B Figuren und Körper

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "B Figuren und Körper"

Transkript

1 B Figuen und Köpe 1 Keis und Keisteile Ein Keis mit dem Rdius ht den Flächen inhlt A = p 2 und den Umfng U = 2p. Die Keiszhl p = 3,14159 ist eine itionle Zhl. Als Nähe ungswete fü p benutzt mn oftmls p < 3,14 ode p < 3 } 1 7. Bei einem Keisusschnitt (Keissekto) b mit dem Mittelpunkts winkel und dem Rdius gelten: α Flächeninhlt: A = p 2 Bogenlänge: b = 2p }} 360 }} 360 Beispiele Beechne den Flächeninhlt und den Umfng de beiden guen Figuen. Lösung Die linke Figu besteht us einem goßen Hlbkeis vom Rdius g = 4,00 m und zwei kleinen Hlbkeisen vom Rdius k = 2,00 m. Dmit egeben sich 8,00 m 108 8,00 m A = } 1 2 p 2 g + 2 } 1 2 p 2 k = } 1 2 p 2 g + p 2 k = } 1 2 p (4,00 m)2 + p (2,00 m) 2 < 37,70 m 2 und U = } 1 2 2p g + 2 } 1 2 2p k = p g + 2p k = p 4,00 m + 2p 2,00 m = 8,00 pm < 25,13 m. Die echte Figu ist ein Keisusschnitt mit dem Mittelpunktswinkel = 108 und dem Rdius = 4,00 m. Dmit betägt A = p 2 }} 360 = p (4,00 m)2 }} = p (4,00 m)2 0,3 < 15,08 m 2. Die Rndlinie de Figu besteht us zwei Stecken de Länge = 4,00 m und 108º einem Keisbogen de Länge b = 2p }} = 2p 4,00 m }} < 7,54 m º De Umfng de Figu betägt dmit U = 2 + b < 2 4,00 m + 7,54 m = 15,54 m. 16

2 1 Keis und Keisteile 1. Tge die fehlenden Gößen des Keises in die Tbelle ein. Rdius Duchmesse d Flächeninhlt A Umfng U ) 6,80 m b) 8,8 cm Aufgben c) 22,9 dm 2 2. Tge die fehlenden Gößen des Keisusschnitts in die Tbelle ein. Rdius Mittel punktswinkel ) 4,60 cm 72 Flächen inhlt A Bogen länge b b) 5,50 m 4,80 m c) 3,20 dm 14,3 dm 2 3. ) Ein Keising ht einen Innendius von = 3,00 dm und einen Außendius von R = 4,50 dm. Beechne den Flächeninhlt des Keisings. b) Ein Keising mit eine Beite von 1,0 cm ht einen Flächen inhlt von 110 cm 2. Beechne den inneen und den äußeen Rdius des Keisings. R Beite 4. Auf welches Vielfche wächst de Flächeninhlt eines Keises, wenn mn den Keisdius ) vedoppelt, b) vedeifcht, c) hlbiet? 5. Die Sonne wid wähend eines Jhes (365,25 Tge) von de Ede umundet. Die Ede bewegt sich dbei nnähend uf eine Keisbhn mit einem Rdius von etw 1, km. Welchen Weg legt die Ede dbei ) po Jh, b) po Tg, c) po Sekunde zuück? 6. Dücke den Flächeninhlt und den Umfng eines Keises mithilfe des Duchmesses d us. 7. De Edumfng m Äquto betägt ungefäh km. Beechne dmit den Eddius näheungsweise. 8. Zeige, dss die vie guen Möndchen zusmmen denselben Flächeninhlt hben wie ds fbige Qudt. 17

3 B Figuen und Köpe 9. Zeichne die Figuen im Mßstb 2 : 1 b. Beechne dnch jeweils Umfng und Flächeninhlt de von di gezeichneten (vegößeten) Figuen. ) b) c) 10. Beechne den Umfng und den Flächeninhlt de guen Figuen. ) b) 4,00 dm 10,0 cm 4,00 dm 4,00 dm 11. Die Zhl p knn mn näheungsweise mit de Monte-Clo-Methode bestim men. Dzu denken wi uns ein Qudt mit de Seitenlänge 1, in ds ein Vietel keis mit dem Flächeninhlt A = } p 4 einbeschieben wude. Wi lssen in Gednken 1000 Regentopfen whllos veteilt uf ds Qudt egnen. Wenn nun z. B. 779 Topfen den Vietelkeis teffen, gilt 779 }} 1000 < A Vietelkeis }}}} = A Qudt p } 4 } 1 = } p 4. 1 (x y) y 0 x 1 Dmit egibt sich lso 0,779 < } p und somit 4 0,779 = 3,116 < p. 4 De Aufteffpunkt eines Regentopfens ht die Koo dinten (x y). Lndet de Topfen im Innen ode uf dem Rnd des Vietelkeises, gilt x 2 + y 2 # 1. Nun sollst du es nicht meh egnen lssen, sonden di m PC 1000 Pe von Zuflls zhlen mit 0 # x # 1 und 0 # y # 1 usgeben und zählen lssen, bei wie vielen diese Pe die Vietelkeis- Bedingung x 2 + y 2 # 1 efüllt ist. Bestimme dmit p näheungsweise. 18

4 2 Keiszylinde Ein Keiszylinde (ode kuz: Zylinde) ht ls Gund- bzw. Deckfläche zwei pllele und konguente Keise; de Abstnd de zugehöigen pllelen Ebenen ist die Höhe des Zylindes. Volumen = Gundfläche Höhe V = G h = p 2 h Obeflächeninhlt = 2 Gundfläche + Mntelfläche O = 2G + M = 2p 2 + M Ein gede Zylinde besitzt ls Mntel ein Rechteck mit den Mßen 2p h. Dmit betägt: O = 2p 2 + 2p h = 2p( + h) Ds Volumen und de Obeflächeninhlt des bgebildeten geden Zylindes weden beechnet. 5,0 cm Beispiel Es sind = 2,5 cm und h = 4,0 cm. V = p 2 h = p (2,5 cm) 2 4,0 cm = 25p cm 3 < 78,5 cm 3 O = 2p( + h) = 2p 2,5 cm (2,5 cm + 4,0 cm) = 32,5p cm 2 < 102,1 cm 2 4,0 cm 12. Zeichne ein Netz des Zylindes us dem obigen Beispiel. Aufgben 13. Egänze die Tbelle, in de es um gede Keiszylinde geht. ) b) c) d) Rdius 2,0 cm 5,0 cm Höhe h 3,0 cm 3,5 dm 16,0 m Mntelfläche M 22,0 dm 2 Obeflächeninhlt O 377,0 cm 2 Volumen V 3217,0 m Beechne ds Volumen und die Obefläche des Rings. ) i = 4,0 cm, = 6,0 cm, h = 1,0 cm b) i = 1,2 cm, = 1,8 cm, h = 0,8 cm h i 19

5 B Figuen und Köpe 3 Keiskegel Ein Keiskegel (ode kuz: Kegel) ht eine Spitze S und ls Gundfläche einen Keis. Jede Stecke von einem Punkt de Keislinie zu Spitze heißt Mntellinie. De Abstnd de Spitze von de Gund ebene ist die Höhe des Kegels. Volumen = } 1 3 Gundfläche Höhe V = } 1 3 G h = } 1 3 p2 h Obeflächeninhlt = Gundfläche + Mntelfläche O = G + M = p 2 + M Ein gede Kegel besitzt ls Mntel einen Keisusschnitt mit M = ps, wobei s die Länge de Mntellinie ist. Dnn gilt: O = p 2 + ps = p( + s). Beispiel Wi beechnen ds Volumen und den Obeflächeninhlt des bgebildeten geden Kegels mit den Mßen h = 4,0 cm und = 3,0 cm. h S s Lösung V = } 1 3 p2 h = } 1 3 p 36 cm3 = 12p cm 3 < 37,7 cm 3 Um den Obeflächeninhlt O zu bestimmen, müssen wi zuest s beechnen. Dzu vewenden wi den Stz des Pythgos: s = Ï } 2 + h 2 = 5,0 cm. O = p( + s) = p 3,0 cm (3,0 cm + 5,0 cm) = 24p cm 2 < 75,4 cm 2 Aufgben 15. Betchte noch einml den Kegel us dem Beispiel. Sein Mntel ist ein Keisusschnitt mit dem Mittelpunktswinkel. ) Beechne. b) Zeichne ein Netz des Kegels. 16. Egänze die Tbelle, in de es um gede Keiskegel geht. ) b) c) d) Rdius 2,0 cm 5,0 dm 3,5 m 3,0 cm Höhe h 3,0 cm Mntellinie s 13,0 dm Obeflächeninhlt O 91,5 cm 2 Volumen V 82,1 m 3 20

6 s 3 Keiskegel 17. Ein kegelfömige Messbeche ht oben einen lichten Duchmesse von 13,0 cm und eine Innenhöhe von ebenflls 13,0 cm. ) Wie goß ist ds Fssungsvemögen des Messbeches? b) Begünde, dss die Mke fü 400 ml in de Höhe x < 11,5 cm ngebcht ist. x 13,0 cm 13,0 cm 18. Ein Keisusschnitt mit einem Rdius von 7,5 cm und einem Mittelpunktswinkel von 120 wid zum Mntel eines geden Keiskegels gefomt. Beech ne fü diesen Keiskegel die Höhe h und den Rdius des Gundkeises. Bedenke, dss die Bogenlänge des Keisusschnitts dem Umfng des Gundkeises des Kegels entspicht. s h 19. Fu Andesen bstelt mit ihe fünfjähigen Tochte Sbine eine Schultüte. Dzu schneiden sie us einem goßen Stück Pppe einen Keisusschnitt mit dem Rdius 45 cm und einem Öffnungswinkel von 100 us. ) Wie hoch wid die Schultüte und wie goß wid ihe Öffnung? b) Nch dem Zusmmenkleben soll die Schultüte ußen noch bemlt weden. Wie goß ist die Außenfläche de Schultüte? c) Wie goß ist ds Fssungsvemögen de fetigen Schultüte? 20. Um wie viel Pozent wächst ds Volumen eines Kegels, wenn mn ) den Rdius beibehält und die Höhe um 20% vegößet, b) die Höhe h beibehält und den Rdius um 20% vegößet? 21. Ein echtwinkliges Deieck mit den Ktheten längen und 2 otiet einml um die küzee und einml um die län gee Kthete. Beechne die Volumin und Obe - flä chen inhlte de dbei ent stehenden Kegel. 2 21

7 B Figuen und Köpe 4 Kugeln Eine Kugel mit dem Rdius ht ds Volumen V = 4 } 3 p3 und den Obeflächeninhlt O = 4p 2. Beispiel De Obeflächeninhlt eine Kugel betägt cm 2. Wie goß sind de Rdius und ds Volumen de Kugel? Lösung Zunächst beechnen wi den Kugeldius. M O = 4p 2 2 = } O 4p = Ï } O } 4p = Ï } 2463 cm }}}} 2 ø 14,00 cm 4p 2 Dnn ds Volumen: V = } 4 3 p3 = } 4 3 p (14,00 cm)3 ø 11, cm 3 = 11,5 dm 3 Aufgben 22. Ds Volumen eine Kugel betägt cm 3. Beechne ihen Rdius und den Inhlt O ihe Obefläche. 23. Wie veänden sich ds Volumen V und de Obeflächeninhlt O eine Kugel, wenn mn ihen Rdius ) vedoppelt, b) hlbiet, c) um 10 % vegößet? 24. Ein Blumenkübel ht die Fom eine usgehöhlten Hlbkugel. E besteht us Beton mit eine Dichte von 2,4 g / m 3. De Außendius betägt R = 24 cm, de Innendius = 20 cm. ) Wie goß ist ds Fssungsvemögen des Kübels? b) De Kübel soll vo dem Füllen mit Blumenede undheum gestichen weden. Wie viele dm 2 Fläche sind zu steichen? c) Wie viel wiegt de Kübel? 25. Die menschliche Lunge enthält etw 350 Millionen Lungenbläschen mit einem Duchmesse von jeweils c. 0,250 mm. ) Wie goß ist die Obefläche lle Lungenbläschen zusmmen? b) Welchen Duchmesse müsste eine einzige Kugel besitzen, um diesen Obeflächeninhlt zu hben? 22

Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen www.mthe-ufgben.com ufgben zu Keisen und Keisteilen Keisfläche: ( Rdius des Keises) Keisumfng: U Keisingfläche: ( ußen innen ) Keisusschnitt / Keissekto: Öffnungswinkel, b Keisbogen α bzw. b 60 α α b 60

Mehr

Oberfläche des Zylinders

Oberfläche des Zylinders Zylinde und Kegel Zylinde: Jede Zylinde hat zwei keisfömige Gundflächen (G), die zueinande paallel sind. Die gekümmte Seitenfläche heißt Mantelfläche (M). De Abstand de beiden Gundflächen voneinande ist

Mehr

Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond

Die Lagrangepunkte im System Erde-Mond Die Lgngepunkte i Syste Ede-ond tthis Bochdt Tnnenbusch-ynsiu Bonn bochdt.tthis@t-online.de Einleitung: Welche Käfte spüt eine Rusonde, die sich ntiebslos in de Nähe von Ede und ond ufhält? Zunächst sind

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras

2.8. Aufgaben zum Satz des Pythagoras Aufgbe 1 Vervollständige die folgende Tbelle:.8. Aufgben zum Stz des Pythgors Kthete 6 1 4 1 13 17 15 Kthete b 8 1 7 8 11 Hypotenuse c 13 9 19 17 Aufgbe Berechne jeweils die Länge der dritten Seite: Aufgbe

Mehr

5 Rigorose Behandlung des Kontaktproblems Hertzscher Kontakt

5 Rigorose Behandlung des Kontaktproblems Hertzscher Kontakt 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt In diesem Kpitel weden Methoden u exkten Lösung von Kontktpoblemen im Rhmen de "Hlbumnäheung" eläutet. Wi behndeln dbei usfühlich ds klssische Kontktpoblem

Mehr

Berufsmaturität GIBB. Mathematik. BMS GEW Skript. Autoren: B. Jakob, A. Göldi, M. Saier

Berufsmaturität GIBB. Mathematik. BMS GEW Skript. Autoren: B. Jakob, A. Göldi, M. Saier Beufsmtuität GIBB Mthemtik BMS GEW Skipt Autoen: B. Jkob, A. Göldi, M. Sie Inhltsvezeichnis Geometie Plnimetie... S. 8 Plnimetie... S. 9 6 Steeometie... S. 7 40 Tigonometie Tigonometie... S. 4 54 Tigonometie...

Mehr

Mathematik in eigenen Worten Arbeitsblätter und Kopiervorlagen

Mathematik in eigenen Worten Arbeitsblätter und Kopiervorlagen Mthemtik in eigenen Woten Abeitsblätte und Kopievolgen Abeitsblätte und Kopievolgen stehen unte www.klett.ch/spektumschule kostenlos ls Downlod zu Vefügung. Ihe Vewendung fü den eigenen Unteicht wid vom

Mehr

Mathematik. Name, Vorname:

Mathematik. Name, Vorname: Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig

Mehr

Abitupüfung Mthemtik Bden-Wüttembeg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgben Aufgbe : ( VP) Bilden Sie die este Ableitung de Funktion f mit f() ( ) e weit wie möglich. und veeinfchen Sie so Aufgbe : ( VP) Beechnen

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

Volumen von Rotationskörpern

Volumen von Rotationskörpern Volumen von Rottionskörpern Beispiele: [ Es stellt sich die Frge: Wie entstehen solche Rottionskörper bzw wie lssen sich solche Rottionskörper er zeugen? Rotiert eine Fläche z.b. um die x-achse, so entsteht

Mehr

Kreis und Kreisteile. - Aufgaben Teil 2 -

Kreis und Kreisteile. - Aufgaben Teil 2 - - Aufgben Teil - Am Ende der Aufgbensmmlung finden Sie eine Formelübersicht 61. Bestimme den Inhlt 6. Bestimme den Inhlt Abhängigkeit von r. Abhängigkeit von. 63. Berechne r in Abhängigkeit von 64. Berechne

Mehr

Der Kreis und die Kreisteile

Der Kreis und die Kreisteile De Keis und die Keisteile Schüle messen zu Hause Umfang und Duchmesse von unden Gegenständen: Gegenstand Umfang (U) Duchmesse (d) u d 38 CD 38 cm 1 cm = 3,1 6 1 0,5l-Glas cm 7 cm = 3,8571 7 Mülleime 63

Mehr

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik

Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2007 im Fach Mathematik Sentsverwltung für Bildung, Wissenschft und Forschung Schriftliche Prüfungsrbeit zum mittleren Schulbschluss 007 im Fch Mthemtik 30. Mi 007 Arbeitsbeginn: 10.00 Uhr Berbeitungszeit: 10 Minuten Zugelssene

Mehr

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik

Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik Ministerium für Bildung und Kultur des Lndes Schleswig-Holstein Zentrle Abschlussrbeit 011 Übungsheft Mittlerer Schulbschluss Mthemtik Korrekturnweisung Impressum Herusgeber Ministerium für Bildung und

Mehr

Aufgabe 1 Zeige: Wenn die Summe von 1996 Quadratzahlen durch 8 teilbar ist, dann sind mindestens vier dieser Quadratzahlen gerade.

Aufgabe 1 Zeige: Wenn die Summe von 1996 Quadratzahlen durch 8 teilbar ist, dann sind mindestens vier dieser Quadratzahlen gerade. Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg 996 Runde ufgabe Zeige: Wenn die Summe von 996 Quadatzahlen duch 8 teilba ist, dann sind mindestens vie diese Quadatzahlen geade. Vobemekung Eine Quadatzahl ist

Mehr

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3 ufgben zur Vertiefung der Geometrie WS 2005/06 5./6. ezember 2005 ltt 3 1. Umkugel und Innenkugel eines Tetreders Leiten Sie die Formel für ds Volumen, die Oberfläche, den Rdius der umbeschriebenen und

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 9

Grundwissen Jahrgangsstufe 9 Grundwissen Jhrgngsstufe 9 GM 9. Qudrtwurzeln und die Menge der reellen Zhlen QUADRATWURZELN Unter der Qudrtwurzel us einer Zhl (kurz: Wurzel us, Schreibweise ) versteht mn diejenige nichtnegtive Zhl,

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Berechnungen am Prisma. Das Netz (Abwicklung) eines Prismas

Berechnungen am Prisma. Das Netz (Abwicklung) eines Prismas Berechnungen m Prism Einführung des Prisms: Schüler ringen verschiedene Verpckungen mit in den Unterricht Klssifizierung der Verpckungen in Prismen und ndere Körper Erreitung der Eigenschften eines Prisms:

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit

Mehr

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mthemtik Dr. I. Lehmnn: Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik WS 2008/09 Referentinnen: Undine Pierschel & Corneli Schulz 16.12.2008 Stzgruppe des Pythgors

Mehr

Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1 5, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss

Einser-Flächen. Online-Ergänzung HEINZ KLAUS STRICK. MNU 66/7 (15.10.2013) Seiten 1 5, ISSN 0025-5866, Verlag Klaus Seeberger, Neuss Einser-Flächen HEINZ KLAUS STRICK Online-Ergänzung MNU 66/7 (15.10.01) Seiten 1 5, ISSN 005-5866, Verlg Klus Seeberger, Neuss 1 HEINZ KLAUS STRICK Einser-Flächen Die bgebildeten Figuren hben eines gemeinsm:

Mehr

7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE

7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE Vektoechnung Anltische Geometie 7. VEKTORRECHNUNG ANALYTISCHE GEOMETRIE 7.1. Vektoen () Definition Schiet mn einen Punkt P 1 im Koodintensstem in eine ndee Lge P so ist diese Schieung duch Ange des Upunktes

Mehr

750 + 142,50 = 892,50 Nettopreis Umsatzsteuer Bruttopreis

750 + 142,50 = 892,50 Nettopreis Umsatzsteuer Bruttopreis 2.7 Verminderter und vermehrter Grundwert 41 Beispiel: Bruttobetrg, Nettobetrg, Umstzsteuer Profirdfhrer Klus kuft sih ein Mountinbike. Ds Fhrrd kostet einshließlih 19 % Umstzsteuer 892,50. Ds Finnzmt

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Induktivität und Energie des Magnetfeldes

Induktivität und Energie des Magnetfeldes Induktivität und Enegie de Mgnetfelde 1. D CMS (Compct Muon Solenoid) m CERN it ein ieige Teilchendetekto fü den HC (ge Hdon Collide). D Kentück de CMS it ein upleitende Elektomgnet de änge = 13m und mit

Mehr

3 Wiederholung des Bruchrechnens

3 Wiederholung des Bruchrechnens 3 Wiederholung des Bruchrechnens Ein Bruch entsteht, wenn ein Gnzes in mehrere gleiche Teile zerlegt wird. Jeder Bruch besteht us dem Zähler, der Zhl über dem Bruchstrich, und dem Nenner, der Zhl unter

Mehr

I MECHANIK. 1. EINFÜHRUNG Grundlagen, Kinematik, Dynamik (Wiederholung der Schulphysik)

I MECHANIK. 1. EINFÜHRUNG Grundlagen, Kinematik, Dynamik (Wiederholung der Schulphysik) Physik EI1 Mechnik - Einfühung Seie I MECHNIK 1. EINÜHRUNG Gundlgen, Kinemik, Dynmik (Wiedeholung de Schulphysik) _Mechnik_Einfuehung1_Bneu.doc - 1/9 Die einfühenden Kpiel weden wi zunächs uf dem Niveu

Mehr

ARBEITSBLATT 1-13. Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2,032801 km Lösung: 2,032801 km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm

ARBEITSBLATT 1-13. Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2,032801 km Lösung: 2,032801 km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm ARBEITSBLATT 1-13 13 Mßeinheiten 1. Längenmße 1000 10 10 10 km m dm cm mm Beispiel: Schreib mehrnmig:,03801 km Lösung:,03801 km = km 3 m 8 dm 1 mm Beispiel: Drücke in km us: 4 km 0 m 3 cm Lösung: 4 km

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Das Coulombsche Gesetz

Das Coulombsche Gesetz . ei r = 0 befindet sich eine Ldung Q = 4,0nC und bei r = 40cm eine Ldung Q = 5,0nC ortsfest, so dss sie sich nicht bewegen können. Ds Coulombsche Gesetz Q = 4,0nC Q = 5,0nC r Lösung: Wo muss eine Ldung

Mehr

Übungsbeispiele Dreiecke Mag. Thomas Höfferer. Aufgaben DREIECKE

Übungsbeispiele Dreiecke Mag. Thomas Höfferer. Aufgaben DREIECKE Übungsbeispiele Deiecke Mg. Toms Höffee ufgben DREIECKE Fläce von Deiecken: D 1. Gegeben sin ie ei Seiten eines llgemeinen Deiecks. estimme ie Fläce un ie ei Höen e einzelnen Deiecke. b c b c.) 1 1 15

Mehr

Logarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus:

Logarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus: 0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Logrithmen Die Gleichung vom Typ b wird mit Hilfe des Logrithmus gelöst Der Logrithmus von zur Bsis b ist die Zhl,

Mehr

Mittelwerte und Zahlenfolgen Beat Jaggi, beat.jaggi@phbern.ch

Mittelwerte und Zahlenfolgen Beat Jaggi, beat.jaggi@phbern.ch vsmp sspmp ssimf Mittelwete ud Zhlefolge Bet Jggi, bet.jggi@phbe.ch Eileitug Ds Bilde vo Mittelwete ist ei zetles Kozept i de Mthemtik: Lgemsse i de Sttistik (Mittelwet, Medi, Modus); Mitte, Mittelliie

Mehr

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik 2008-06- Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik Lösung Version 2008-06-4 Cindy t 3000 geerbt. ) Den Betrg will sie so nlegen, dss sie in 20 Jren doppelt so viel Geld t. Berecne, zu welcem Zinsstz sie ds Geld nlegen

Mehr

Entdecke die Welt! Australien USA

Entdecke die Welt! Australien USA Entdecke die Welt! Die Feien sind zu Ende endlich sieht Leon seine Feunde wiede! Jede von ihnen w im Ulub in einem ndeen Lnd. Sie hben lle Postkten geschieben und etws mitgebcht. Die blonde Nicole w in

Mehr

9.2. Bereichsintegrale und Volumina

9.2. Bereichsintegrale und Volumina 9.. Beeichsintegale und Volumina Beeichsintegale Rein fomal kann man Integale übe einem (meßbaen) Beeich B bilden, indem man eine möglicheweise auf einem gößeen Beeich definiete Funktion f mit de chaakteistischen

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit Vorbereitung uf die Mthemtik Schulrbeit 7. März 0 Alles Gute ll deinen Bemühungen, KL, KV Viel Erfolg! . Schulrbeit: MATHEMATIK KL.: M3b/I. - S. Mi, 7.03.0 ) Zeichne ds Prllelogrmm us den Bestimmungsstücken

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Übungen zu Wurzeln III

Übungen zu Wurzeln III A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner

Mehr

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30

Canon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30 15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft

Mehr

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1

Integralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1 Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

Dreiecke als Bausteine

Dreiecke als Bausteine e ls usteine Jedes Viereck lässt sich in zwei e zerlegen. Wirklich jedes? Konstruktion eines s bei drei beknnten Seiten bmessen einer Strecke mit dem Geodreieck. Zirkelschlg um einen Punkt mit der zweiten

Mehr

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum

Übungsblatt 1 zum Propädeutikum Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen

Mehr

Grundwissen Mathematik 7I

Grundwissen Mathematik 7I Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises

Mehr

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - Brückenkurs Mthemtik 016 Winkelbeziehugen

Mehr

Die. Zeltla1.08. bis 08.08.201. Stadtgemeinde St.Valentin www.takatuka.at

Die. Zeltla1.08. bis 08.08.201. Stadtgemeinde St.Valentin www.takatuka.at Die m n e i e c h e F Zeltl1.08. bis 08.08.201 0 l t n N ge im 5 2015 Stdtgemeinde St.Vlentin www.tktuk.t Liebe Kinde! Liebe Elten! 2 Beeits in wenigen Wochen beginnen die Sommefeien. Die Stdtgemeinde

Mehr

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann

Schülerkurs. Mathematik > Lineare Algebra > Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme > Teil I: Theorie. Michael Buhlmann Michel Buhlmnn Schülekus Mthemtik > Linee Alge > Linee Gleichungen Linee Gleichungssysteme > Teil I: Theoie Linee Gleichungen und linee Gleichungssysteme duchziehen den Mthemtikunteicht in llen Schulfomen

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Flächenberechnung - Umfang und Fläche von Rechteck und Quadrat

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Flächenberechnung - Umfang und Fläche von Rechteck und Quadrat Unterrichtsmterilien in digitler und in gedruckter Form Auszug us: Flächenberechnung - Umfng und Fläche von Rechteck und Qudrt Ds komplette Mteril finden Sie hier: Downlod bei School-Scout.de Inhltsverzeichnis

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.]

x usw., wie oben unter 1.) behauptet.] [Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.

Mehr

Exkurs: Portfolio Selection Theory

Exkurs: Portfolio Selection Theory : Litetu: Reinhd Schmidt und Ev Tebege (1997): Gundzüge de Investitions- und Finnzieungstheoie, 4. Auflge, Wiesbden: Gble Velg BA-Mikoökonomie II Pofesso D. Mnfed Königstein 1 Aktien und Aktienenditen

Mehr

Schriftliche Überprüfung Mathematik. Gymnasien, Klasse 10

Schriftliche Überprüfung Mathematik. Gymnasien, Klasse 10 Schriftliche Überprüfung Mthemtik, Klsse 0 Schuljhr 009/00 6. Februr 00 Unterlgen für die Lehrerinnen und Lehrer Diese Unterlgen enthlten: I II III Allgemeine Hinweise zur Arbeit Aufgben Erwrtungshorizonte,

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

Kurven und Bogenlänge

Kurven und Bogenlänge Kpitel 3 Kurven und Bogenlänge 3.1 Motivtion Der Begriff der Kurve in der Ebene oder im Rum spielt in den Nturwissenschften, insbesondere der Physik, Technik (Robotik) und der Informtik (Computergrphik)

Mehr

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5

MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 MATHEMATIK GRUNDWISSEN KLASSE 5 Them NATÜRLICHE ZAHLEN Zählen und Ordnen Ntürliche Zhlen werden zum Zählen und Ordnen verwendet Stefn ist beim 100m-Luf ls 2. ins Ziel gekommen. Große Zhlen und Zehnerpotenzen

Mehr

Formeln zu Mathematik für die Fachhochschulreife

Formeln zu Mathematik für die Fachhochschulreife Fomeln zu Mtemtik fü die Fcocsculeife Beeitet von B. Gimm und B. Sciemnn 3. Auflge VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nouney, Vollme GmH & Co. KG Düsselege Stße 3 4781 Hn-Guiten Euop-N.: 8519 Autoen: Bend Gimm Bend

Mehr

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik Der Goldene Schnitt III. Der Goldene Schnitt in der Mthemtik 1. Herleitung des Goldenen Schnitt Per Definition des Goldenen Schnitt gilt: b = b. (>b>0) Nch der Drstellung (s.o.) gilt, wenn S (der mittlere

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02

Abiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02 M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite

Mehr

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10)

Musterlösung zu Aufgabe 1 (Klassenstufe 9/10) Musterlösung zu Aufgbe 1 (Klssenstufe 9/10) Aufgbe. Drei Freunde spielen mehrere Runden eines Spiels, bei dem sie je nch Rundenpltzierung in jeder Runde einen festen, gnzzhligen Betrg x, y oder z usgezhlt

Mehr

Wärmedurchgang durch Rohrwände

Wärmedurchgang durch Rohrwände ämeuchgng uch Rohwäne δ - L Rohlänge Bl: Sonäe ämeleung uch ene enschchge zylnsche n Fü e ämeleung gl llgemen: λ x Fü ene ünne konzensche Schch es Rohes von e Dcke gl: &Q λ Fläche: f(): 2 π L (Mnelfläche)

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen

Mehr

Musterlösung zur Musterprüfung 2 in Mathematik

Musterlösung zur Musterprüfung 2 in Mathematik Musterlösung zur Musterprüfung in Mthemtik Diese Musterlösung enthält usführliche Lösungen zu llen Aufgben der Musterprüfung in Mthemtik sowie Hinweise zum Selbstlernen. Literturhinweise ) Bosch: Brückenkurs

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de

Computer-Graphik II. Kompexität des Ray-Tracings. G. Zachmann Clausthal University, Germany cg.in.tu-clausthal.de lausthal ompute-aphik II Komplexität des Ray-Tacings. Zachmann lausthal Univesity, emany cg.in.tu-clausthal.de Die theoetische Komplexität des Ray-Tacings Definition: das abstakte Ray-Tacing Poblem (ARTP)

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

Volumina der 8 konvexen Deltaeder

Volumina der 8 konvexen Deltaeder Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik, Wilhelm-Bläsig-Schule, Hegu-Jugendwerk, 78262 Gilingen, Kpellenstr. 31-1 - Volumin der 8 konvexen Delteder Arno Fehringer Juli 2007 Die Bestimmung

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

3. Ganzrationale Funktionen

3. Ganzrationale Funktionen 3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)

Mehr

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS

Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten,

Mehr

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle

4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle 4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich

Mehr

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.

t 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene. Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die

Mehr

Eine Lerneinheit. über. regelmäßige Vielecke. und

Eine Lerneinheit. über. regelmäßige Vielecke. und BLK-Modellversuch SINUS Rheinlnd-Pflz Netzwerkschule Cusnus-Gymnsium Wittlich Fchbereich Mthemtik Kurfürstenstrsse 14 54516 Wittlich Eine Lerneinheit über regelmäßige Vielecke C D C A B E A B A B C D und

Mehr

Wärmeübertragung. Grundsätzlich sind drei verschiedene Möglichkeiten der Wärmeübertragung möglich: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung:

Wärmeübertragung. Grundsätzlich sind drei verschiedene Möglichkeiten der Wärmeübertragung möglich: Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung: ämeübetgung Unte ämeübetgung vesteht mn sämtlche Eschenungen, e enen äumlchen nspot von äme umfssen. De ämeübegng efolgt mme ufgun enes empetugefälles, un zw mme von e höheen zu neeen empetu (.Huptstz).

Mehr

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!

Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich! Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben

Mehr

Mathematik PM Rechenarten

Mathematik PM Rechenarten Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer!

Dein Trainingsplan. sportmannschaft. ... und was sonst noch wichtig ist. Deine Zähne sind wie deine. und du bist der Trainer! hben Freunde Deine Zähne sind wie deine sportmnnschft und du bist der Triner! Und jeder Triner weiß, wie wichtig jeder einzelne Spieler ist eine wichtige und schöne Aufgbe! Drum sei nett zu deinen Zähnen

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

Prüfung zum Erwerb der Mittleren Reife in Mathematik, Mecklenburg-Vorpommern Prüfung 2011: Aufgaben

Prüfung zum Erwerb der Mittleren Reife in Mathematik, Mecklenburg-Vorpommern Prüfung 2011: Aufgaben Püfung zum Eweb de Mittleen Reife in Mathematik, Mecklenbug-Vopommen Püfung 2011: Aufgaben Abeitsblatt (Pflichtaufgabe 1) Dieses Abeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwek und Taschenechne

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

Formelsammlung Mathematik Fachoberschule Jahrgangsstufe 12 Hochtaunusschule Oberursel. Philipp Maurer in Zusammenarbeit mit StR A.

Formelsammlung Mathematik Fachoberschule Jahrgangsstufe 12 Hochtaunusschule Oberursel. Philipp Maurer in Zusammenarbeit mit StR A. Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe 12 Hoctunusscule Oeusel Pilipp Mue in Zusmmeneit mit StR A. Käme Stnd: 20. Feu 2014 Fomelsmmlung Mtemtik Fcoescule Jgngsstufe 12 Inltsvezeicnis 1 Mtemtisce Gundlgen

Mehr

in Erfurt Geheimnisse unserer Stadt: Ein altes Badehaus Tierisch hoch: Giraffen In luftiger Höhe: Erfurter Fluglotsen Abenteuerreise durch BELANTIS

in Erfurt Geheimnisse unserer Stadt: Ein altes Badehaus Tierisch hoch: Giraffen In luftiger Höhe: Erfurter Fluglotsen Abenteuerreise durch BELANTIS Ds kostenlose Stdt- und Mitmchmgzin fü Kinde N.1/12 Tieisch hoch: Giffen in Efut In luftige Höhe: Efute Fluglotsen Geheimnisse unsee Stdt: Ein ltes Bdehus Abenteueeise duch BELANTIS Hllo Kinde, Hie bin

Mehr

Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt.

Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt. Flächeninhalt 1 Kapitel : De Flächeninhalt Flächeninhalt eine Figu soll etwas übe deen Göße aussagen Flächeninhaltsbegiff intuitiv igendwie kla, ab de Gundschule duch Auslegen von Figuen mit Plättchen

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

definiert ist, heißt an der Stelle x0

definiert ist, heißt an der Stelle x0 1 Stetigkeit 1 Stetigkeit Bei der Behndlung der bschnittsweise deinierten Funktionen km es vor, dss der Grph dieser Funktion n der Nhtstelle einen Sprung ht. Andere dgegen hben keine Sprungstelle! Doch

Mehr

1.3. Prüfungsaufgaben zur Statik

1.3. Prüfungsaufgaben zur Statik .3. Püfungsaufgaben zu Statik Aufgabe a: Käftezelegung (3) Eine 0 kg schwee Lape ist in de Mitte eines 6 beiten Duchganges an eine Seil aufgehängt, welches dot duchhängt. Wie goß sind die Seilkäfte? 0

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernzirkel / Stationenlernen: Höhensätze (Pythagoras und Euklid)

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernzirkel / Stationenlernen: Höhensätze (Pythagoras und Euklid) Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Lernzirkel / Sttionenlernen: Höhensätze (Pythgors und Euklid) Ds komplette Mteril finden Sie hier: Downlod ei Shool-Soutde SHOOL-SOUT Lernzirkel

Mehr