Noethertheorem. 30. Januar 2012

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1 Noethertheorem 30. Januar

2 Inhaltsverzechns 1 Symmetre Symmetre n der Geometre Symmetre n der Mathematk Symmetre n der Physk Raum-Zet-Symmetren Sonstges Herletung des Noether-Theorems 6 3 Bespel zur Symmetre des Potentals Invaranz der Wrkung Erhaltungsgröße

3 1 Symmetre Der Wortherkunft nach altgrechsch ( σνµµετ ρια gleches Maß?) Aus ener Velzahl von möglchen Defntonen se ztert: Symmetre st ene harmonsch-ästhetsche Kategore als Ausdruck von Schönhet und Vollkommenhet. De Symmetre fndet n den Regeln formaler Systeme hren Nederschlag. 1.1 Symmetre n der Geometre Konzept der Abbldung enes geometrschen Objektes auf sch selbst (Symmetreoperatonen) Spegelung (Reflexon) Drehung (Rotaton) Schebung (Translaton) dskrete Transformaton stetge Transformaton 1.2 Symmetre n der Mathematk Gruppentheore als Bass (Galos, Abel, Klen, Le) Permutatonsgruppen Drehgruppen 1.3 Symmetre n der Physk Physk beschäftgt sch mt der Darstellung von Gruppen, z.b. st de 3 x 3 Drehmatrx mt det +1 de Darstellung der spezellen orthogonalen Gruppe SO(3) 3

4 Bedeutung der Symmetre wrd zur Invaranz verallgemenert (d.h. kene Änderung unter ener belebgen Transformaton) Fast alle Naturgesetze beruhen auf Symmetren. Nobelpresträger P.W. Anderson: Physk st das Studum von Symmetren 1.4 Raum-Zet-Symmetren Physkalsche Systeme werden durch mathematsche Modelle beschreben (z.b. Bewegungsglechungen als DGL 2. Ordnung, Lagrange-Funkton) Galle-Transformaton (GT) Inertalsystem (IS) mt den Koordnaten x1, x2, x3, t GT kann unter zwe Geschtspunkten betrachtet werden: Passve Transformaton: en physkalsches System wrd von zwe verschedenen Bezugssystemen aus betrachtet (Kovaranz? Beschrebung durch Gesetze der glechen Form) Aktve Transformaton: zwe physkalsche Systeme werden nnerhalb enes Bezugssystems betrachtet (auch her Beschrebung der Vorgänge durch Gesetze glecher Form,.A. laufen de Vorgänge n beden Systemen jedoch verscheden ab) Abgeschlossene Systeme (Bewegungsgesetze snd ncht nur kovarant sondern auch nvarant), äußere Enflüsse stören Invaranz Durch GT werden beschreben: zetlche Verschebung um konstanten Betrag t 0 räumlche Verschebung um konstanten Vektor a räumlche Drehung um 3 konstante Wnkel (Drehmatrx a j ) Verschebung um zetabhänggen Vektor v t (Boost) De entsprechenden Symmetren heßen: 4

5 Homogentät der Zet Homogentät des Raums Isotrope des Raums Relatvtät der Raum-Zet Daraus resulteren de entsprechenden Erhaltungsgrößen: Energeerhaltung Impulserhaltung Drehmpulserhaltung Schwerpunktserhaltung De Aussage, dass Raum und Zet n enem IS de genannten Symmetren aufwesen, st ene Annahme, welche mt den Erfahrungstatsachen überenstmmt (Expermente). Zwe Enschränkungen snd zu beachten: Relatvgerschwndgket v c Es gbt ken globales Inerstalsystem 1.5 Sonstges Bespele weterer Erhaltungsgrößen: Elektrsche Ladung (Quantenelektrodynamk) Farbladung (Quantenchromodynamk) Baryonenzahl Leptonenzahl 5

6 2 Herletung des Noether-Theorems Unser Zel, soll es nun sen, zu zegen, dass Transformatonen, welche de hamltonsche Wrkung S nvarant lassen, automatsch ene Erhalungsgröße mt sch brngen. Wr gehen vom Prnzp der statonären Wrkung aus. D.h., dass de wahre Trajektore so ausseht, dass se de Wrkung unter klenen Änderungen nvarant lässt (mnmert oder maxmert). S = t2 t 1 dtl(x,, t) (1) Wr betrachten her nur kontnuerlche Transformatonen. Das snd solche, de sch aus ener Rehe nfntesmaler Änderungen zusammensetzen lassen. Allgemen sehen solche Transformatonen so aus: x x = x + εψ (x,, t) + O(ε 2 ) (2) t t = t + ϕ(x,, t) + O(ε 2 ) (3) Da wr nur nfntesmale Änderungen betrachten, können wr de zweten Ordnungen von ε vernachlässgen. Be ε = 0 haben wr de dente Abbldung. Wr schauen uns nun an, was passert, wenn de Wrkung unter ener Transformaton nvarant blebt: S = S (4) t 2 t 1 ( ) dtl x, dx t2 dt, t = t 1 t2 dtl(x,, t) = t2 t 1 dtl ( x, dx dt, t ) dt dt L(x,, t) + ε d t 1 dε (L(x, dx dt, t ) dt dt ) ε=0 (6) }{{} I damt S = S muss I = 0 sen. Wr leten de Lagrange Funkton also nach ε ab. Herbe müssen wr auf de Abhänggketen achten und partell ableten. [( dx I = x dε + ) ] d dε + dt dt (7) t dε dt ε=0 ( ) ( = dx dt = dx dt dt dt = dx dt + εdψ 1 ε dϕ ) = dx dt dt dt +εdψ dt ε dϕ dt +O(ε2 ) (8) 6 dt (5)

7 Terme zweter Ordnung von ε werden weder vernachlässgt. dt dt = 1 + εdϕ dt wr setzen des als neue Argumente unsere Lagrange Funkton en: [( I = ψ x + ( ) ) ( dψ dt dϕ + dt t ϕ 1 + ε dϕ ) dt wr werten an der Stelle ε = 0 aus. Dabe geht x x: I = ψ + ( ) dψ x dt dϕ + dt t ϕ + Ldϕ dt + L dϕ dt (9) ] ε=0 (10) (11) aufgrund der Euler Lagrange Glechung folgt: x ψ + dψ dt = d dt [ ] ψ (12) und daher: I = d dt [ ] [ ψ + L ] dϕ dt + ϕ t (13) wr benutzen nun (ohne Herletung): [ d L dt ] = t (14) woraus folgt: [( d L dt ) ] ( ϕ = t ϕ + L ) dϕ dt (15) des setzen wr n I en: [ ] [ 0 = I = d ψ + d L dt dt 7 ] ϕ ϕ t + ϕ }{{ t} =0 (16)

8 wr erhalten schtlch also en totales Dfferental nach der Zet, das 0 st. Daher st der engeklammerte Ausdruck konstant: [ ( 0 = d ψ + L ) ] ϕ (17) dt }{{} const. Somt haben wr ene allgemene Erhaltungsgröße gefunden, de bloß daher rührt, dass ene allgemene Transformaton der verallgemenerten Koordnaten angewandt wurde, welche de hamltonsche Wrkung unverändert lässt. 3 Bespel zur Symmetre des Potentals Gegeben se en Telchen der Masse m n enem Potental: Mt r = r und α 0. U = α r 2 (18) 3.1 Invaranz der Wrkung Als erstes soll gezegt werden, dass de Wrkung des Telchens nvarant st unter der Transformaton: r r = λr (19) Sowe t t = λ 2 t (20) Welches ene Skalentransformaton st (λ 0). De Wrkung st allgemen defnert als: S(r(t), ṙ(t)) = t2 L(r(t), ṙ(t))dt (21) 8

9 L st de Lagrange-Funkton: L=T-U, wobe T de knetsche, und U de potentelle Energe st. Wenn de Wrkung nvarant st, muss gelten: S = S (22) S ergbt sch zu: S = t 2 t 1 dt L = t2 t 1 dtl dt dt (23) Somt muss für de Invaranz der Wrkung überprüft werden, ob glt: L = L dt dt (24) De Lagrange-Funkton st her: L = m 2 ṙ2 α r 2 (25) Und: Weters glt: ( L dt dt = m 2 ( dr dt ) ) 2 α dt r 2 dt (26) r = λr dr = λdr und t = λ 2 t dt = λ 2 dt (27) Also dr dt = λdr λ 2 dt = ṙ λ Setzt man des n (Gl.26) en, so erhält man: und dt dt = λ2 (28) 9

10 ( L dt m dt = 2 ṙ2 λ α ) λ 2 = m 2 λ 2 r 2 2 ṙ2 α r = L (29) 2 Somt st de Invaranz der Wrkung gezegt. Aus der Invaranz folgt laut dem Neother-Theorem ene Erhaltungsgröße. 3.2 Erhaltungsgröße Das Noether-Theorem besagt: Wobe glt: Q = ṙ ψ + ( L ) ṙ ṙ ϕ = const (30) r = r + εψ (31) Und t = t + εϕ (32) Wobe ε nfntssmal klen gewählt wrd. De Tansformaton n desem Bespel wurde schon n (Gl.19) und (Gl.20) angegeben. Um se auf de Form (Gl.31) und (Gl.32) zu brngen, setzt man α = 1 + ε. Es ergbt sch dann: r = r + εr ψ = r (33) Und t = t + 2εt φ = 2t (34) Herbe kann ja ε 2 t vernachlässgt werden, da ε nfntssmal klen st. Nun kann man de Lagrangefunkton (Gl.25) ableten und zusammen mt 10

11 (Gl.33) und (Gl.34) n (Gl.30) ensetzen: ( m Q = const = mrṙ + 2 ṙ2 α ) r 2 mṙ2 2t = mrṙ m 2 ṙ2 + α }{{ r 2 2t } E (35) Und noch enmal überschtlcher angeschreben: mrṙ 2Et = const (36) Somt wurde auch de Erhaltungsgröße hergeletet. 11