texte zur mathematischen forschung und lehre

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1 texte zur mathematischen forschung und lehre 50

2 texte zur mathematischen forschung und lehre 50 Andreas Marx Schülervorstellungen zu unendlichen Prozessen Verlag Franzbecker

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available in the Internet at Information bibliographique de la Deutsche Nationalbibliothek La Deutsche Nationalbibliothek a répertorié cette publication dans la Deutsche Nationalbibliografie; les données bibliographiques détaillées peuvent être consultées sur Internet à l'adresse ISBN Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. Nat.) vorgelegt an der Fakultät Elektrotechnik, Informatik und Mathematik der Universität Paderborn Verlag Franzbecker KG Hildesheim, Berlin, 2006 ISBN reihe: texte zur mathematischen forschung und lehre, band 50 Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. 53, 54 URG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, Disketten und andere Medien by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

4 1 Inhaltsverzeichnis Einleitung... 2 Vorstellungen Grundvorstellungen Metaphern... 6 Untersuchung Untersuchungsmethode Rolle der Geschichte der Analysis Erste Interviewstaffel Geometrisches Rätsel Kritischer Blick auf die Aufgabenstellung Franziska und Sabine Abhängigkeit des Flächeninhalts von der Anordnung der Pappstreifen Zweite Interviewstaffel Zahlenrätsel Daniel und Katarina Jörn und Philipp Eine andere Sicht auf die Interviews Außenwelt vs. Mathematikwelt (Denk-)welt Unendliche Prozesse Unendlicher Prozess als Bindeglied zwischen Außenwelt und Mathematikwelt The Basic Metaphor of Infinity (BMI) Zahl, Zahlmodelle, Zahlvorrat und Zahldarstellung Spiel mit Symbolen Konsequenzen Grundlagenfragen als Ziel von Mathematikunterricht BMI und Grenzwertbegriff Konsequenzen für den Unterricht Grenzwertbegriff als Höhepunkt und Ausgangspunkt Literatur

5 2 Kapitel 1 Einleitung Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen bewegt; das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend gewirkt; das Unendliche ist aber auch wie kaum ein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig. (vgl. Hilbert 1925) Die Unendlichkeit ist für die Mathematik im Allgemeinen und die Analysis im Besonderen von zentraler Bedeutung. Die Analysis beschäftigt sich neben der Funktionsuntersuchung mit der Lehre von der Unendlichkeit. Sie versucht ein Konzept der Unendlichkeit zu beschreiben und zu präzisieren, um es für die Analysis als Lehre der Funktionen nutzbar zu machen. Dabei bildet der Grenzwertbegriff gewissermaßen den Höhepunkt dieser Bemühungen. Natürlich tritt die Unendlichkeit auch im Mathematikunterricht immer wieder zu Tage. Angefangen beim Zählen in der Grundschule bis hin zum Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung in der Oberstufe. Doch welche Vorstellungen von der Unendlichkeit, vom Umgang mit dem potentiell und aktual Unendlichen entwickeln Schüler? Welche Verbindung stellen sie zwischen verschiedenen Aspekten der Unendlichkeit her? Welche Beziehungen sehen Schüler zwischen der Endlichkeit und der Unendlichkeit? Welche Vorstellungen zum Grenzwertbegriff haben sie? Der Lehrplan des Landes NRW räumt dem Grenzwertbegriff relativ wenig Platz ein. Ein anschaulich geprägter und nicht-formaler Grenzwertbegriff reicht an dieser Stelle völlig aus, ein an Maßstäben der Hochschule ausgerichteter Zugang über Epsilontik oder der Theorie der Folgen ist den Zielen der Jahrgangsstufe 11 nicht angemessen. Im Leistungskurs sollte der Grenzwertbegriff später vertieft werden, z.b. bei der Behandlung der Integralrechnung. (vgl. Lehrplan Sek. II NRW, S. 16)

6 Wenn der Raum für einen ausführlichen Diskurs zum Umgang mit der Unendlichkeit im Rahmen der Untersuchung von Folgen fehlt, so steigt die Bedeutung der Schülervorerfahrungen als Grundlage für Argumentationen. In dieser Untersuchung werde ich die Frage bearbeiten, mit welchen Vorstellungen zu unendlichen Prozessen Schüler in den Analysisunterricht der gymnasialen Oberstufe eintreten. Dabei werde ich Bezüge zum Grenzwertbegriff besonders im Hinblick auf Folgen herstellen. Anschließend werde ich die beobachteten Schülervorstellungen systematisieren und als Ausgangspunkt für einige Unterrichtsvorschläge in einem weiteren Sinn nutzen. In problemzentrierten, offenen Interviews werde ich zunächst die Vorstellungen von Schülern zu unendlichen Prozessen herausarbeiten. Als Gesprächsgrundlagen dienen dabei eine Aufgabe zur Flächenbestimmung und eine zur Intervallschachtelung. Es stellen sich die drei Aspekte Außenwelt und Mathematikwelt, Zahlverständnis und Umgang mit unendlichen Prozessen als zentral heraus. Die durch diese Faktoren bestimmten Schülervorstellungen zeigen Berührungspunkte zu dem Ansatz der Basic Metaphor of Infinity von Lakoff und Núñez. Auf diesem Weg gelange ich zu der konstruktiven Komponente dieser Arbeit, in der ich einige Vorschläge für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I und den Analysisunterricht in der Sekundarstufe II mache. 3