Laurentreihen und Singularitäten

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1 Laurentreihen und Singularitäten Wichtig: Zu jeder Laurentreihe das Konvergenzgebiet angeben! Wichtig: Ob man eine Laurentreihe verwenden kann um damit Singularitäten klassifizieren und Residuen berechnen zu können hängt vom Konvergenzgebiet ab! Um mit einer Laurentreihe die Art der Singularität in z 0 zu bestimmen oder das Residuum in z 0 zu berechnen muss das Konvergenzgebiet von der Form {z C : 0 < z z 0 < R} für ein R > 0 (R = ist zugelassen) sein! Es darf also nicht von der Form {z C : r < z z 0 < R} mit r > 0 sein! Besteht das Konvergenzgebiet einer Laurentreihe aus allen komplexen Zahlen außer z 0, so kann man es folgendermaßen schreiben:. C\{z 0 }.. {z C : z z 0 }. (schlampiger: z z 0 ). 3. {z C : z z 0 > 0}. (schlampiger: z z 0 > 0). 4. {z C : 0 < z z 0 < }. (schlampiger: 0 < z z 0 < ). Dabei wird man normalerweise die schlampigere Schreibweise (die ja genau so aussagekräftig ist) wählen. Welche der 4 Formen man wählt ist im Prinzip egal, man muss sich nur merken, dass sie zur 4. Form (0 < z z 0 < ) äquivalent ist, und daher geeignet ist, um damit die Art der Singularität in z 0 festzustellen und das Residuum in z 0 zu bestimmen. Beispiel : Die Funktion f sei durch f(z) := sin(3z ) z definiert. Lösung: Wegen sinz = ( ) n (n+)! zn+ für alle z C erhalten wir durch Einsetzen von 3z in diese Reihe, dass sin(3z ) = ( ) n 3 n+ (n+)! z 4n+ für

2 LAURENTREIHEN alle z C gilt. Durch Dividieren durch z erhalten wir: ( ) n 3 n+ z 4n = (n+)! = z ! z8 37 7! z ! z6... b) Die Laurentreihe aus a) besitzt nur positive Potenzen (auf das was oben steht kommt es an, nicht auf die Koeffizienten!), daher ist0eine hebbare Singularität von f. c) Wegen b) gilt lim a 0 = 3 (a 0 ist der Koeffizient von (z z 0 ) 0 ). d) (Res(f,0) = a, a ist der Koeffizient von (z z 0 ) = z z 0 ). Aus der Laurentreihe in a) sieht man Res(f,0) = 0. Beispiel : Die Funktion f sei durch f(z) := cos(z3 ) z definiert. Lösung: Wegen cosz = ( ) n (n)! zn für alle z C erhalten wir durch Einsetzen von z 3 in diese Reihe, dass cos(z 3 ) = + ( ) n n= (n)! z6n = durch z erhalten wir: n= n= ( ) n (n)! z6n = ( ) n (n)! z6n = ( ) n (n)! z6n für alle z C gilt. Durch Dividieren = z5 + 4 z 6! z7 + 8! z3 0! z9 +...

3 SINGULARITÄTEN 3 b) Die Laurentreihe aus a) besitzt nur positive Potenzen, daher ist 0 eine hebbare Singularität von f. c) Wegen b) gilt lim a 0 = 0. d) Aus der Laurentreihe in a) sieht man Res(f,0) = 0. Beispiel 3: Die Funktion f sei durch f(z) := e z definiert. Lösung: Wegen e z = n! zn für alle z C erhalten wir durch Einsetzen von in diese Reihe, dass z e z = für alle z 0 gilt. Daher erhalten n! z n wir: n! z = n n! z n = = + z + z + 3! z + 3 4! z + 4 5! z b) Die Laurentreihe aus a) besitzt unendlich viele negative Potenzen, daher ist 0 eine wesentliche Singularität von f. c) Wegen b) existiert limf(z) nicht. Die Funktion f nimmt in jeder Umgebung von 0 alle komplexen Zahlen mit Ausnahme von höchstens einer unendlich oft an. d) Aus der Laurentreihe in a) sieht man Res(f,0) =. Beispiel 4: Die Funktion f sei durch f(z) := e z z definiert.

4 4 LAURENTREIHEN Lösung: Wegen e z = n! zn für alle z C erhalten wir durch Einsetzen von in diese Reihe, dass z e z = für alle z 0 gilt. Durch n! z n Dividieren durch z erhalten wir: n! z n = = z + z + 3! z + 4 3! z + 5 4! z b) Die Laurentreihe aus a) besitzt unendlich viele negative Potenzen, daher ist 0 eine wesentliche Singularität von f. c) Wegen b) existiert limf(z) nicht. Die Funktion f nimmt in jeder Umgebung von 0 alle komplexen Zahlen mit Ausnahme von höchstens einer unendlich oft an. d) Aus der Laurentreihe in a) sieht man Res(f,0) = 0. Beispiel 5: Die Funktion f sei durch f(z) := z 5 e z definiert.

5 SINGULARITÄTEN 5 Lösung: Wegen e z = n! zn für alle z C erhalten wir durch Einsetzen von in diese Reihe, dass z e z = für alle z 0 gilt. Durch n! z n Multiplizieren mit z 5 erhalten wir: n! z5 n = z 5 +z 4 +! z3 + 3! z + + 4! z + 5! + 6! z + 7! z + 8! z 3 + 9! z b) Die Laurentreihe aus a) besitzt unendlich viele negative Potenzen, daher ist 0 eine wesentliche Singularität von f. c) Wegen b) existiert limf(z) nicht. Die Funktion f nimmt in jeder Umgebung von 0 alle komplexen Zahlen mit Ausnahme von höchstens einer unendlich oft an. d) Aus der Laurentreihe in a) sieht man Res(f,0) = 6! = 70. Beispiel 6: Die Funktion f sei durch f(z) := 7z 5 z z +7 definiert. a) Berechne die Laurentreihenentwicklung von f um 3, bei der 0 im Konvergenzgebiet liegt, und gib das entsprechende b) Berechne die Laurentreihenentwicklung von f um 3, bei der 0 im Konvergenzgebiet liegt, und gib das entsprechende c) Was für eine Singularität besitzt f im Punkt 3? d) Bestimme lim z 3 e) Berechne Res(f,3). Lösung: Die Partialbruchzerlegung von f liefert Man schreibt 5 z 3 + z 9. z 9 = (z 3) 6.

6 6 LAURENTREIHEN Jetzt kann man auf zwei Arten weiterrechnen:. = = z 9 (z 3) 6 6 ( z 3 ). Aus der geometrischen Reihe erhalten wir 6 für z 3 6 < z 3 < 6, dass = ( z 3 ) n z = (z 6 n+ 3) n. Durch Addieren von 5 erhalten wir: z 3 5 z n+(z 3)n = = 5 z (z 3) 6 3(z 3) 6 4(z 3)3 6 5(z 3)4... Konvergenzgebiet: 0 < z 3 < 6. Wegen 0 < 0 3 = 3 < 6 ist das die Lösung von b). Diese Laurentreihe ist zum Feststellen welche Art von Singularität in 3 vorliegt und zum Berechnen des Residuums in 3 geeignet, weil das Konvergenzgebiet 0 < z 3 < 6 ist.. = = z 9 (z 3) 6 z 3 ( 6 z 3 für 6 z 3 < z 3 > 6, dass = z 9 z 3 6 n = (z 3) n+ (z 3) (z 3) (z 3) 3 (z 3) 4 erhalten wir: von 5 z 3 7 z n (z 3) n = n= ). Aus der geometrischen Reihe erhalten wir ( 6 n z 3) = +... Durch Addieren (z 3) 5 = 7 z 3 + (z 3) + 7 (z 3) (z 3) (z 3) Konvergenzgebiet: 6 < z 3. Wegen6 < 0 3 = 7 ist das die Lösung von a). Diese Laurentreihe ist nicht zum Feststellen welche Art von Singularität in 3 vorliegt und zum Berechnen des Residuums in 3 geeignet, weil das Konvergenzgebiet 6 < z 3 ist! c) Die Laurentreihe aus b) besitzt die Potenz und sonst nur höhere Potenzen, daher ist 3 ein Pol. Ordnung von f. d) Wegen c) gilt lim. e) Aus der Laurentreihe in b) sieht man Res(f,3) = 5. Beispiel 7: Die Funktion f sei durch f(z) := 3z +z 8740 z 3 38z 57z definiert. a) Berechne die Laurentreihenentwicklung von f um 3, bei der 0 im Konvergenzgebiet liegt, und gib das entsprechende

7 SINGULARITÄTEN 7 b) Berechne die Laurentreihenentwicklung von f um 3, bei der 00 im Konvergenzgebiet liegt, und gib das entsprechende Konvergenzgebiet an. c) Was für eine Singularität besitzt f im Punkt 3? d) Bestimme lim z 3 f(z). e) Berechne Res(f,3). Lösung: Die Partialbruchzerlegung von f liefert Man schreibt 7 z (z 3) 4 z +4. z +4 = (z 3)+55. Jetzt kann man auf zwei Arten weiterrechnen:. = = 4 z+4 (z 3) ( z 3 ). Aus der geometrischen Reihe erhalten 55 wir für z 3 55 < z 3 < 55, dass = 4 ( ) z+4 55 z 3 n = 55 4( ) n+ (z 3) n. Durch Addieren von erhalten wir: 55 n+ z 3 (z 3) = 3 (z 3) + 7 z 3 + 4( ) n+ 55 n+ (z 3) n = 3 (z 3) + 7 z (z 3) (z 3) (z 3) (z 3) Konvergenzgebiet: 0 < z 3 < 55. Wegen0 < 0 3 = 3 < 55 ist das die Lösung von a). Diese Laurentreihe ist zum Feststellen welche Art von Singularität in 3 vorliegt und zum Berechnen des Residuums in 3 geeignet, weil das Konvergenzgebiet 0 < z 3 < 55 ist.. = z+4 erhalten wir dann für 55 ( ) 55 n = z 3 = (z 3)+55 z 3 z 3 z 3 ( 55 ). Wegen der geometrischen Reihe z 3 < z 3 > 55, dass = z+4 (z 3) ( )n n (z 3) n+ = 4 z (z 3) (z 3) (z 3) (z 3) 6... Durch Addieren von 7 z (z 3)

8 8 LAURENTREIHEN erhalten wir: 3 z (z 3) + ( ) n n (z 3) n = n= = 3 z (z 3) 00 (z 3) (z 3) (z 3) (z 3) 6... Konvergenzgebiet: 55 < z 3. Wegen 55 < 00 3 = 69 ist das die Lösung von b). Diese Laurentreihe ist nicht zum Feststellen welche Art von Singularität in 3 vorliegt und zum Berechnen des Residuums in 3 geeignet, weil das Konvergenzgebiet 55 < z 3 ist! c) Die Laurentreihe aus a) besitzt die Potenz und sonst nur höhere Potenzen, daher ist 3 ein Pol. Ordnung von f. d) Wegen c) gilt lim. e) Aus der Laurentreihe in b) sieht man Res(f,3) = 7.