wenn eine Bubble mit Wahrscheinlichkeit 1 p auf einen Wert η t+1 platzt und ansonsten um den Faktor (1 + r)/p wächst? (e) Zeigen Sie, dass die Bubble aus Aufgabenteil (d) die Erwartungs-DGL aus Aufgabenteil (c) erfüllt, wenn E t η t+1 = 0 gilt.