Theoretische Grundlagen der Informatik

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1 Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 18. Januar 2018 INSTITUT FÜR THEORETISCHE Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Greibach Normalform Greibach Normalform Eine kontextfreie Grammatik ist in Greibach-Normalform, wenn alle Ableitungsregeln von der Form sind. A aα mit A V, a Σ und α V Satz: Für jede kontextfreie Grammatik G, für die L(G) das leere Wort nicht enthält, kann eine (äquivalente) kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L(G ) in Greibach-Normalform konstruiert werden Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

3 Beweis - Ersetzung (i) Folgende Ersetzungen ändern nichts an der erzeugten Sprache: Ersetzung (i). Eine Regel wobei A α 1 Bα 2 B β 1, B β 2,..., B β r alle Regeln sind, deren linke Seite B ist, kann durch die Regeln ersetzt werden. A α 1 β 1 α 2 A α 1 β 2 α 2... A α 1 β r α Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

4 Beweis - Ersetzung (ii) Folgende Ersetzungen ändern nichts an der erzeugten Sprache: Ersetzung (ii). Seien A Aα 1,..., A Aα r A β 1,..., A β s alle Regeln, deren linke Seite A ist, wobei β i nicht mit A beginnen. Dann können die Regeln A Aα 1,..., A Aα r durch die Regeln A β 1 B,..., A β s B B α 1,..., B α r, B α 1 B,..., B α r B ersetzt werden. Dabei sei B eine neu eingeführte Variable Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

5 Beweis - Definitionen Annahme G ist in Chomsky-Normalform mit V = {A 1,..., A m } Σ = {a 1,..., a n } und damit ausschließlich Regeln der Form A i A j A k A i a j. Die Grammatik in Greibach-Normalform wird zusätzlich die Variablen {B 1,..., B m } benutzen. Sei V := {A 1,..., A m, B 1,..., B m } Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

6 Beweis: Invarianten V := {A 1,..., A m, B 1,..., B m } Σ = {a 1,..., a n } zu Beginn mit Regeln der Form A i A j A k A i a j. Während der Umformung sind folgende Invarianten erfüllt. 1.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren rechte Seite mit einer Variablen beginnt, besteht nur aus Variablen Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

7 Beweis: Invarianten V := {A 1,..., A m, B 1,..., B m } Σ = {a 1,..., a n } zu Beginn mit Regeln der Form A i A j A k A i a j. Während der Umformung sind folgende Invarianten erfüllt. 2.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren rechte Seite mit einer Variablen beginnt, beginnt mit einer Variablen aus V = {A 1,..., A m } Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

8 Beweis: Invarianten V := {A 1,..., A m, B 1,..., B m } Σ = {a 1,..., a n } zu Beginn mit Regeln der Form A i A j A k A i a j. Während der Umformung sind folgende Invarianten erfüllt. 3.Invariante Symbole aus Σ kommen nur als erstes Zeichen der rechten Seite einer Regel vor Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

9 Beweis: Invarianten V := {A 1,..., A m, B 1,..., B m } Σ = {a 1,..., a n } zu Beginn mit Regeln der Form A i A j A k A i a j. Während der Umformung sind folgende Invarianten erfüllt. 4.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren linke Seite aus V = {A 1,..., A m } ist und deren rechte Seite mit einer Variablen aus V beginnt, beginnt sogar mit zwei Variablen aus V Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

10 Beweis: Invarianten V := {A 1,..., A m, B 1,..., B m } Σ = {a 1,..., a n } zu Beginn mit Regeln der Form A i A j A k A i a j. Während der Umformung sind folgende Invarianten erfüllt. 5.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren linke Seite aus V \V = {B 1,..., B m } ist, besteht nur aus Variablen aus V Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

11 Beweis: Invarianten V := {A 1,..., A m, B 1,..., B m } Σ = {a 1,..., a n } zu Beginn mit Regeln der Form A i A j A k A i a j. Wir formen G zunächst so um, dass außer Invarianten 1-5 noch die nächste Invariante gilt: 6.Invariante Falls A i A j α Regel ist, so gilt j > i Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

12 Beweis - Übersicht Invarianten 1.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren rechte Seite mit einer Variablen beginnt, besteht nur aus Variablen. 2.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren rechte Seite mit einer Variablen beginnt, beginnt mit einer Variablen aus V = {A 1,..., A m }. 3.Invariante Symbole aus Σ kommen nur als erstes Zeichen der rechten Seite einer Regel vor. 4.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren linke Seite aus V = {A 1,..., A m } ist und deren rechte Seite mit einer Variablen aus V beginnt, beginnt sogar mit zwei Variablen aus V. 5.Invariante Die rechte Seite einer Regel, deren linke Seite aus V \V = {B 1,..., B m } ist, besteht nur aus Variablen aus V. 6.Invariante Falls A i A j α Regel ist, so gilt j > i Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

13 Beweis: Beispielgrammatik V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, A 2 1, {A 3 A 1 A 2, A 3 0} Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

14 Beweis - Verfahren - Schritt 1 Vorher: Grammatik in Chomsky-Normalform Nachher: 6. Invariante hält: Falls A i A j α Regel ist, so gilt j > i. Aktion: Dabei wenden wir (in dieser Reihenfolge) Ersetzung (ii) zur Ersetzung aller Regeln A 1 A 1 α Ersetzung (i) zur Ersetzung aller Regeln A 2 A 1 α Ersetzung (ii) zur Ersetzung aller Regeln A 2 A 2 α Ersetzung (i) zur Ersetzung aller Regeln A 3 A 1 α Ersetzung (i) zur Ersetzung aller Regeln A 3 A 2 α Ersetzung (ii) zur Ersetzung aller Regeln A 3 A 3 α Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

15 Beweis - Schritt 1 - Beispiel Ersetzung (i) A α 1 Bα 2 B β 1 β 2,... β r A α 1 β 1 α 2 α 1 β 2 α 2... α 1 β r α 2 B β 1 β 2,... β r V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, A 2 1, {A 3 A 1 A 2, A 3 0} V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, A 2 1, {A 3 A 2 A 3 A 2, A 3 0} Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

16 Beweis - Schritt 1 - Beispiel Ersetzung (i) A α 1 Bα 2 B β 1 β 2,... β r V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, A 2 1, {A 3 A 2 A 3 A 2, A 3 0} A α 1 β 1 α 2 α 1 β 2 α 2... α 1 β r α 2 B β 1 β 2,... β r V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, A 2 1, {A 3 A 3 A 1 A 3 A 2 1A 3 A 2, {A 3 0} Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

17 Beweis - Schritt 1 - Beispiel Ersetzung (ii) A Aα 1,..., A Aα r A β 1,..., A β s V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} A β 1 B,..., A β s B B α 1,..., B α r, B α 1 B,..., B α r B A β 1,..., A β s V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, A 2 1, {A 3 A 3 A 1 A 3 A 2, {A 3 0 1A 3 A 2 } S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, A 2 1, {A 3 0B 3 1A 3 A 2 B 3, {B 3 A 1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 2 B 3 {A 3 0 1A 3 A 2 } Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

18 Beweis - Verfahren - Schritt 2 Vorher: Alle Regeln sind von der Form A aα A α mit α (V ), a Σ wobei es keine ε-regeln oder Kettenregeln mit linker Seite A V gibt. Wegen Invariante 6 gibt es keine Regel A m α beginnen alle A m 1 α-regeln mit A m. Aktion: Ersetze mit absteigenden k alle Regeln der Form mittels Ersetzung (i). A k α mit α (V ) Nachher: Regeln mit linker Seite in V in Form A k aα, a Σ, α (V ) Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

19 Beweis - Schritt 2 - Beispiel Ersetzung (i) A α 1 Bα 2 B β 1 β 2,... β r V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 A 3 A 1, {A 2 1, {A 3 0B 3 1A 3 A 2 B 3, {A 3 0 1A 3 A 2 } {B 3 A 1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 2 B 3 A α 1 β 1 α 2 α 1 β 2 α 2... α 1 β r α 2 B β 1 β 2,... β r V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 0B 3 A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 {A 2 0A 1 1A 3 A 2 A 1 {A 2 1, {A 3 0B 3 1A 3 A 2 B 3, {A 3 0 1A 3 A 2 } {B 3 A 1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 2 B Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

20 Beweis - Schritt 2 - Beispiel Ersetzung (i) V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 A 2 A 3, {A 2 0B 3 A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 {A 2 0A 1 1A 3 A 2 A 1 1 {A 3 0B 3 1A 3 A 2 B 3, {A 3 0 1A 3 A 2 } {B 3 A 1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 2 B 3 V = {A 1, A 2, A 3 } Σ = {0, 1} S = A 1 R = {A 1 0B 3 A 1 A 3 {A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 A 3, {A 1 0A 1 A 3 1A 3 A 2 A 1 A 3 1A 3, {A 2 0B 3 A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 {A 2 0A 1 1A 3 A 2 A 1 1 {A 3 0B 3 1A 3 A 2 B 3, {A 3 0 1A 3 A 2 } {B 3 A 1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 2 B Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

21 Beweis - Verfahren - Schritt 3 Vorher: Rechte Seiten von Regeln, deren linke Seite aus V \V = {B 1,..., B m } ist, beginnen mit einer Variablen aus {A 1,..., A m } (wegen Invarianten 2 und 5). Aktion: Ersetze Regeln B i A j α, α (Σ V ) mit Ersetzung (i). Nachher: G ist in Greibach-Normalform Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

22 Beweis - Schritt 3 - Beispiel Ersetzung (i) {A 1 0B 3 A 1 A 3 {A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 A 3, {A 1 0B 3 A 1 A 3 {A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 A 3, {A 1 0A 1 A 3 1A 3 A 2 A 1 A 3 1A 3 {A, 1 0A 1 A 3 1A 3 A 2 A 1 A 3 1A 3, {A 2 0B 3 A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 {A 2 0A 1 1A 3 A 2 A 1 1 {A 3 0B 3 1A 3 A 2 B 3, {A 3 0 1A 3 A 2 } {B 3 A 1 A 3 A 2 A 1 A 3 A 2 B 3 {A 2 0B 3 A 1 1A 3 A 2 B 3 A 1 {A 2 0A 1 1A 3 A 2 A 1 1 {A 3 0B 3 1A 3 A 2 B 3, {A 3 0 1A 3 A 2 } {B 3 1A 3 A 3 A 2 0B 3 A 1 A 3 A 3 A 2 {B 3 1A 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 0A 1 A 3 A 3 A 2 {B 3 1A 3 A 2 B 3 A 1 A 3 A 3 A 2 1A 3 A 3 A 2 B 3 {B 3 0B 3 A 1 A 3 A 3 A 2 B 3 1A 3 A 2 A 1 A 3 A 3 A 2 B 3 {B 3 0A 1 A 3 A 3 A 2 B 3 {B 3 1A 3 A 2 B 3 A 1 A 3 A 3 A 2 B Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

23 Kellerautomaten Ein (nichtdeterministischer) Kellerautomat (NPDA bzw. PDA, Pushdown Automaton) besteht aus (Q, Σ, Γ, q 0, Z 0, δ, F ), wobei Q endliche Zustandsmenge Σ endliches Eingabealphabet Γ endliches STACK-Alphabet q 0 Q Anfangszustand Z 0 Γ Initialisierung des STACK δ : Q (Σ {ε}) Γ 2 Q Γ, d.h. δ(q, a, Z ) {(q, γ) : q Q, γ Γ } δ(q, ε, Z ) {(q, γ) : q Q, γ Γ } F Q Menge der akzeptierenden Endzustände, F = ist möglich Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

24 Kellerautomaten - Visualisierung Eingabeband E i n g a b e A Kellerautomat B C # Keller Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

25 Kellerautomaten - Arbeitsweise Eine Konfiguration eines PDA ist ein Tripel (q, w, α) mit q Q, w Σ der Teil der Eingabe, der noch nicht gelesen wurde, α Γ STACK-Inhalt. Zu Konfiguration (q, w 1... w k, Z 1... Z m ) gibt es die Nachfolgekonfigurationen: (q, w 2... w k, Z 1... Z r Z 2... Z m ) für alle (q, Z 1... Z r ) δ(q, w 1, Z 1 ) und (q, w 1... w k, Z 1... Z r Z 2... Z m ) für alle (q, Z 1... Z r ) δ(q, ε, Z 1 ) Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

26 Kellerautomaten - Arbeitsweise Ein PDA akzeptiert ein w Σ durch leeren Stack, wenn es eine zulässige Folge von Konfigurationen aus der Anfangskonfiguration (q 0, w, Z 0 ) in eine Konfiguration (q, ε, ε), q Q, gibt. Ein PDA akzeptiert ein w Σ durch einen akzeptierenden Endzustand, wenn es eine zulässige Folge von Konfigurationen aus der Anfangskonfiguration (q 0, w, Z 0 ) in eine Konfiguration (q, ε, γ) mit q F und γ Γ gibt. Ein PDA ist deterministisch (DPDA), falls für alle q Q, a Σ, Z Γ. δ(q, a, Z ) + δ(q, ε, Z ) Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

27 Kellerautomaten - Beispiel Ein DPDA für L = {w#w R w {0, 1} }. Informelle Beschreibung: Betrachte beliebiges Wort w 1... w n #w n... w 1 L. Phase 1 Lies w 1... w n und schreibe jeweils w i auf den STACK bis # gelesen. Phase 2 Lies w n... w 1 und vergleiche den jeweils gelesenen Buchstaben mit dem jeweils obersten Buchstaben auf dem STACK. Gleichheit: Nimm obersten Buchstaben vom STACK Sonst: Stoppe in nichtakzeptierenden Zustand Phase 3 Ist nur noch Z 0 auf dem STACK Entferne Z 0 Akzeptiere die Eingabe mit leerem STACK Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

28 Kellerautomaten - Beispiel Ein DPDA für L = {w#w R w {0, 1} }. (Q = {q 0, q 1, q 2 }, Σ = {0, 1, #}, Γ = Σ {Z 0 }), q 0, Z 0, δ, ) δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) Phase 1 δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) Trennzeichen gelesen Zu Phase 2 δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) Phase 2 δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Phase Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

29 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

30 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

31 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z 0 q 1 01#100 0Z Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

32 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z 0 q 1 01#100 0Z 0 q 1 1#100 00Z Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

33 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z 0 q 1 01#100 0Z 0 q 1 1#100 00Z 0 q 1 # Z Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

34 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z 0 q 1 01#100 0Z 0 q 1 1#100 00Z 0 q 1 # Z 0 q Z 0 q Z Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

35 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z 0 q 1 01#100 0Z 0 q 1 1#100 00Z 0 q 1 # Z 0 q Z 0 q Z 0 q 2 0 0Z Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

36 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z 0 q 1 01#100 0Z 0 q 1 1#100 00Z 0 q 1 # Z 0 q Z 0 q Z 0 q 2 0 0Z 0 q 2 Z Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

37 Beispiel - Berechnung für Eingabe 001#100 δ(q 0, 0, Z 0 ) = (q 1, 0Z 0 ) δ(q 0, 1, Z 0 ) = (q 1, 1Z 0 ) δ(q 1, 0, 0) = (q 1, 00) δ(q 1, 0, 1) = (q 1, 01) δ(q 1, 1, 0) = (q 1, 10) δ(q 1, 1, 1) = (q 1, 11) δ(q 1, #, 0) = (q 2, 0) δ(q 1, #, 1) = (q 2, 1) δ(q 2, 0, 0) = (q 2, ε) δ(q 2, 1, 1) = (q 2, ε) δ(q 2, ε, Z 0 ) = (q 2, ε) Zustand Eingabe Stack q 0 001#100 Z 0 q 1 01#100 0Z 0 q 1 1#100 00Z 0 q 1 # Z 0 q Z 0 q Z 0 q 2 0 0Z 0 q 2 Z 0 akzeptiert durch leeren Stack Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

38 Kellerautomaten - Beispiel 2 Ein NPDA für L = {ww R w {0, 1} }. Informelle Beschreibung: In diesem Fall fehlt das Trennzeichen. Der NPDA funktioniert wie der DPDA aus dem letzten Beispiel Der Übergang in Phase 2 funktioniert allerdings nichtdeterministisch. Bemerkung: Für die Sprache L = {ww R w {0, 1} } gibt es keinen DPDA. NPDAs können also mehr als DPDAs Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

39 Kellerautomaten - Beispiel 2 Ein NPDA für L = {ww R w {0, 1} }. (Q = {q 0, q 1, q 2 }, Σ = {0, 1, #}, Γ = Σ {Z 0 }), q 0, Z 0, δ, ) δ(q 0, 0, Z 0 ) = {(q 1, 0Z 0 )} Phase 1 δ(q 0, 1, Z 0 ) = {(q 1, 1Z 0 )} δ(q 1, 0, 0) = {(q 1, 00), (q 2, ɛ)} δ(q 1, 0, 1) = {(q 1, 01)} δ(q 1, 1, 0) = {(q 1, 10)} δ(q 1, 1, 1) = {(q 1, 11), (q 2, ɛ)} δ(q 2, 0, 0) = {(q 2, ε)} Phase 2 δ(q 2, 1, 1) = {(q 2, ε)} δ(q 2, ε, Z 0 ) = {(q 2, ε)} Phase Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

40 Satz: Zu einem PDA, der eine Sprache L durch einen akzeptierenden Endzustand akzeptiert, kann ein PDA konstruiert werden, der L mit leerem STACK akzeptiert Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

41 Beweis - Beschreibung Sei A 1 = (Q 1, Σ, Γ 1, δ 1, q0 1, Z 0 1, F 1) PDA, der L durch Übergang in einen Zustand aus F 1 akzeptiert. Wir konstruieren dazu einen PDA A 2 = (Q 2, Σ, Γ 2, δ 2, q0 2, Z 0 2 ), der L durch leeren STACK akzeptiert. Sei q E ein neuer Zustand Sei Z0 2 ein neues Stack-Symbol Idee der Konstruktion von A 2. Lege zu Beginn Z0 2 vor Z 0 1 auf den Stack, so dass der Stack nicht versehentlich geleert werden kann. Dann Verfahre wie in A 1. Wenn Zustand in F 1 erreicht wird: Gehe zu q E und leere den Stack Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

42 Beweis - Konstruktion A 1 = (Q 1, Σ, Γ 1, δ 1, q 1 0, Z 1 0, F 1) akzeptiert durch Endzustand A 2 = (Q 2, Σ, Γ 2, δ 2, q0 2, Z 0 2 ), akzeptiert durch leeren Stack Sei q E ein neuer Zustand Sei Z0 2 ein neues Stack-Symbol Q 2 = Q 1 {q0 2, q E} Γ 2 = Γ 1 {Z 2 0 } δ 2 (q 2 0, ε, Z 2 0 ) = {(q1 0, Z 1 0 Z 2 0 )} δ 2 (q, a, Z ) = δ 1 (q, a, Z ) für q Q 1, a = ε, Z Γ 1 δ 1 (q, a, Z ) für q Q 1 \F 1, a = ε, Z Γ 1 δ 2 (q, ε, Z ) = δ 1 (q, ε, Z ) {(q E, ε)} für q F 1, Z Γ 2 δ 2 (q E, ε, Z ) = {(q E, ε)} für Z Γ 2 δ( ) = sonst Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

43 Satz: Zu einem PDA, der eine Sprache L mit leerem STACK akzeptiert, kann ein PDA konstruiert werden, der L durch einen akzeptierenden Endzustand akzeptiert Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

44 Beweis - Beschreibung Sei A 1 = (Q 1, Σ, Γ 1, δ 1, q0 1, Z 0 1 ), ein PDA der w L mit leerem STACK akzeptiert Wir konstruieren dazu einen PDA A 2 = (Q 2, Σ, Γ 2, δ 2, q0 2, Z 0 2, F 2), der genau die w L durch Übergang in einen Zustand q F 2 akzeptiert. Sei Z0 2 ein neues Stack-Symbol Sei q F ein neuer (End-)Zustand Sei q0 2 ein neuer (Anfangs-)Zustand Idee der Konstruktion von A 2. Lege zu Beginn Z0 2 vor Z 0 1 auf den Stack, und lösche Z 0 2 nur, wenn die Abarbeitung von A 1 durch leeren Stack akzeptiert hätte. Gehe in Endzustand q F, wenn A 1 durch leeren Stack akzeptiert hätte Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

45 Beweis - Konstruktion A 1 = (Q 1, Σ, Γ 1, δ 1, q 1 0, Z 1 0, F 1) akzeptiert durch leeren Stack A 2 = (Q 2, Σ, Γ 2, δ 2, q0 2, Z 0 2 ), akzeptiert durch Endzustand q0 2 neuer Anfangszustand q F neuer (End-)Zustand ein neues Stack-Symbol Z 2 0 Q 2 = Q 1 {q 2 0, q F }, F 2 = {q F } Γ 2 = Γ 1 {Z 2 0 } { δ 2 (q0 2 {q, a, X ) = 1 0, Z0 1Z 0 2} falls a = ε und X = Z 0 2 sonst δ 2 (q, a, Z ) = δ 1 (q, a, Z ), falls q Q 1, a Σ {ε} und Z Γ 1 δ 2 (q, ε, Z 2 0 ) = {(q F, ε)} für q Q Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

46 Satz: Für eine Grammatik G in Greibach-Normalform kann ein PDA konstruiert werden, der L(G) mit leerem STACK akzeptiert Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

47 Beweis Sei G = (Σ, V, S, R) eine Grammatik in Greibach Normalform Konstruiere gewünschten Automaten A = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, Z 0 ) Q := {q 0 } Γ := V Z 0 := S δ(q 0, a, A) := {(q 0, α) (A aα) R} Per Induktion über die Länge i einer Ableitung beweisen wir: S w 1... w i A 1... A m A kann beim Lesen von w 1... w i den STACK-Inhalt A 1... A m erzeugen. Möglicherweise ist A 1... A m = ɛ. Daraus folgt: A erkennt w 1... w n mit leerem STACK S w 1... w n in G Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

48 Beweis Q := {q 0 } Γ := V Z 0 := S δ(q 0, a, A) := {(q 0, α) (A aα) R} Induktionsanfang ist mit i = 0 trivialerweise erfüllt. Induktionsschritt: Sei i 1 und j stehe für eine Ableitung der Länge j. Dann gilt S i w 1... w i A 1... A m A V, r {1,..., m} mit S i 1 w 1... w i 1 A A r... A m w 1... w i A 1... A m. Mit Induktionsvoraussetzung ist dies äquivalent zu A V, r {1,..., m} so, dass A das Wort w 1... w i 1 lesen und dabei STACK-Inhalt A A r... A m erzeugen kann, und A w i A 1... A r 1 Regel von G ist Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

49 Beweis Q := {q 0 } Γ := V Z 0 := S δ(q 0, a, A) := {(q 0, α) (A aα) R} Induktionsanfang ist mit i = 0 trivialerweise erfüllt. Induktionsschritt: Sei i 1 und j stehe für eine Ableitung der Länge j. Mit Induktionsvoraussetzung ist dies äquivalent zu A V, r {1,..., m} so, dass A das Wort w 1... w i 1 lesen und dabei STACK-Inhalt A A r... A m erzeugen kann, und A w i A 1... A r 1 Regel von G ist. Dies ist genau dann erfüllt, wenn A das Wort w 1... w i lesen und dabei den STACK-Inhalt A 1... A m erzeugen kann Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE

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