Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

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1 Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

2 Internet Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

3 Lösungen im Internet Die zugehörigen Manuskripte mit theoretischem Hintergrund und weiteren Aufgaben finden Sie unter der folgenden Adresse: Bei Fragen können Sie mich jederzeit unter der folgenden Mail-Adresse erreichen:

4 Manuskript Vorkurs Mathematik Wirtschaftsingenieurwesen und Informatik DHBW Stuttgart Campus Horb Dozent Dipl. Math. (FH) Roland Geiger

5 Inhaltsverzeichnis Lösungen im Internet...3 Termumformungen...7 Bruchrechnung Potenzen und Wurzeln Binomische Formeln Logarithmen Summenzeichen Produktzeichen, Fakultät und Binomialkoeffizient Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Der Vietasche Satz Quadratische Ergänzung Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Substitution Logarithmische Gleichungen Exponentialgleichungen Quadratische Exponentialgleichungen Betragsgleichungen Betragsungleichungen Gleichungen mit Parametern Textgleichungen Polynomdivision Lineare Gleichungssysteme (LGS) Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit Parametern Ungleichungen Matrizen Determinanten Folgen und Reihen Grenzwerte, Stetigkeit und Differentiation Ableitungen Verlauf von Funktionen Integration Extremwertaufgaben Trigonometrie

6 Wichtige trigonometrische Werte Trigonometrische Gleichungen Vektorrechnung

7 Termumformungen Aufgabe 1: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen. a) (4x 3)(2x 4) (2x + 6)(3x 2) b) (3y 5)(7y 11) (2y 1)(3y 4) c) (3x + 3)(2x 3) (4x 1)(2x + 5) d) 17xy (4x + 3y)(8x 2y) e) 9rs (2r + 3s)( 4r 2s) f) (9a 3b)(12a 5b) 14ab 5a² a) 2x² 36x + 24 b) 15y² 57y + 51 c) = 2x² 21x 4 d) xy 32x² + 6y² e) 25rs + 8r² + 6s² f) 103a² 95ab + 15b² Aufgabe 2: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen. a) 6y² + 4x² 22 + (2x + 3y)(3x 4y) b) 28a 4 + (5a 4a²)(a + 4a²) 4a² 3a³ c) 35 (11 5x)(3 2x²) + 2x² + 3x³ 4x d) (a 2b)(2a 3b) (a 4b)(3a 3b) e) (x + 7)(x 3) 3x² (x + 1)(x 9) f) (9a + 5)(2a 7) 3a² (a 1)(a + 3) a) 6y² + 10x² 22 + xy b) 12a4 + a² + 13a³ c) 7x³ + 24x² + 11x + 2 d) a² + 8ab 6b² e) 3x² + 12x 12 f) 14a² 55a 32 Aufgabe 3: 7-348

8 Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen a) a b 2a b b² a b 3 1 3a 6b a² b² b) c) x y x y x y x y x² y² d) s r s r s² s r s r a) a² ab b² b) x² xy y² c) s² rs r² d) s² rs r²

9 Aufgabe 4: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen Aufgabe 5: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen Aufgabe 6: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen Aufgabe 7: Bestimmen Sie die Definitionsmenge für a und vereinfachen Sie soweit wie möglich

10 Aufgabe 8: Bestimmen Sie die Definitionsmenge für x und vereinfachen Sie soweit wie möglich

11 Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Definitionsmenge für k und vereinfachen Sie soweit wie möglich. Aufgabe 10: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und vereinfachen Sie soweit wie möglich. Aufgabe 11: Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie die Ausdrücke zusammen a) b)

12 c) d) e) a) b) c) d) e)

13 Bruchrechnung Aufgabe 12: Addieren Sie diese Zahlen: a) b) c) a) b)

14 c) Aufgabe 13: Kürzen Sie folgende Brüche soweit wie möglich. a) 12 6 b) a) 12 6 = 2 1 = 1 b)

15 56 24 = 7 3 Aufgabe 14: Erweitern Sie die folgenden Brüche auf den angegebenen Nenner. a) 7 5 = 25 b) 4 9 = 72 c) 2 7 = 56 a) 7 5 = = b) 4 9 = 72 = = c) 2 7 = 56 = =

16 Aufgabe 15: Berechnen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) b) c) a) = = 0 18 b) = = c) = = = Aufgabe 16: Berechnen Sie folgende Multiplikationen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) b) c) a) = =

17 b) = = 4 c) = = 25 Aufgabe 17: Wandeln Sie folgende gemischte Zahlen in Brüche um. a) b) c) a) = 13 5 b) = 11 2 c) =

18 Aufgabe 18: Berechnen Sie folgende Divisionen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) 12 5 : 15 7 b) 9 10 : 3 7 c) 1: 11 4 a) 12 5 : 15 7 = = = b) 9 10 : 3 7 = = = c) 1: 11 4 = = 4 11 Aufgabe 19: Wandeln Sie folgende Brüche in gemischte Zahlen um. a) 12 5 b) 9 7 c) 8 3 a) 12 5 =

19 b) 9 7 = c) 8 3 = Aufgabe 20: Schreiben Sie folgende Zehnerbrüche als Dezimalzahlen auf. a) 7 10 b) c) a) 7 10 = 0,7 b) = 0,03 c) = 0,

20 Aufgabe 21: Schreiben Sie folgende Dezimalzahlen als Zehnerbrüche. a) 0,3 b) 0,04 c) 0,007 a) 0,3 = 3 10 b) 0,04 = c) 0,007 = Aufgabe 22: Berechnen Sie folgende Ausdrücke. a) b) ( 2) c) a) = b) = = ( 2) = ( 2) = = = = 76 20

21 c) = = 30 8 = 15 4 Aufgabe 23: Berechnen Sie folgende Ausdrücke. a) b) c) : a) = b) = c) = = : = : 5 2 = = = = = =

22 Aufgabe 24: Kürzen Sie die Brüche soweit wie möglich. a) b) c) a) = 1 2 b) = 2 5 c) = = = 1 4 Aufgabe 25: Berechnen und kürzen Sie soweit wie möglich. a) : ( ) b) 3 4 : c) : ( ) a) : ( ) = : ( ) = : (76 )

23 = : (95 14 ) = = = = = 1 b) 3 4 : = = = 7 24 c) : ( ) = 4 3 : ( ) = = ( ) = (80 ) ( ) = = =

24 Potenzen und Wurzeln Aufgabe 26: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt = 4 2 Aufgabe 27: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. ( 5) 6 = 125 Aufgabe 28: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. 3 4 ( 64) 2 = 2 Aufgabe 29: Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. a 24 = a a

25 a 3 4 a Aufgabe 30: a a a 1 a 1 24 a a Formen Sie folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner so um, dass der rechts vom Gleichheitszeichen stehende herauskommt. (abc) = a2 b a 7 b 8 c 16 c

26 Aufgabe 31: Geben Sie als eine Potenz an und vereinfachen Sie. a) b) c) d) e) f) g) h) i) a) 7 2, 5 3, b) 10 7, c) ( u v), d) k 3 3, e) 1 2n 1 w, f) a km, g) u v, h) a 1 b 2n2 c n2, i) (a b) 5 yq k

27 Aufgabe 32: Schreiben Sie als eine Potenz und vereinfachen Sie den Ausdruck. a) b) ( 8) 3 ( 2) 3 c) 3 x 4 y 4 z 4 d) (a 2 ) n b n c n e) f) g) h) i) a) 3 6, b) 40 i) 3 27a Aufgabe 33: 3 4, c) 4 3 (xyz), d) 2 n ( a bc), e) Fassen Sie folgende Ausdrücke zusammen. 2k u, f) k ( 2,5a), g) v a b 2 2 n, h) n x y, a) b) c) d)

28 e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) a) 32x 9 y 5, b) m 4 4n a b, c) ( 2k4 k2 1)x y, d) 1 d, e) 1 2n m, f) u v c 3 k ( u v), g) 4 2 m ( p q ),

29 h) 7 9r 2 2, i) x y 22k 2, j) 2n 2 4 a b c(a 2c), p) 5 x 3 y 5,q) 6a u v u, k) n2 b 2 n2 n 4a b, r) 5 2n1 32 a, l) a b, m) 7 4 6p q 9p 3 q 3 (x (x p n y) x, n) n 1 y) y, o)

30 Aufgabe 34:

31 31-348

32 Aufgabe 35: Vereinfachen Sie mit Hilfe der Potenzgesetze. a) n 12 x, b) Aufgabe 36: 4 4 x, c) a 3 1, d) 1, e) Berechnen Sie ohne Taschenrechner: x 2 y, f) a b c, g) a, h) 8000 a 9 b 12, i) 1, j)

33 Aufgabe 37: Berechnen Sie ohne Taschenrechner:

34 34-348

35 Aufgabe 38: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a) (x 8 + x 6 x 5 ) : x² b) (15a³ + 12a 6 3a 4 ) : 3a² c) (21b 8 28b b 5 ) : 7b³ d) (3x n+3 9x 2n x n+5 ) : 3x² e) (35y m+2 20y 2m y m+8 ) : 5y m f) (4z a z 2a+5 12z a+4 ) : 2z a a) (x 8 + x 6 x 5 ) : x²= x 6 + x 4 x 3 b) (15a³ + 12a 6 3a 4 ) : 3a²= 5a + 4a 4 a² c) (21b 8 28b b 5 ) : 7b³= 3b 5 4b + 2b² d) (3x n+3 9x 2n x n+5 ) : 3x²= x n+1 3x 2n-6 + 4x n+3 e) (35y m+2 20y 2m y m+8 ) : 5y m = 7y² - 4y m+4 + 3y 8 f) (4z a z 2a+5 12z a+4 ) : 2z a = 2z 3 + 8z a+5 6z 4 Aufgabe 39: a) b) c) d) 4a b 2x y p q m n 5a b (6a (3a 6 5 (4x (2x b ) 2 b ) y )³ 3 y²) 2 10 a) 4 ab 8 6 xy 6 4 a b) 2 b p q 10m 10n c) = 16a 4 b 24 8 d) y 3 x

36 Aufgabe 40: Vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) b) c) x x x x x y 121x y 77x y x y x y y x n1 3n1 3n 2n 1 d) e) a b a b 5n1 15n 5n 6 5 n 4 (s s ) s f) (x²y³ + xy 4 ) 2 a) b) c) x x x x x² x y 121x y 77x y x y x²y² 11xy 7x³y³ x y y x 2n1 3n1 3n 2n 1 x² y 5n1 15n a b a b d) 5n 66n a b 6 5 n4 (s s ) s e) n2 n1 s s f) 4 (x²y³ xy )² 5n x y 2x³y x²y

37 Aufgabe 41: Vereinfachen Sie soweit wie möglich: x 9y 0,5z 3x a) 1,5y 18z 3x (3x 6x ) x y 4 2 b) x y (a x ) c) (a x ) d) e) f) x 2x x n x n2 n1 n 5 1 x 1 x a a x 7 2 a a n1 n2 n n1 a) b) x 9y 0,5z 3x 1,5y 18z 3x xz (3x 6x ) x y 4 2 x y 9xy³ c) d) e) f) (a x ) (a x ) x² a² x 2x x n x x² 2x 1 n2 n1 n 5 1 x 1 7 x 1 7 x x a a a a a 2 n1 n2 n n

38 Aufgabe 42: Vereinfachen Sie soweit wie möglich: a) b) c) ,2xy z (0,5x²yz 0,8xy²z 1,2xyz ) (x y x y x y ):(xy) 4 5 x x 5 : 3 8 2x b³ d) 2 2 5r 7s 21c 6d 7c 2d 5r 7s e) 7 2x 5x 5x 4x f) : 9 8 4y 8y ,2xy z (0,5x²yz 0,8xy²z 1,2xyz ) a) 0,6x³y z 0,96x²y z 1,44x² yz (x y x y x y ) : ( xy) b) x²y³ x y² x³y c) 4 5 x x 5 : 3 8 2x b³ b³x r 7s 21c 6d d) 7c 2d 5r 7s e) x 5x 5x 4x : 9 8 4y 8y f) 5 x y

39 Binomische Formeln Aufgabe 43: Berechnen Sie folgende Binomische Formeln a: (y+5) 2 b: (x-12) 2 c: (a+3)(a-3) a: (y+5) 2 = y y + 25 b: (x-12) 2 = x 2-24x c: (a+3)(a-3) = a 2-9 Aufgabe 44: Erstellen Sie aus den folgenden Ausdrücken eine Binomische Formel: a: a 2-6ab + 9b 2 b: 4x 2 + 4xy + y 2 c: 4a 2-12ab + 9b 2 a: a 2-6ab + 9b 2 = ( a - 3b ) 2 b: 4x 2 + 4xy + y 2 = ( 2x + y ) 2 c: 4a 2-12ab + 9b 2 = ( 2a - 3b) 2 Aufgabe 45: Besetzen Sie die Platzhalter * a: (3x + * ) 2 = * + * + 49 b: (* - 4 ) 2 = * - 48y + * c: (* + * ) 2 = 4x x + * d: (* + * ) 2 = * + 180x e: (* - * ) 2 = 36x 4-24x 2 + * f: (* - * ) 2 = * - 130a g: (3a + * )(* - 5 ) = * - * h: (* - *)(* - * ) = 49a 4-9b 2 i: (* + * )(* - 3c ) = - * + 4d 2 j: (* + 6 )(* - * ) = * - 100p 6 k: (* - * ) 2 = 16a 2 b 2-40a 3 b 4 c + *

40 l: ( * + * ) 2 = 0,25x 4 + 0,2x 2 y 2 + * a: (3x + 7) 2 = 9x x + 49 b: (6y - 4 ) 2 = 36y 2-48y + 16 c: (2x + 8 ) 2 = 4x x + 64 d: (9x + 10 ) 2 = 81x x e: (6x 2-2x ) 2 = 36x 4-24x 2 + 4x 2 f: (5a - 13 ) 2 = 25a 2-130a g: (3a + 5 )(3a - 5 ) = 9a 2 25 h: (7a - 3b)(7a - 3b ) = 49a 4-9b 2 i: (2d + 3c )(2d - 3c ) = - 9c 2 + 4d 2 j: (10p )(6-10p 3 ) = p 6 k: (4ab - 5a 2 b 3 c ) 2 =16a 2 b 2-40a 3 b 4 c + 25a 4 b 6 c 2 l: (0,5x 2 + 0,2y 2 ) 2 =0,25x 4 +0,2x 2 y 2 + 0,04y

41 Aufgabe 46: Berechnen Sie folgende Terme: a: ( u - 3v ) 2 + ( v + 2u ) 2 b: ( a - ½ b ) 2 + ( ¼ b + 3a ) 2 c: ( x + 3 ) ( x - 3 ) - (2x+7) 2 + ( - x - 1 ) 2 d: (5p + 3r ) 2 - ( ep-25)( 4p + 2r ) a: ( u - 3v ) 2 + ( v + 2u ) 2 = u 2-6uv + 9v 2 + v 2 + 4uv + 4u 2 = 5u 2-2uv + 10v 2 b: (a-½ b) 2 + (¼b+3a ) 2 = a 2 - ab + ¼ b 2 + 1/16 b 2 + 3/2 ab + 9a 2 = 10a 2 + ½ ab + 5/16 b 2 c: (x+3) (x-3)-(2x+7) 2 + (-x-1) 2 =x 2-9-4x 2-28x-49+x 2 +2x+1 = -2x 2-26x -57 d: (5p + 3r ) 2 - ( 4p-2r)( 4p + 2r ) = 25p pr + 9r 2-16p 2 + 4r 2 = 9p pr + 13r 2 Aufgabe 47: Formen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln um, und vereinfachen bzw. fassen zusammen: a) 2a 6 18 b) c) 2 3x 10xy 2 16p 24pr 8y 9r

42 9 0,04a 2 d) 25 e) f) 2 40r 64rs 9 25 a g) 116a 5b h) Aufgabe 48: b 2 56ab 221b 2 2 Vereinfachen Sie so weit wie möglich: s (3x + 2) 2 + (1 x) 2 (2x + 1)(5x 2) 2 9x

43 Logarithmen Aufgabe 49: Formen Sie folgende Gleichung in Logarithmusschreibweise um. 5 x = x = 125 log = x Aufgabe 50: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner. log log = Aufgabe 51: ln (33) ln (11) = 1,4582 Fassen Sie folgenden Ausdruck zusammen. log 8 (a) + log 8 (a 2 ) log 8 (a) + log 8 (a 2 ) = log 8 (a a 2 ) = log 8 (a 3 ) Aufgabe 52: Schreiben Sie folgenden Term als einzelne Terme. log 4 (2kx) log 4 (2kx) = log 4 (2k) + log 4 (x) Aufgabe 53: Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmengesetzen um. log 11 (8) log 11 (8) = log 11 (2 3 ) = 3 log 11 (2) Aufgabe 54: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck

44 log 2 (a) log 2 (b) log 2 (a) log 2 (b) = log 2 ( a b ) Aufgabe 55: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 1 2 log 10(4) + 3 log 10 (6) 2 log 10 (3 2 2 ) 1 2 log 10(4) + 3 log 10 (6) 2 log 10 (3 2 2 ) = 1 2 log 10(2 2 ) + 3 log 10 (2 3) 2 log 10 (3) + 2 log 10 (2 2 ) = 2 2 log 10(2) + 3 log 10 (2) +3 log 10 (3) 2 log 10 (3) + 4 log 10 (2) = log 10 (3) Aufgabe 56: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 2 log 5 (x) log 5(x 4 ) log 5 (x 2 ) 2 log 5 (x) log 5(x 4 ) log 5 (x 2 ) = 2 log 5 (x) log 5(x) 2 log 5 (x) = 2 log 5 (x) Aufgabe 57: Wandeln Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe von Logarithmengesetze in einzelne Logarithmen um. 1 log a ( x2 2y z )

45 1 log a ( x2 2y 3 z ) = log a ( x y 1 3 ) = log z 1 a (x y 1 3) log a (z 1 6) 6 = log a (x 2 3) + log a (2 1 3) + log a (y 1 3) log a (z 1 6) = 2 3 log a(x) log a(2) log a(y) 1 6 log a(z) Aufgabe 58: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 log x (a) 3 2 log x(b 2 ) 2 3 log x ( a 3 ) 4 log x (a) 3 2 log x(b 2 ) 2 3 log x ( a 3 ) = 4 log x (a) 6 2 log x(b) 2 3 log x (a 3 2) = 4 log x (a) 6 2 log x(b) log x(a) = 4 log x (a) 3 log x (b) log x (a) = 3 log x (a) 3 log x (b) = 3 (log x (a) log x (b)) = 3 (log x ( a b )) = log x ( a b ) 3 Aufgabe 59: Wandeln Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe von Logarithmengesetze in einzelne Logarithmen um. lg ( x2 y 3 z abc 2 ) lg ( x2 y 3 z abc 2 )

46 lg ( ( x2 y 3 2z abc 2 ) = lg ( xy 2z 1 2 ) = lg (x y 3 a 1 2b 1 2 z 1 2) lg (a 1 2 b 1 2 c) 2c ) = lg(x) + lg (y 3 2) + lg (z 1 2) lg (a 1 2) lg (b 1 2) lg(c) = lg(x) 3 2 lg(y) lg (z1 2) 1 2 lg(a) 1 lg(b) lg(c) 2 Aufgabe 60: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 1 3 log 8(x 2 y 2 z) log 8(x 1 yz) 1 3 log 8(x 2 y 2 z) log 8(x 1 yz) = 1 3 (log 8(x 2 y 2 z) log 8 (x 1 yz)) = 1 3 (log 8 ( x2 y 2 1 z x 1 yz )) = 1 3 log 8(x 3 y 3 ) = 1 3 log 8 ( x3 y 3) = log 8 ( x3 3 y 3) = log 8 ( x y ) Aufgabe 61: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log t a + log t (ab) log t b log t a + log t (ab) log t b = log t a log t ((ab) 1 2) log t b = 1 2 log t a + log t a log t b log t b = 1 2 log t a 1 2 log t a 1 2 log t b log t b = 0 Aufgabe 62: Lösen Sie folgenden Ausdruck in einzelne Logarithmen auf

47 3 lg ( a2 b 2 c 4ef 2 ) 3 lg ( a2 b 2 c 4ef 2 ) = lg (( a2 b 2 1 c 4ef 2 ) 3) = lg ( a2 3b 2 3c 1 3 ) 4 1 3e 1 3f 2 3 = 2 3 lg(a) lg(b) lg(c) 1 3 lg(4) 1 3 lg(e) 2 lg (f)

48 Summenzeichen Aufgabe 63: Gegeben seien folgende Größen: Berechnen Sie: 43, 47, 20, 6, 8 Aufgabe 64: Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens: (a) , (b) (c) , , (d) , (e) 4n + 8n 16n + 32n 64n, (f) , (g), (h) (i) i a) 1 i, b) 33 4 i1 f) 1 3 i0 4 i1 45 Aufgabe 65: i 2 i 1 i, g) ( 1) 2 i3 2 i 5 1 i, c) i 1 i, h) i1 2 3, d) 2 i, e) i i ( 1) i3 (2i 1) 2 n 6 i2 ( 1) i 1 7 i1 2 i, i) ( 1) 3i i i

49 Es sind folgende Werte gegeben: a1 = 10, a2 = 11, a3 = 12 b1 = 24, b2 = 22, b3 = 20 Bilden Sie folgende Summen: 3 i1 3 a i, i1 3 2 b i, i1 a i b i = = 33 = 24² + 22² + 20² = 1460 Aufgabe 66: = = 722 Stellen Sie folgenden Ausdruck in der Summenweise dar: Aufgabe 67: Berechnen Sie folgende Summe: 7 k3 k

50 k 7 3 k Aufgabe 68: Berechnen Sie folgende Summe: 8 5 k 5 k 8 5 k k Aufgabe 69: Berechnen Sie folgende Summe: 5 4 k 2 1) 3k k ( 70 1) 5 3 (5 1) 4 3 (4 1) 3k (k k 2 Aufgabe 70: Berechnen Sie die Doppelsummen: 4 1 i 3 1 j 3ij i )] (24 24) (24 12) (24 27) (18 18) (18 9) (18 18) (12 12) (12 6) (12 9) (6 6) (6 3) [(6 3ij 6i 4 1 i 3 1 j

51 Aufgabe 71: Gegeben seien die folgenden Tabellen von Zahlen: j aij i k bjk j Sowie die Variablen x1, x2, x3 und y1, y2, y3, y4. Berechnen Sie die Summen: (a) (b) 3 j1 3 j1 a, b 1 j j2 a, x 3 j j 2 (c) 1 k1 3 j1 jk b jk 3 a) a j1 3 b 1 j j2 b) a3 j x j 4x1 8x2 3x3 j1 2 c) ( 1) k1 3 j1 jk Aufgabe 72: Berechnen Sie die Doppelsummen: b jk (4 1 8) ( 6 0 3)

52 i j ij i )] (24 24) (24 12) (24 27) (18 18) (18 9) (18 18) (12 12) (12 6) (12 9) (6 6) (6 3) [(6 3ij 6i 4 1 i 3 1 j

53 Produktzeichen, Fakultät und Binomialkoeffizient Aufgabe 73: Schreiben Sie mit Hilfe des Produktzeichens a) * * * *, b) 7 * 9 * 11 *... * 49, c) 1 * (-2) * 4 * (-8) *... * (-128), d) a) i , b) ( 2i 1),c ) ( 1) i 2 i, d) 3 i Aufgabe 74: i3 i0 Berechnen Sie die folgenden Fakultäten: a) b) c) n 1!, 2n 1 n² 1! n 4 1 1! 1 n n 2! 6 1 i 1 1 i 1 ii i2 i a) b) c) n 1! n 1n n 1! n 1n 1 2n 2n n² 1! n² 1n² n² 1 n² 2 n 1 n² 1 n² n 2! n 1! n 1! n 2! n 1! n 2! 2!! n² n² 2! 4 n 2! n 21 n 1 1 n 1! n 2! n 2! n 2 n! Aufgabe 75: Schreiben Sie mit Hilfe des Fakultätszeichens als Summenschreibweise: a) , b) ,

54 c) a) = 2! + 3! + 4! + 5! = i ! 4! 5! 6! b) = ( 1) ! 2! 3! 4! i! c) i Aufgabe 76: Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten: 6 9 a) b) c) d) 8 5 i1 5 2 i! i3 i1 i! 3 a) b) c) d) ! 2!4! 9! 0!*9! 8! 8!*0! 6! 5!*1! 6 *5* 4! 15; 2 * 4! 1; 1; 6 *5! 6; 5!

55 Lineare Gleichungen Aufgabe 77: Lösen Sie folgende Gleichung. (x + 5)(x 5) = (x 10) 2 X=6,25 Aufgabe 78: Lösen Sie folgende Gleichung. ( 1 4 k l) (1 4 k 2 4 l) = 1 16 (k2 4l 2 ) + k 4 k=4 Aufgabe 79: Lösen Sie folgende Gleichungen: Aufgabe 80: Lösen Sie die Gleichung (p + a V2) (V b) = n R T nach der Variablen a auf. Nennen Sie auch Bedingungen, unter denen dies nur möglich sein kann

56 Aufgabe 81: Lösen Sie folgende Gleichungen. a) 7 ( x + 3) 5x = 2x +7 b) 3(x 9) 5(1-x) = 6(x - 4) c) x [15 4(2x 1)] = 3[3(x + 1) 5] d) 5(x 3) + 7 ( 2 x) = 4( 1 x) + 3x e) 4(3x + 4) (x + 1)=7(x + 1) + 4( x + 2) f) ( x 2) ( x 1) ( x ) x g) 3(0,1x + 3) + 8 = x 7(0,1x + 1) h) 5( x ) x 4( x ) i) 1,3(3x + 1) 0,3 = 8(0,3x + 2) j) ( x ) x (3x 5) a) unerfüllbar b) 4 c) unerfüllbar d) -5 e) allgemeingültig f) 12 g) unerfüllbar h) -0,5 i) 10 j) allgemeingültig Aufgabe 82: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 3(5x 2) 2(7x 4) = x

57 3(5x 2) 2(7x 4) = x x 6 14x + 8 = x + 2 x + 2 = x = 0 L = R Es gibt unendlich viele Lösungen. Aufgabe 83: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 2(4 3x) = 4(x 2) 2(4 3x) = 4(x 2) 8 + 6x = 8x 8 8x 8 2x = x = 0 : 2 x = 0 L = {0} Aufgabe 84: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichungen und geben die Lösungsmenge an. a) c) e) x 9 3x 4 2x 3 b) x 1 x 2 4x 5 2 d) x 5 5x 3 3x 5 f) x 5 5x 15 2x x 3 9x 9 2x 6 12 x 1 x 2 x x 9 3x 4 2x 3 3x 5 5x 15 2x 3 a) b) HN: 12 HN: 20 4x x 12 = 8x x x 15 = 8x + 12 L = { 12 } L = { 1 }

58 3x 1 x 2 4x 5 7x 3 9x 9 c) 2 d) 2x HN: 60 HN: 12 45x x 40 48x + 60 = x 6 = 24x 9x 9 L = { 5 } L = { 3 } 7x 5 5x 3 3x 5 x 1 x 2 x 5 e) f) HN: 10 HN: 12 35x 25 = 25x x x + 6 3x + 6 = x 15 L = { 5 } L = { 5 }

59 Quadratische Gleichungen Aufgabe 85: Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x 2 = 9 b) x 2-5x + 6 = 0 c) x 2-3x = -2 d) 2x 2-4x - 7 = 0 e) x = 0 a.) Lösungen: x = -3 und x = 3. b.) Lösungen: x = 2 und x = 3. c.) Lösungen: x = 1 und x = 2. d.) Lösungen: x = 1 - (3/2) 21/2 und x = 1 + (3/2) 21/2, wobei 21/2 für die Quadratwurzel aus 2 steht. e.) Es existiert keine (reelle) Lösung. Aufgabe 86: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. 2x = 12x 2x = 12x 12x 2x 2 12x + 16 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1 = = 4 4 x 2 = 12 4 = 2 4 L = {2; 4} Aufgabe 87: = 12 ± ( 12) Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 30 x 16 x + 1 = 13 x 2 = 12 ±

60 30 x 16 x + 1 = 13 x 2 D = R\{ 1; 0; 2} Hauptnenner: x(x 2)(x + 1) 30 (x 2)(x + 1) x(x 2)(x + 1) 16 x (x 2) 13 x (x + 1) = x(x 2)(x + 1) x(x 2)(x + 1) 30 (x 2)(x + 1) 16 x (x 2) = 13 x (x + 1) 30(x 2 + x 2x 2) 16x x = 13x x 30(x 2 x 2) 16x x = 13x x 30x 2 30x 60 16x x = 13x x 14x 2 + 2x 60 = 13x x 13x 2 x 2 + 2x 60 = 13x 13x x 2 11x 60 = 0 x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1 = = x 2 = = 4 2 L = { 4; 15} Aufgabe 88: = 11 ± ( 11)2 4 1 ( 60) 2 1 Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4 x x 4 = 8 x 3x 4 = HN 11 ± x x 4 = 8 x 3x 4 D = R\{0} Hauptnenner: 4x 4 4 4x x x 4x = 8 4 4x 3x x 4x 16 x 2 = 32 3x 2 + 3x x 2 = x 2 = 16 : 2 HN

61 x 2 = 8 x 1 = 2 2 x 2 = 2 2 L = {2 2; 2 2}

62 Der Vietasche Satz Aufgabe 89: Zerlegen Sie folgende quadratischen Gleichungen in Linearfaktoren. a) x 2 6x 8 b) x 2 2x 15 c) x 2 3x 4 d) x 2 6x 7 e) x 2 5x 7 f) x 2 1,5x 7 Aufgabe 90: a) ( x 2)(x 4) b) ( x 3)(x 5) c) Nicht möglich ( x 3 2)(x 3 2) d) x 2 6x 7 e) Nicht möglich 7 f) ( x 2)(x ) 2 Gegeben sind die quadratische Gleichung x 2 + 4x + u = 0 sowie eine Lösung x1 = 7. Gesucht sind x2 und u. Nach Vieta gilt x1+x2 = -4, somit 7+ x2 = -4, also x2 = -11. Weiter gilt x1 x2 = u, also u = 7 (-11)=

63 Quadratische Ergänzung Aufgabe 91: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichung mittels quadratischer Ergänzung. x² + 6x + 8 = 0 x² + 6x + 8 = 0-8 x² + 6x = - 8 x² + 6x + = x² + 6x + 3² = ² (x + 3)² = 1 x + 3 = 1 v x + 3 = - 1 x + 3 = 1 v x + 3 = - 1 x1 = - 2 x2 = - 4 L = { -2; -4 } Aufgabe 92: Der Scheitelpunkt ist gegeben, bestimmen Sie die Funktionsvorschrift! a) S ( 4 / 1 ) b) S (5 / 12 ) c) S ( 1 / ) d) S ( a / a ) Aufgabe 93: Bestimmen Sie den Scheitelpunkt! 2 a) f( x) x 6x 7 b) f( x) x 2 2 x c) f( x) x 2 x 1,75 2 d) f( x) x px q Aufgabe 94:

64 Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe der quadratischen Ergänzung! a) x x b) x x c) x ax d

65 Bruchgleichungen Aufgabe 95: Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung: Aufgabe 96: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 97: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 98:

66 Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 99: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 100: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: Aufgabe 101: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge:

67 Aufgabe 102: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: a.) b.) c.) 7 3a = 5 6a b b = c c = 11 9 a.) L = { - 6 } b.) L = { 3,3 } c.) L = { 3 } Aufgabe 103: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: a.) b.) c.) d.) 4 a+5 = b-2 = 12 b+7 2c+4 3c-5 = 5 2 2d d d = 2-1 d a.) L = { 7 } b.) L = { 3 } c.) L = { 5 } d.) D = Q\ { -1 ;0 } L = { - 5 }

68 Aufgabe 104: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: a.) b.) c.) 4 a+1 = 7 4a a-2 20b+2 6b+6-1 = 6b-4 2b+2 11c-2 2c+2-3c-1 c+3 = 5c+15 2c+6 a.) D = Q\ { -1 ; 1} L = { 5 } 4 a+1 4 a+1 44(a+1) (a-1) a+1 = = 7 4a a-2 7 4(a+1) + 3 2(a-1) = 74(a+1(a-1)) 4(a+1) 34(a+1) (a-1) + 2(a-1) 16a 16 = 7a 7 + 6a + 6 T 16a 16 = 13a 1-13a a = 15 :3 a = 5 b.) D = Q\ { -1 } L = { 2 } 20b+2 6b+6-1 = 6b-4 2b+2 20b+2 6(b+1) - 1 = 6b-4 2(b+1) (20b+2)6(b+1) 6(b+1) - 1 6(b+1) = (6b-4)6(b+1) 2(b+1) 20b + 2-6b 6 = 18b - 12 T T T T 4(a+1)(a-1) T 6(b+1) 14b 4 = 18b b = 4b : 4 2 = b c.) D = Q\ { -1 ; - 3} L = { } 11c-2 2c+2-3c-1 c+3 = 5c+15 2c+6 T

69 11c-2 2(c+1) - 3c-1 c+3 = 5c+15 2(c+3) 2(c+1)(c+3) 2(c+1)(c+3)(11c-2) 2(c+1) - 2(c+1)(c+3)(3c-1) c+3 = 2(c+1)(c+3)(5c+15) 2(c+3) 11c² + 31c 6-6c² -4c + 2 = 5c² + 20c + 15 T 5c² + 27c 4 = 5c² + 20c c² -20c +4 7c = 19 : 7 T c = Aufgabe 105: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 3x x 8 ( x 3)² x 3 x² 9 3x 9 ( x 3)² 7 11x 8 x 3 x² 9 Definitionsmenge = R\ {-3; 3} Gemeinsamer Nenner: (x + 3)(x + 3)(x 3) (3x 9)( x 3) 7( x 3)² (11x 8)( x 3) ( x 3)²( x 3) ( x 3)²( x 3) ( x 3)²( x 3) (3x 9)( x 3) 7( x 3)² (11x 8)( x 3) 3x² 27 7x² 42x 63 11x² 41x 24 x² x 12 0 x² x 12 0 Lösung der quadratischen Gleichung mit Hilfe der kleinen Lösungsformel x x 1;2 1 ( x )

70 x = - 3 ist keine Lösung der Bruchgleichung, da 3 nicht in der Definitionsmenge enthalten ist. Aufgabe 106: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x 2 x 2 4 =

71 Wurzelgleichungen Aufgabe 107: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 1) 2) 2x x 12 3) 1 4) 5) 2 x 1 3x x ) 7) 8) x x x 8 0 3x x D 2 ; ; L = {5} 2. D ;1 ; L = {-15}

72 3. D 1; ; L = {1} D = R ; D = R0 + ; L 1 74 L 3 6. D D = R ; L = {} Quadrieren ist nur erlaubt, wenn auf beiden Seiten der Gleichung nichts negatives steht! Aufgabe 108: a 4x a 4x 0 mit a Є R a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge für x 8. ; ; L 2 3 D = R0 + ; L = {}, weil 25 D!! 22 b) Lösen Sie die Gleichung nach x auf unter Berücksichtigung von Definitionsmengen. a) Argumentieren: D: a+ 4x 0 x -a / 4 und a-4x 0 x a/4 erfüllbar nur für a Є R + und -a/4 x a/4 b) a 4x a 4x a 4x a 4x x 0 Aufgabe 109: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x 5 =

73 Aufgabe 110: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x + 8 x =

74 Aufgabe 111: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: x 1 + x + 2 =

75 Aufgabe 112: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 4x 2 + x = x

76 Aufgabe 113: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 4 x + 2 =

77 Aufgabe 114: Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge: 4 x = x

78 78-348

79 Substitution Aufgabe 115: Gesucht sind die Nullstellen der ganzrationalen Funktion 4 2 f x x 6x Die Gleichung x 6x 40 0 muss also gelöst werden. Es ist hier nicht möglich, quadratische Ergänzung oder p-q-formel anzuwenden, da der Grad des Polynoms 4 ist und nicht 2. Allerdings sind alle Exponenten gerade, deshalb ersetzen wir (d.h. 2 substituieren) x z und erhalten: x 2 6x z 2 6z 40 0 z 1, x z Nun muss also nur noch eine quadratische Gleichung gelöst werden. Beispielsweise mit der p-q-formel lässt sich diese leicht lösen. Es ergeben sich also die möglichen Lösungen: z und z Rücksubstitution (d.h. wir setzen wieder 2 z x ) liefert uns dann 2 x 4 v 2 x 10 x 2 v x

80 L 2;2 2 x 10 liefert keine weiteren reellen Lösungen, da die Wurzel einer negativen Zahl nicht reell ist. Aufgabe 116: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution: a) f(x) = x x b) f(x) = 4x x 3 64 c) f(x) = 1 2 x8 7x 4 16 a) f(x) = x x Subst.: x 2 = u u u + 32 u = 12 ± u 1 = 8 und u 2 = 4 Rücksubst.: x 2 = 8 keine Lösung x 2 = 4 Keine Lösung L = { } = 12 ± 4 2 b) f(x) = 4x x 3 64 Subst.: x 3 = u 4u u 64 u = 32 ± ( 4) 64 2 ( 4) u 1 = 1 Rücksubst.: x 2 = 1 x = ±1 L = {±1} = 8 ± 0 8 =

81 c) f(x) = 1 2 x8 7x 4 16 Subst.: x 4 = u 1 2 u2 7u ± ( 7) ( 16) 2 u = u 1 = 16 und u 2 = 2 Rücksubst.: u 1 = 16 x 2 = 16 x = ±4 = +7 ± 9 1 u 2 = 2 x 2 = 2 Keine weitere Lösung L = {±4} Aufgabe 117: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution: x 4 13x Aufgabe 118: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution: 4 2x 4 x 6 =

82 82-348

83 Aufgabe 119: Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Gleichungen mit Hilfe des Verfahrens der Substitution:

84 Logarithmische Gleichungen Aufgabe 120: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: (3 2x ) 2x 1 : (27) x+1 (81 3x 7 ) x 9 x = 0 L = { 1 8 ; 3} Aufgabe 121: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: log 10 (x 2) = 1 Aufgabe 122:

85 Bestimmen Sie die Lösungsmenge: lg(4x) lg(x 1) = lg(2) + lg (x) Aufgabe 123: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: ln(x) 1 ln(3x 2) =

86 Aufgabe 124: Bestimmen Sie die Lösungsmenge: log 3 (x 2 3) + log 3 (x 2 1) =

87 Aufgabe 125: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 4 (3x + 4) = log 4 (2x + 2) log 4 (3x + 4) = log 4 (2x + 2) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. 3x + 4 = 2x + 2 2x x + 4 = 2 4 x = 2 Probe: log 4 (3x + 4) = log 4 (2x + 2) x = 2 log 4 (3 ( 2) + 4) = log 4 (2 ( 2) + 2)

88 Keine Wahre Aussage log 4 ( 2) = log 4 ( 2) L = { } Aufgabe 126: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. 2 log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) 2 log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) log 2 (x + 1) 2 = log 2 (3x + 7) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. Probe: Wahre Aussage x 1/2 = b ± b2 4ac 2a (x + 1) 2 = 3x + 7 x 2 + 2x + 1 = 3x + 7 3x x 2 x + 1 = 7 7 x 2 x 6 = 0 = +1 ± ( 1)2 4 1 ( 6) 2 1 x 1 == = 3 2 x 2 == +1 5 = log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) x 1 = 3 2 log 2 (3 + 1) = log 2 ( ) 2 log 2 (4) = log 2 (16) log 2 (4 2 ) = log 2 (16) = +1 ± 5 2 Keine wahre Aussage 2 log 2 (x + 1) = log 2 (3x + 7) x 2 = 2 2 log 2 ( 2 + 1) = log 2 (3 ( 2) + 7)

89 L = {3} Aufgabe 127: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. 15x 2 + 2x = 32x 32x 15x 2 30x = 0 x(15x 30) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 Probe: Keine wahre Aussage log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) x 1 = 0 log 8 ( ) = log 8 (32 0) Wahre Aussage log 8 (15x 2 + 2x) = log 8 (32x) x 2 = 2 log 8 ( ) = log 8 (32 2) log 8 (164) = log 8 (64) L = {2}

90 Aufgabe 128: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. x 1/2 = b ± b2 4ac 2a 2x 2 + 4x + 2 = x 2 + 2x + 17 x 2 x 2 + 4x + 2 = 2x x x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x 15 = 0 = 2 ± (2)2 4 1 ( 15) 2 1 x 1 = = 3 2 x 2 = 2 8 = 5 2 = 2 ± 8 2 Probe: Wahre Aussage log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) x 1 = 3 log 2 ( ) = log 2 ( ) log 2 (32) = log 2 (32) log 2 (2x 2 + 4x + 2) = log 2 (x 2 + 2x + 17) x 2 = 5 log 2 (2( 5) ( 5) + 2) = log 2 (( 5) ( 5) + 17) log 2 (32) = log 2 (32) Wahre Aussage L = { 5; 3} Aufgabe 129: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 2 (40x + 24) log 2 (7x + 1) =

91 log 2 (40x + 24) log 2 (7x + 1) = 3 40x + 24 log 2 ( 7x + 1 ) = x + 24 = (7x + 1) 7x + 1 8(7x + 1) = 40x x + 8 = 40x x 16x + 8 = x = 16 : 16 x = 1 Probe: Wahre Aussage log 2 (40x + 24) log 2 (7x + 1) = 3 x = 1 log 2 ( ) log 2 ( ) = 3 log 2 (64) log 2 (8) = = 3 L = {1} Aufgabe 130: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) 10x + 24 log 2 ( x 84 ) = log 2(x 36) Die beiden Logarithmen besitzen die gleiche Basis, als kann der Numerus gleichgesetzt werden. 10x + 24 = x 36 (x 84) x 84 (10x + 24) = (x 36)(x 84) 10x + 24 = x 2 120x x 24 = x 2 130x

92 x 1/2 = b ± b2 4ac 2a x 2 130x = 0 = 130 ± ( 130)2 4 1 (3000) = x 1 = = x 2 = = ± 70 2 Probe: log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) x 1 = 100 log 2 ( ) log 2 (100 84) = log 2 (100 36) log 2 (1024) log 2 (16) = log 2 (64) log 2 (64) = log 2 (64) Wahre Aussage log 2 (10x + 24) log 2 (x 84) = log 2 (x 36) x 2 = 30 log 2 ( ) log 2 (30 84) = log 2 (30 36) Keine wahre Aussage Aufgabe 131: L = {100} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. 9 log 10 (10x + 10) 4 2 log 10 (10x + 10) + 3 = 2 Substitution: 9 log 10 (10x + 10) 4 2 log 10 (10x + 10) + 3 = 2 u = log 10 (10x + 10) 9 u 4 = 2 (2u + 3) 2 u + 3 (9u 4) = 2(2u + 3) 9u 4 = 4u + 6 4u

93 Rücksubstitution: 5u 4 = u = 10 : 5 u = 2 u = log 10 (10x + 10) u = 2 2 = log 10 (10x + 10) 10 2 = 10x = 10x x = 90 : 10 x = 9 Probe: Wahre Aussage 9 log 10 (10x + 10) 4 2 log 10 (10x + 10) + 3 = 2 x = 9 9 log 10 ( ) 4 2 log 10 ( ) + 3 = 2 9 log 10 (100) 4 2 log 10 (100) + 3 = = = 2 2 = 2 L = {9} Aufgabe 132: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. 9 [log 10 (x + 50)] 2 36 log 10 (x + 50) + 36 = 0 Substitution: 9 [log 10 (x + 50)] 2 36 log 10 (x + 50) + 36 = 0 u = log 10 (x + 50)

94 Rücksubstitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a 9u 2 36u + 36 = 0 = 36 ± (36)2 4 9 (36) 2 9 u = 2 u = log 10 (x + 50) u = 2 2 = log 10 (x + 50) 10 2 = x = x x = 50 = = 2 Probe: 9 [log 10 (x + 50)] 2 36 log 10 (x + 50) + 36 = 0 x = 50 9 [log 10 ( )] 2 36 log 10 ( ) + 36 = 0 9 [log 10 (100)] 2 36 log 10 (100) + 36 = = = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = {50} Aufgabe 133: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichung. x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 Substitution: x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x log 2 (x) x log 2 (x) =

95 Rücksubstitution: u = x log 2 (x) u + 32 u 18 = 0 u u 2 18u + 32 = 0 u 1/2 = b ± b2 4ac = 18 ± ( 18)2 4 1 (32) = 2a u 1 = = u 2 = = 2 2 u = x log 2 (x) u 1 = = x log 2 (x) log 2 ( ) log 2 (16) = log 2 ( x log 2 (x) ) log 2 (16) = log 2 (x) log 2 (x) 4 = [log 2 (x)] 2 ±2 = log 2 (x) 2 2 = x x 1 = 4 ( 2) 2 = x 18 ± 14 2 x 2 = 1 4 u = x log 2 (x) u 1 = 2 2 = x log 2 (x) log 2 ( ) log 2 (2) = log 2 ( x log 2 (x) ) log 2 (2) = log 2 (x) log 2 (x) 1 = [log 2 (x)] 2 ±1 = log 2 (x) 2 1 = x x 3 = = x x 4 =

96 Probe: Wahre Aussage x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 1 = 4 4 log 2 (4) log 2 (4) = = 18 x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 2 = 1 4 ( 1 1 log 2 ( 4 ) 4 ) + 32 ( 1 log 2 ( 1 4 ) 4 ) = 18 Wahre Aussage Wahre Aussage = 18 x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 3 = 2 2 log 2 (2) log 2 (2) = = 18 x log 2 (x) + 32 x log 2 (x) = 18 x 4 = 1 2 ( 1 1 log 2 ( 2 ) 2 ) + 32 ( 1 log 2 ( 1 2 ) 2 ) = = 18 L = { 1 4 ; 1 ; 2; 4}

97 Exponentialgleichungen Aufgabe 134: Lösen Sie folgende Exponentialgleichungen: Aufgabe 135: Aufgabe 136:

98 Aufgabe 137: Löse die folgenden Exponentialgleichungen: a) 5 3x = 7 2x b) 2 5x+1 = 3 4x c) 10 7-x = 6 2x+1 d) 8 2x+4 = 9 3x+6 e) 4 2x+1 = 8 3x-2 f) 3 x 4 x+1 = 5 x+2 a) 0 b) 0,746 c) 2,434 d) -2 e) 1,6 f) 2,093 Aufgabe 138: Lösen Sie folgende Gleichungen. 5 x 1 = x = 12 0, x = 1,3 7 4x+1 =

99 Aufgabe 139: 5 4 x = 80 log x (a 5 ) = 10 ( 1 lg (x) 2 ) = 4 3 2x 10 3 x + 9 = x 50 2 x = x x = 343 Aufgabe 140: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3 x2 4 = 6 x

100 Aufgabe 141: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3 x x = 5 x+1 + 2(3 x + 5 x )

101 Aufgabe 142: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 5 x (x 1) =

102 Aufgabe 143: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 2 x x+2 = 7 Aufgabe 144: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 9 x 3 x 1 =

103 Aufgabe 145: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 3 4x = 9 x+2 3 4x = 9 x+2 3 4x = (3 2 ) x+2 3 4x = 3 2x+4 4x = 2x + 4 2x 2x = 4 : 2 x = 2 Probe: Wahre Aussage 3 4x = 9 x+2 x = = = = 3 8 L = {2} Aufgabe 146: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 4 3x+1 = 8 x

104 4 3x+1 = 8 x+2 (2 2 ) 3x+1 = (2 3 ) x+2 2 6x+2 = 2 3x+6 6x + 2 = 3x + 6 3x 3x + 2 = 6 2 3x = 4 : 3 x = 4 3 Probe. 4 3x+1 = 8 x+2 x = 4 3 Wahre Aussage = = = 2 10 L = { 4 3 } Aufgabe 147: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen x 3 = 2 4x 1024 x 3 = 2 4x (2 10 ) x 3 = 2 4x 2 10x 30 = 2 4x 10x 30 = 4x 4x 6x 30 = x = 30 : 6 x =

105 Probe: 1024 x 3 = 2 4x x = = = = 2 20 Wahre Aussage L = {5} Aufgabe 148: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen x+1 = 8 x+2 4 x x+1 = 8 x+2 4 x+4 32 (2 4 ) x+1 = (2 3 ) x+2 (2 2 ) x x+4 = 2 3x+6 2 2x x = x : x = 2 5x : 2 4x = 25x : 24x 24x = 25x 2 4x x = x 2 5 = 2 x x = 5 Probe: x+1 = 8 x+2 4 x+4 x = = = = 2 11 Wahre Aussage

106 L = { 5} Aufgabe 149: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen. 2 8x x + 64 = 0 Substitution: Rücksubstitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a 2 8x x + 64 = 0 u = 2 4x u 2 16u + 64 = 0 = 16 ± ( 16) u = 8 u = 2 4x u = 8 8 = 2 4x 2 3 = 2 4x 3 = 4x : 4 = 16 2 = 8 x = 3 4 Probe: 2 8x x + 64 = 0 x = = = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = { 3 4 } Aufgabe 150: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen

107 5 6x 2 5 3x = 0 5 6x 2 5 3x = 0 5 6x x = 0 5 6x x = 0 Substitution. u 1/2 = b ± b2 4ac 2a Rücksubstitution: u = 5 3x u = 0 = 250 ± ( 250) u = 125 u = 5 3x u = = 5 3x 5 3 = 5 3x x = 1 = = 125 Probe: 5 6x 2 5 3x = 0 x = = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = {1}

108 Aufgabe 151: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen x x = 0 Substitution: Rücksubstitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a 25 10x x = 0 (5 2 ) 10x x = x x = 0 u = 5 10x u 2 50u = 0 = 50 ± ( 50) u = 25 u = 5 10x u = = 5 10x 5 2 = 5 10x 10x = 2 = 50 2 = 25 x = 1 5 Probe: 25 10x x = 0 x = = = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = { 1 5 } Aufgabe 152: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen

109 2 8x+1 4 2x = 0 2 8x+1 4 2x = 0 2 8x+1 (2 2 ) 2x = 0 2 8x+1 2 4x = 0 2 8x x = x x = 0 Substitution: u 1/2 = b ± b2 4ac 2a Rücksubstitution: u = 2 4x 2u u = 0 = 1024 ± ( 1024) u = 256 u = 2 4x u = = 2 4x 2 8 = 2 4x 4x = 8 : 4 x = 2 = = 256 Probe: 2 8x+1 4 2x = 0 x = = = 0 0 = 0 Wahre Aussage L = {2}

110 Quadratische Exponentialgleichungen Aufgabe 153: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 2 2x 4 2 x 32 = 0 Aufgabe 154: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3 x x =

111 Aufgabe 155: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4 x 1 2 x 8 =

112 Aufgabe 156: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 5 2x 30 5 x = 0 Aufgabe 157: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung

113 2 x + 2 = 2 x Aufgabe 158: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 2 2x x 1 2 =

114

115 Betragsgleichungen Aufgabe 159: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3x 5 = 19 Aufgabe 160: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 2 + 3x = 4 Aufgabe 161: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 2 + 4x 33 =

116 Aufgabe 162: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung

117 Aufgabe 163: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung

118

119

120 Betragsungleichungen Aufgabe 164: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x + 17 > 34 x + 17 > 34 Fall 1: x x + 17 > 34 x > 17 Fall 2: x + 17 < 0 (x + 17) > 34 x 17 > 34 x > 51 x < 51 L = {x < 51 x > 17} Aufgabe 165: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x 2 20 > 4 x 2 20 > 4 Fall 1: x x 2 20 > 4 x 2 > 24 x > ± 24 Fall 2:

121 x 2 20 < 0 (x 2 20) > 4 x > 4 x 2 > 16 Hieraus ergibt sich keine weitere Lösung L = {x < 24 x > 24} Aufgabe 166: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x 2x 12 0 x 2x 12 0 Fall 1: 2x 12 0 x 2x x x 12 x 12 Fall 2: 2x 12 < 0 x ( (2x 12)) 0 x + 2x x 12 x 4 L = {x 4 x 12} Aufgabe 167: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. 5 3 x 6 3x x 6 3x 7 Fall 1:

122 x (x 6) 3x 7 5 3x x 7 6x x 30 x 5 Fall 2: x 6 < ( (x 6)) 3x x 18 3x Diese Aussage gilt immer, daraus folgt: L = R Aufgabe 168: Lösen Sie folgende Betragsungleichung. x + x 2 > 4 Es müssen vier Fälle unterschieden werden: Im Fall 1 sind die Terme in den Betragszeichen beide nicht-negativ (größer oder gleich Null). x + x 2 > 4 x + x 2 > 4 2x 2 > 4 2x > 6 x > 3 Im Fall 2 ist der Term im ersten Betragszeichen nicht-negativ, im zweiten aber negativ. Widerspruch x + x 2 > 4 x (x 2) > 4 +2 >

123 Im Fall 3 ist der Term im ersten Betragszeichen negativ, im zweiten aber nicht -negativ. Wiederspruch x + x 2 > 4 x + x 2 > 4) 2 > 4 Im Fall 4 sind die Terme in den Betragszeichen beide negativ x + x 2 > 4 x x + 2 > 4 2x > 2 x < 1 Erfüllt nicht die Bedingung, dass das erste Betragszeichen negativ sein soll, also keine Lösung. L = {x < 1 x > 3}

124 Gleichungen mit Parametern Aufgabe 169: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in Abhängigkeit des Parameters a R. a) 4a(x + 1) = 2a(x + a) + 6a b) 3x 9 = ax a 2 c) a(6x 1) = 3a(x + 3a) + 2a d) bx + 16 = b 2 4x Aufgabe 170: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung in Abhängigkeit des Parameters s, t R. tx 2 = 5 + sx L = { 7 } für t s t s L = { } für t = s

125 Textgleichungen Aufgabe 171: Eine Zahl ist um 20 größer als die andere. Ihr Produkt ist gleich groß wie das Quadrat einer der beiden Zahlen. Aufgabe 172: Die Summe zweier Zahlen ist 46, ihre Differenz jedoch 16. Welche Zahlen sind gemeint?

126 Aufgabe 173: Kann man aus 15 Münzen in Form von 5 Stücken und 2 Stücken den Betrag 50 Euro bilden? Aufgabe 174:

127 In 20 Streichholzschachteln sollen je eine 1 oder eine 2 Münze gelegt werden. Der Gesamtbetrag soll 28 sein. Wie viele Münzen benötigt man von jeder Sorte? Aufgabe 175: Subtrahiert man vom 12-fachen einer Zahl 15, erhält man eine Zahl, die um 3 kleiner ist, als wenn man das Fünffache um 30 vergrößert. Aufgabe 176: Das Vierfache einer Zahl ist um 15 kleiner als ihr Siebenfaches

128 Aufgabe 177: Multipliziert man die Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl und 5 mit 8, erhält man dasselbe, als wenn man zum 10-fachen der Zahl 2 addiert

129 Polynomdivision Aufgabe 178: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 2 x + 1 Aufgabe 179: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 2 9 x

130 Aufgabe 180: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 3 x + 1 x 1 Aufgabe 181: Führen Sie eine Polynomdivision aus. x 3 + 2x x

131 Aufgabe 182: Führen Sie eine Polynomdivision aus. 2x 5 4x 4 + x 3 2x 2 x 6 x 3 3x 2 + 3x 1 Aufgabe 183: Für welche Werte von x werden diese Funktionen Null? Führen Sie eine Polynomdivision durch

132 Aufgabe 184: Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen! f(x) = x³ - 3x² - 10x + 24 g(x) = x 4 + x³ - 2x² + 4x 24 Lösungen Polynomdivision: x1 = 4, x2 = -3, x3 = 2 x1 = 2, x2 = -3 Aufgabe 185: Die folgenden Gleichungen haben mindestens eine ganzzahlige Lösung. Bestimmen Sie die Lösungsmenge. a) f (x) = x 3 +6x 2 +3x-10=0 b) f (x) = x 3-7x 2-4x+28=0 c) f (x) = x 4-18x 2-32x-15=0 a) b) c) Aufgabe 186:

133 Aufgabe 187:

134 Das Polynom 3 2 f x 10x 31x x 6 soll faktorisiert werden, um anschließend die Nullstellen leicht ablesen zu können

135 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Aufgabe 188: Von den folgenden LGS'en ist eines unlösbar, eines eindeutig lösbar und eines hat unendlich viele Lösungen. Wende jeweils den Gauß-Algorithmus an und gib bei den beiden lösbaren eine (bzw. die) Lösung an. Aufgabe 189: Lösen Sie folgendes LGS: 2x 3y = 10 3x 2y = 10 L = { 2; 2}

136 Aufgabe 190: Lösen Sie folgende Linearen Gleichungssysteme. a) 2x 3y +4z = 1,4 3x 2y z = 1,2 5x +4y +3z = 1,4 b) 9x +5y +4z = 21 6x +3y 5z = 7 3x 10y +6z = 35 c) 2x +3y +5z = 8 x +y 2z = 7 3x y +z = 2 a)

137 b)

138 c)

139

140 Aufgabe 191: Lösen Sie folgende Linearen Gleichungssysteme. a) 2x y +4z = 5 5x +2y 10z = 7 12x 9y 8z = 11 b) 3x y +2z = 3 2x +3y +3z = 3 x +2y z = 4 c) 4x +2y +2z = 8 3x 4y +3z = 2 x +3y +2z = 4 a)

141 b)

142 c)

143

144 Aufgabe 192: Zwei CDs (Sonderangebot, alle CDs kosten das Gleiche) kosten genauso viel wie sieben Schokoriegel. Kauft man zusätzlich noch einen Notizblock, bezahlt man sieben Euro mehr als für vier Schokoriegel. Ein Notizblock und ein Schokoriegel kosten zusammen drei Euro. Stellen Sie das zugehörige LGS auf und lösen es

145 Aufgabe 193: Lösen Sie folgendes Gleichungssystem:

146

147 Aufgabe 194: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: Aufgabe 195: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme:

148

149 Aufgabe 196: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: Aufgabe 197: Subtrahiert man vom Drittel einer Zahl ein Viertel dieser Zahl, so ergibt sich

150 84 Aufgabe 198: Vermehrt man eine Zahl um ihr Drittel und ihr Viertel. so erhält man Aufgabe 199: Die Summe aus der Hälfte, dem Drittel und dem Viertel einer Zahl ist um 3 größer als die Zahl. 36 Aufgabe 200: Das Vierfache einer Zahl ist um 30 größer als ein Viertel der Zahl

151 Aufgabe 201: Die Zahl 93 ist so in drei Summanden zu zerlegen, dass folgende Bedingung gilt: a) Jeder Summand ist um 9 größer als der vorhergehende. b) Jeder Summand ist das 5-fache des vorhergehenden. a) 22, 31, 40 b) 3, 15, 75 Aufgabe 202: Lösen Sie folgende Gleichungssysteme:

152

153 Aufgabe 203: a) Suchen Sie zwei Zahlen, deren Summe 34 und deren Differenz 16 ist. b) Eine Zahl ist um 8 grösser als eine andere, aber nur halb so groß wie deren Dreifaches. Um welche beiden Zahlen handelt es sich? c) Gibt es zwei natürliche Zahlen mit dem Mittelwert 17, von denen die eine doppelt so groß ist wie die andere. 1a) 9, 25, b) 16, 24, c) nein. Aufgabe 204: Ermitteln Sie die vierstellige Zahl mit folgenden Eigenschaften: Die Quersumme beträgt 14. Die Summe von Tausender- und Einerziffer ist gleich der Summe von Hunderter- und Zehnerziffer. Die Summe von Tausender- und Hunderterziffer ist gleich der Summe von Zehner- und Einerziffer. Die Tausenderziffer ist um 1 größer als die Einerziffer

154 Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit Parametern Aufgabe 205: Untersuchen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter a R auf Lösbarkeit. a x x x x a x x x x 3 3 a x 3 a 1 a a) Für welches a erhält man unendlich viele Lösungen? b) Für welches a erhält man keine Lösung? c) Für welches a erhält man eine eindeutige Lösung?

155

156 Aufgabe 206: Für welche Werte des Parameters a (a>0) hat das Gleichungssystems 3x + 2y + z = 1 2x + y + az= 0 4ay+ z = 2a + 1 unendlich viele Lösungen? Welche Gestalt hat in diesem Fall die Lösungsmenge? Lösung Elimination der Unbekannten x und y liefert Unendliche viele Lösungen im Fall a = 1 6 Wird z beliebig gewählt, gilt. Aufgabe 207: Welche Lösungsmenge hat das Gleichungssystem:

157 Bestimmen Sie für dieses Gleichungssystem die Parameter a und c so, dass es a) eine Lösung b) keine Lösung c) unendlich viele Lösungen gibt ( a) (1)*(-1)+(2) ; (1)*(-c)+(3) c ( a 1) (2)*(-1)+(3) c 2 c ( a 1 ) (2)*(-1)+(3) c 3 a c

158 Ungleichungen Aufgabe 208: Lösen Sie folgende Ungleichung: (9x 1) 2 45(x 2) 2 < (6x 1) 2 (9x 1) 2 45(x 2) 2 < (6x 1) 2 81x 2 18x x x 180 < 36x 2 12x x x 179 < 36x 2 12x x < 180 x < Aufgabe 209: Lösen Sie folgende Ungleichungen: a) 2 x x 2 b) 1 (x 6) < 6 2 c) 3(x 3) (1 x 2 ) a) < x 34 5 b) 6 < x < c) 1 2 x < Aufgabe 210: Lösen Sie folgende Ungleichungen: a)

159 3(1 2x) 2 > 2(x 3) (3x + 5) b) 2x (3x 5) 1 4 a) < x < 12 5 b) < x 3 Aufgabe 211: Lösen Sie folgende Ungleichungen: a) 3 4 (2x 4) + 3 x 4 < 5(1 x) 2x 6 2 b) 4 2x 3 x 4 a) < x < 3 5 b) < x

160 Aufgabe 212: Lösen Sie folgende Ungleichungen: Aufgabe 213: Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. 15x (8x 15) 3(2x + 5) 2 15x (8x 15) 3(2x + 5) 2 15x 8x x 15 2 x 2 L = {x x 2} Aufgabe 214: Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. x 2 + 8x + 48 < 0 Aufgabe 215: x = b ± b2 4ac 2a x 2 + 8x + 48 < 0 = 8 ± 82 4 ( 1) 48 2 ( 1) x 1 = = x 1 = = 12 2 L = {] ; 4[ ]12: + [} = 8 ± 16 2

161 Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. x 2 x 2 0 x 2 x 2 0 Keine Fallunterscheidung notwendig, da x² immer positiv ist. x 2 x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 Aufgabe 216: L = {x x 2} Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an x 1 x 0 1. Fall: x 1 x 0 Der Nenner ist negativ x 1 x 1 x < 0 x > 1 0 (1 x) 4(1 x) 3 2x 0 4 4x 3 2x 0 6x x 1 : ( 6) x 1 6 x ]1; + [ 2. Fall:

162 Der Nenner ist positiv x 1 x 1 x > 0 x < 1 0 (1 x) 4(1 x) 3 2x 0 4 4x 3 2x 0 6x x 1 : ( 6) x 1 6 x ] ; [ Aufgabe 217: L = {] ; + 1 [ ]1: + [} 6 Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. 3 2x 5x Fall: Der Nenner ist negativ. 3 2x 5x x x x 1 (5x + 2) 5x x 5x + 2 5x 3 7x 2 3 7x 1 : ( 7) x 1 7 x ] ; 2 5 [

163 2. Fall: Der Nenner ist positiv. 5x x x 1 (5x + 2) 5x x 5x + 2 5x 3 7x 2 3 7x 1 : ( 7) x 1 7 x ] 1 7 ; + [ Aufgabe 218: L = {] ; 2 5 [ [1 7 ; + [} Geben sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung an. x 1 < 2 (x 1) x Fall: Der Nenner ist negativ. x 1 < 2 (x 1) x + 1 x + 1 < 0 x < 1 x 1 < 2 (x + 1) x + 1 x 1 > 2(x + 1) x 1 > 2x + 2 2x x 1 > x > +3 ( 1) x < 3 x ] ; 3[

164 2. Fall: Der Nenner ist positiv. x + 1 > 0 x > 1 x 1 < 2 (x + 1) x + 1 x 1 < 2(x + 1) x 1 < 2x + 2 2x x 1 < x < +3 ( 1) x > +3 x [ 1; + [ L = {] ; 3[ [ 1; + [}

165 Matrizen Aufgabe 219: Für die Produktion der Erzeugnisse E1,E2, E3 wird das Material M1 wie folgt benötigt: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Material Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Quartal Wie viel Material 1 wird im ersten Quartal benötigt? A (1, E ) A* B B( E,1) * 15 0 *8 1*15 3*16 63 Es werden also im ersten Quartal 63 Einheiten des Materials 1 benötigt. Aufgabe 220: Für die Produktion der Erzeugnisse E1,E2, E3 werden die Materialien M1, M2, M3, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Material Material Material Material Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Quartal Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt?

166 0 1 A(M,E) T 1 A * B T B (E,1) *8 1*15 3* *8 1*15 1*16 39 * *8 0 *15 4 * *8 3*15 1*16 69 Es werden somit im ersten Quartal folgende Einheiten der Materialien benötigt: Material 1 Material 2 Material 3 Material 4 Quartal

167 Aufgabe 221: Für die Produktion der Erzeugnisse E1,E2, E3 werden die Materialien M1, M2, M3, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Material Material Material Material In den Quartalen des Jahres sollen folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis 1 Erzeugnis 2 Erzeugnis 3 Quartal Quartal Quartal Quartal Wie viel Einheiten der 4 Materialien werden in den 4 Quartalen benötigt? A ( M, E ) A* B T * B T ( E, Q) Bei der Multiplikation zweier Matrizen wird jede Zeile der ersten Matrix mir jeder Spalte der zweiten Matrix multipliziert. Die Produkte werden addiert. Dabei geht man nach ff. Rechenschema vor:

168 0*8 1* *10 1*20 3* *8 1*15 1* *10 1*20 1* *8 0*15 4* *10 0*20 4* *8 3*15 1* *10 3*20 1*20 90 usw.es werden in den Quartal folgende Einheiten der Materialien benötigt: Material 1 Material 2 Material 3 Material 4 Quartal Quartal Quartal Quartal Aufgabe 222: Berechnen Sie folgende Produkte:

169

170 Aufgabe 223:

171 Aufgabe 224:

172 Aufgabe 225:

173

174 Aufgabe 226: a) b) c)

175 Determinanten Aufgabe 227:

176

177 Aufgabe 228: Erzeugen sie Nullen, an den gekennzeichneten Stellen:

178

179

180 Folgen und Reihen Aufgabe 229: Berechnen Sie jeweils 5 Glieder dieser Folgen: Aufgabe 230: Berechnen Sie die Glieder bis a

181 Aufgabe 231: Beweisen Sie, dass eine arithmetische Folge vorliegt. Stellen Sie eine Berechnungsvorschrift auf

182

183 Aufgabe 232: Zeigen Sie, dass keine arithmetische Folge vorliegt. Wie müsste a12 lauten, wenn eine arithmetische Folge vorliegen sollte? Aufgabe 233: Gegeben sind 3 Glieder eine Folge. Setzen Sie so wenig wie nötig Zahlen dazwischen, damit eine arithmetische Folge entsteht. Berechnen Sie dann a1und an

184

185 Aufgabe 234: Untersuchen Sie, ob eine geometrische Folge vorliegt. Wenn ja, erstellen Sie den Funktionsterm für an

186 Aufgabe 235:

187 Gegeben ist eine geometrische Folge durch 2 Glieder. Berechne die angegebenen Glieder der Folge sowie den Funktionsterm für an

188

189 Aufgabe 236: Berechne die ersten 5 Glieder dieser Folgen:

190 Aufgabe 237:

191

192 Aufgabe 238:

193 Aufgabe 239: Berechnen Sie die Summe der ganzen Zahlen von 37 bis 95. Aufgabe 240:

194 Aufgabe 241: Eine Folge hat die Teilsumme sn= 11n² + n. Wie lautet an?

195 Grenzwerte, Stetigkeit und Differentiation Aufgabe 242: Ermitteln Sie die folgenden Grenzwerte. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihr Verhalten für gegen + bzw. strebendes x und berechnen Sie, falls möglich, die Grenzwerte f(x) und lim x + lim x f(x). Geben Sie außerdem an, für welche x der Abstand f(x) a kleiner als ε = 0,0001 wird. Aufgabe 243: Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen ihr Verhalten für gegen x 0 strebendes x. Berechnen Sie, falls möglich den Grenzwert lim x x0 f(x)

196 Aufgabe 244: Untersuchen Sie die Funktionen auf Stetigkeit

197

198 Aufgabe 245: Bestimmen Sie t R so, dass f an der Stelle x0 stetig ist. Aufgabe 246: Ermittle die folgenden Grenzwerte! Dabei sei n stets eine natürliche Zahl lim lim lim x n n n x x0 x x0 x 3 lim x 2 x 2 2 lim 1 x 1 x 2 3x 1 lim x x x 1 x 2 3x lim x lim lim x 2 x 4x 3x x x 1 lim 2 x 1 2x lim 2x 7 x 2 x 1 lim x 1 2 x x 1 4 x x lim lim x 4 x x lim 2 x 1 x x

199 lim x 1 x n 0 1 lim n x0 n gerade x lim x 0 1 x n n gerade n ungerade 3 lim x 2 x 2 n ungerade 2 lim 1 x 1 x 2 3x 1 lim x x lim 2 x 1 x x 2 2 3x 1 lim x 4x 2 3x 3 4 lim x 1 x x

200 x 1 x lim 2 2 x 5 7 2x lim 1 x 2 x x lim 4 1 x x x lim 4 x 0 x 1 lim x x lim x x lim x 0 x

201 Ableitungen Aufgabe 247:

202 Aufgabe 248: Berechnen Sie je zwei Ableitungen:

203 Aufgabe 249: Berechnen Sie je zwei Ableitungen:

204

205

206

207

208

209 Aufgabe 250: Berechnen Sie je zwei Ableitungen (bei 14 nur eine)

210

211

212

213

214 Aufgabe 251: Berechnen Sie je zwei Ableitungen:

215

216 Aufgabe 252: Berechnen Sie je zwei Ableitungen:

217

218 Aufgabe 253: Berechnen Sie je zwei Ableitungen:

219

220

221 Aufgabe 254: Berechnen Sie je zwei Ableitungen:

222

223 Aufgabe 255: Berechnen Sie jeweils 2 Ableitungen

224

225 Aufgabe 256:

226 Aufgabe 257:

227

228 Aufgabe 258:

229 Aufgabe 259:

230

231 Verlauf von Funktionen Aufgabe 260: Im Schaubild sind die Graphen der folgenden Funktionen zu sehen. Welcher Graph passt zu welcher Funktion? Schreiben Sie die Buchstaben auf. - f(x) = x 2 - f(x) = x f(x) = (x-1) 2 - f(x) = (x+1) 2 - f(x) = (x-3) f(x) = -(x+3) 2-1 f((x) = x 2 : Ff(x) = x 2-2 : C f(x) = (x-1) 2 : D f(x) = (x+1) 2 : B f(x) = (x-3) 2 +1 : E f(x) = -(x+3) 2-1 : A

232 Aufgabe 261: Ordnen Sie folgende Schaubilder den entsprechenden Funktionen zu

233

234

235 Aufgabe 262: Ordnen Sie folgende Schaubilder den entsprechenden Funktionen zu

236

237 Aufgabe 263: Skizzieren Sie folgende Funktionen

238

239

240

241

242 Aufgabe 264: Bestimmen Sie die Gleichungen der folgenden Exponentialfunktionen. y = ±e ±x+c + d

243

244

245

246 Aufgabe 265: Bestimmen Sie die Gleichungen der folgenden Exponentialfunktionen. Die Grundform ist y = k e ax + b oder y = k e ax+b + c

247

248

249

250 Integration Aufgabe 266: Ermitteln Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen! Aufgabe 267:

251 Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion, wenn die Ableitung und ein Punkt des Funktionsgraphen gegeben ist

252 Aufgabe 268:

253 Aufgabe 269:

254

255

256 Aufgabe 270: Aufgabe 271:

257

258 Aufgabe 272:

259

260 Aufgabe 273:

261 Aufgabe 274:

262 Aufgabe 275:

263

264 Aufgabe 276:

265 Aufgabe 277:

266

267

268 Aufgabe 278:

269

270

271 Aufgabe 279:

272 Aufgabe 280: Aufgabe 281:

273 Aufgabe 282: Aufgabe 283: Aufgabe 284:

274

275 Aufgabe 285: Aufgabe 286:

276 Aufgabe 287:

277

278 Extremwertaufgaben Aufgabe 288:

279

280

281

282

283

284 Trigonometrie Aufgabe 289: Aufgabe 290: Aufgabe 291:

285 Aufgabe 292:

286 Aufgabe 293: Aufgabe 294:

287

288

289 Aufgabe 295:

290 Aufgabe 296:

291

292 Aufgabe 297:

293 Aufgabe 298:

294

295 Aufgabe 299:

296

297

298 Wichtige trigonometrische Werte

299 Trigonometrische Gleichungen Aufgabe 300: Lösen Sie folgende Trigonometrischen Gleichungen:

300

301

302

303

304

305

306 Aufgabe 301: Bestimmen Sie die Lösungsmengen dieser Gleichungen:

307 Aufgabe 302: Bestimmen Sie die Lösungsmengen dieser Gleichungen

308

309

310 Aufgabe 303: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Laut der Formelsammlung: sin(x) = 1 2 sin(30 ) = 1 2 Daraus ergibt sich eine erste x 1 = 1 6 π Im zweiten Feld ergibt sich eine weitere x 2 = π 1 6 π = 5 6 π L = { 1 6 π; 5 6 π } Aufgabe 304: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 im Bereich von 0 x +2π. Aus der Formelsammlung kann man direkt ablesen: x = 1 2 π Aufgabe 305: L = { 1 2 π} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung cos(x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π

311 Aus der Formelsammlung kann man direkt ablesen: x 1 = 1 3 π Diese Lösung befindet sich im ersten Feld: Eine weiter Lösung befindet sich im vierten Feld: x 2 = 2π 1 3 π = 5 3 π L = { 1 3 π; 5 3 π} Aufgabe 306: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung cos(x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Umformen der rechten Seite: cos(x) = 1 2 Die cos(x) = = 2 2 = x = Finden wir bei x = 1 4 π Da der Kosinus im zweiten und im dritten Feld negativ ist ergeben sich somit folgende Lösungen: und x 1 = π 1 4 π = 3 4 π x 2 = π π = 5 4 π

312 L = { 3 4 π; 5 4 π} Aufgabe 307: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung tan(x) = 1 im Bereich von 0 x +2π. Aus der Formelsammlung ergibt sich folgende erste x 1 = 1 4 π Im dritten Feld finden wir eine weitere x 2 = π π = 5 4 π L = { 1 4 π; 5 4 π}

313 Aufgabe 308: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 im Bereich von 0 x +2π. Aus dem Grundverlauf ergibt sich nur eine Lösung in dem geforderten Bereich: x = 3 2 π Aufgabe 309: L = { 3 2 π} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = 1 3 im Bereich von 0 x +2π. Mit dem Taschenrechner erhält man die erste x 1 = 0,334 Die ist die Lösung aus dem ersten Feld. Im zweiten Feld ist der Sinus ebenfalls positiv, daraus ergibt sich die zweite Lösung in dem geforderten Bereich: x 2 = π 0,334 = 2,808 L = {0,334; 2,808} Aufgabe 310: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(x) = im Bereich von 0 x +2π. Aus der Formelsammlung erhält man:

314 x = 1 4 π Wir brauchen aber den negativen Wert davon, dieser ergibt sich im dritten und vierten Feld: x 1 = π π = 5 4 π x 2 = 2π 1 4 π = 7 4 π L = { 5 4 π; 7 4 π} Aufgabe 311: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin ( x 3 ) = im Bereich von 0 x +6π. Substitution: u = x 3 sin(u) = Aus der Formelsammlung können wir den positiven Wert ablesen: u = 1 4 π Der Sinus ist im dritten und vierten Bereich negativ, daraus ergeben sich folgende Lösungen: u 1 = π π = 5 4 π Rücksubstitution: u = x π = x 3 x 1 = 15 4 π

315 u 2 = 2π 1 4 π = 7 4 π Rücksubstitution: u = x π = x 3 x 2 = 21 4 π Weitere Lösungen in positiver Richtung Rücksubstitution: u 3 = u 1 + 2π = 5 4 π + 2π = 13 4 π u = x π = x 3 x 3 = 39 4 π Liegt nicht mehr im Bereich, also keine Lösung. L = { 7 4 π; 21 4 π} Aufgabe 312: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung cos(x 2) = 0,65 im Bereich von π x +2π. Substitution: u = x 2 cos(u) = 0,65 Mit dem Taschenrechner berechnen wir die erste u 1 = 0,

316 Rücksubstitution: u = x 2 0,863 = x 2 x 1 = 0, = 2,863 x 1 = 2,863 Eine weitere Lösung erhalten wir bei: u 2 = 2π 0,863 = 5,420 Rücksubstitution: u = x 2 5,420 = x 2 x 2 = 5, = 7,420 x 2 = 7,420 Gehört nicht mehr zum Bereich, also keine Lösung. Eine weitere Lösung erhalten wir im negativen Bereich bei: u 3 = 0 0,863 = 0,863 Rücksubstitution: u = x 2 0,863 = x 2 x 3 = 0, = 1,137 x 3 = 1,137 Aufgabe 313: L = {1,137; 2,863} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin 2 (x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Da es sich hier um eine quadratische Gleichung handelt, muss diese erst umgeformt werden: sin 2 (x) =

317 sin(x) = ± 1 2 Mit dem Wurzelgesetzen kann dies wie folgt umgeformt werden: sin(x) = ± Führen wir nun eine Fallunterscheidung durch: 1. Fall: sin(x) = Aus der Tabelle erhalten wir: x 1 = 1 4 π Eine zweite Lösung erhalten wir im zweiten Feld: x 2 = π 1 4 π = 3 4 π x 2 = 3 4 π 2. Fall: sin(x) = Eine erste Lösung erhalten wir im dritten Feld: x 3 = π π = 5 4 π Eine weiter Lösung erhalten wir im vierten Feld: x 3 = 2π 1 4 π = 7 4 π L = { 1 4 π; 3 4 π; 5 4 π; 7 4 π}

318 Aufgabe 314: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin(2x) = 1 2 im Bereich von 0 x +2π. Substitution: u = 2x sin (u) = 1 2 Aus der Formelsammlung erhalten wir eine erste u 1 = 1 6 π Rücksubstitution: u = 2x 1 6 π = 2x x 1 = 1 12 π Eine weitere Lösung erhalten wir bei: u 2 = π 1 6 π = 5 6 π Rücksubstitution: u = 2x 5 π = 2x 6 x 2 = 5 12 π Weitere Lösung bei: u 3 = u 1 + 2π = 1 6 π + 2π = 13 6 π Rücksubstitution: u = 2x

319 13 π = 2x 6 x 3 = π Weitere Lösung bei: u 4 = u 2 + 2π = 5 6 π + 2π = 17 6 π Rücksubstitution: u = 2x 17 π = 2x 6 x 4 = π Weitere Lösung bei: u 5 = u 3 + 2π = 13 6 π + 2π = 25 6 π Rücksubstitution: u = 2x 25 π = 2x 6 x 5 = π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, also auch keine gültige Lösung. Aufgabe 315: L = { 1 12 π; π; π; π} Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin ( π x) = 0,4 4 im Bereich von 0 x +8. Substitution: u = π 4 x sin (u) = 0,

320 Mit Hilfe des Taschenrechners erhalten wir eine erste u 1 = 0,412 Rücksubstitution: u = π 4 x 0,412 = π 4 x x 1 = 0,412 4 π = 0,525 Im zweiten Feld erhalten wir eine weitere u 2 = π 0,412 = 2,730 Rücksubstitution: u = π 4 x 2,730 = π 4 x x 2 = 2,730 4 π = 3,476 Eine weitere Lösung erhalten wir bei einem Vielfachen der u1 u 3 = u 1 + 2π = 0, π = 6,695 Rücksubstitution: u = π 4 x 6,695 = π 4 x x 3 = 6,695 4 π = 8,524 Dieser Wert liegt außerhalb des vorgegebenen Bereiches, und ist damit keine Lösung. L = {0,525; 3,476} Aufgabe 316: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung

321 cos ( π 5 x) = im Bereich von 5 x +10. Substitution: u = π 5 x cos (u) = Die positive Lösung ermitteln wir mit Hilfe der Formelsammlung: u = 1 6 π Der Kosinus ist negativ im zweiten und dritten Feld, damit können wir zwei Lösungen ermitteln: u 1 = π 1 6 π = 5 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 5 6 π = π 5 x x 1 = 25 6 Eine zweite Lösung erhalten wir mit: u 2 = π π = 7 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 7 6 π = π 5 x x 2 = 35 6 π

322 Eine Periode weiter: u 3 = u 1 + 2π = 5 6 π + 2π = 17 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 17 6 π = π 5 x x 3 = 85 6 Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. Ausgehend von der u1-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 3 = u 1 2π = 5 6 π 2π = 7 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 7 6 π = π 5 x x 4 = 35 6 Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. Ausgehend von der u2-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 3 = u 2 2π = 7 6 π 2π = 5 6 π Rücksubstitution: u = π 5 x 5 6 π = π 5 x x 4 = 25 6 L = { 25 6 ; 25 6 ; 35 6 } Aufgabe 317: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung

323 sin(x π) = 1 2 im Bereich von 2π x +2π. Substitution: u = x π sin (u) = 1 2 Die positive Lösung ermitteln wir mit Hilfe der Formelsammlung: u = 1 6 π Der Sinus ist negativ im dritten und vierten Feld, damit können wir zwei Lösungen ermitteln: u 1 = π π = 7 6 π Rücksubstitution: u = x π 7 π = x π 6 x 1 = 13 6 π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. u 2 = 2π 1 6 π = 11 6 π Rücksubstitution: u = x π 11 π = x π 6 x 2 = 17 6 π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung

324 Ausgehend von der u1-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 3 = 7 6 π 2π = 5 6 π Rücksubstitution: u = x π 5 π = x π 6 x 3 = 1 6 π Ausgehend von der u3-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 4 = 5 6 π 2π = 17 6 π Rücksubstitution: u = x π 17 6 π = x π x 4 = 11 6 π Ausgehend von der u2-lösung gehen wir in den negativen Bereich: u 5 = 11 6 π 2π = 1 6 π Rücksubstitution: u = x π 1 π = x π 6 x 4 = 5 6 π u 5 = 1 6 π 2π = 13 6 π Rücksubstitution: u = x π

325 13 6 π = x π x 4 = 7 6 π L = { 11 6 π; 7 6 π; 1 6 π; 5 6 π} Aufgabe 318: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichung sin (x π) = im Bereich von π x +2π. Substitution: u = x π sin (u) = Die erste Lösung ermitteln wir mit Hilfe der Formelsammlung: u 1 = 1 4 π Rücksubstitution: u = x π 1 4 π = x π x 1 = 1 4 π 5 6 π = π = 7 12 π x 1 = 7 12 π Im zweiten Feld ergibt sich eine zweite u 2 = π 1 4 π = 3 4 π

326 Rücksubstitution: u = x π 3 4 π = x π x 2 = 3 4 π 5 6 π = π = 1 12 π x 2 = 3 4 π 5 6 π = π = 1 12 π u 3 = u 1 + 2π = 1 4 π + 2π = 13 4 π Rücksubstitution: x 3 = 13 4 π 5 6 u = x π 13 4 π = x π π = π = π Liegt nicht mehr im vorgegebenen Bereich, ist damit auch keine gültige Lösung. Ausgehend von der u1-lösung gehen wir in den positiven Bereich: u 3 = 1 4 π + 2π = 9 4 π Rücksubstitution: u = x π 9 4 π = x π x 4 = 9 4 π 5 6 π x 4 = π 12 x 4 = π Ausgehend von der u2-lösung gehen wir in den positiven Bereich:

327 u 3 = 3 4 π + 2π = 11 4 π Rücksubstitution: u = x π 11 4 π = x π x 4 = 11 4 π 5 6 π x 4 = π 12 x 4 = π L = { 7 12 π; π; π; π}

328 Vektorrechnung Aufgabe 319: Stellen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h fest. Wenn sich die Geraden schneiden, berechnen Sie auch den Schnittpunkt

329

330 Aufgabe 320:

331 Aufgabe 321:

332 Aufgabe 322: Aufgabe 323:

333 Aufgabe 324:

334

335

336

337

338

339 Aufgabe 325:

340

341 Aufgabe 326:

342 Aufgabe 327:

343

344 Aufgabe 328:

345 Aufgabe 329:

346 Aufgabe 330: