Name, Vorname Matrikel-Nr. Studienzentrum. Wirtschaftsmathematik. Klausur-Kennzeichen. BB-WMT-S Datum Ausgegebene Arbeitsbögen

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1 Name, Vorname Matrikel-Nr. Studienzentrum Studiengang Modul Art der Leistung Klausur-Kennzeichen Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BB-WMT-S Datum Ausgegebene Arbeitsbögen Ausgegebene Arbeitsblätter Ort, Datum Name in Druckbuchstaben und Unterschrift Aufsichtführende(r) Abgegebene Arbeitsbögen Abgegebene Arbeitsblätter Ort, Datum Prüfungskandidat(in) Aufgabe bestanden/ nicht bestanden max. Punktezahl Bewertung Prüfer ggf. Gutachter Prüfer (Name in Druckbuchstaben) ggf. Gutachter (Name in Druckbuchstaben) Datum, Unterschrift Datum, Unterschrift ggf. Gutachten im Rahmen eines Widerspruchsverfahrens Mantelbogen, Studienleistung 07/09, WMT, BB 009 GmbH BB-WMT-S

2 Mantelbogen, Studienleistung 07/09, Wirtschaftsmathematik, BB Anmerkungen Prüfer: Datum, Unterschrift Anmerkungen Gutachter: Datum, Unterschrift Sonstige Anmerkungen: Datum, Unterschrift BB-WMT-S GmbH Seite 4

3 Studiengang Betriebswirtschaft Modul Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung Klausur-Kennzeichen BB-WMT-S Datum Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite /3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen (kein Bleistift). Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet. Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden. Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: Anzahl Aufgaben: 8 HFH-Taschenrechner Höchstpunktzahl: 00 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Aufgabe max. Punktezahl Viel Erfolg! Klausuraufgaben, Studienleistung 07/09, WMT, BB 009 GmbH BB-WMT-S

4 Klausuraufgaben, Studienleistung 07/09, WMT, BB Aufgabe 3 Punkte Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen R x + x + 6 = x + 4. ( 7 + ) = + lg( x 4 lg x ) 6 Aufgabe Punkte Von einer arithmetischen Zahlenfolge ( a n ) sind die folgende Beziehungen zwischen einzelnen Gliedern der Zahlenfolge bekannt: a 5 + a = 64 a + a9 = 44. Bestimmen Sie das Anfangsglied a der Zahlenfolge. Aufgabe 3 0 Punkte Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, die bei x = eine Nullstelle besitzt und deren Graph durch die Punkte P (3, ) und P (0, ) führt. einer quadrati- Gehen Sie bei der Aufgabenbearbeitung von der allgemeinen Form schen Gleichung aus. y = a x + ax + a0 Aufgabe 4 3 Punkte Gegeben ist die Funktion f ( x) = x 6 x. 4. Bestimmen Sie den Definitionsbereich D der Funktion f (x) Untersuchen Sie die Funktion f (x) auf Symmetrie Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f (x). 5 BB-WMT-S GmbH Seite /

5 Klausuraufgaben, Studienleistung 07/09, WMT, BB Aufgabe 5 0 Punkte Herr K. kauft auf Anraten seines Sohnes Sparbriefe. 5. Welchen Betrag muss K. heute zahlen, wenn die Sparbriefe eine Laufzeit von 7 Jahren haben, eine jährliche Verzinsung von 6 % garantieren und K. am Ende der Laufzeit ausbezahlt haben möchte? 5. Welche Laufzeit besitzt ein Sparbrief, wenn K. für 7 049,60 bei 6 % jährlicher Verzinsung am Ende der Laufzeit erhält? 5 5 Aufgabe 6 3 Punkte Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag über ,00 ab. Bis zur Zuteilung in 8 Jahren sollen einschließlich anfallender Zinsen 40 % der Bausparsumme eingezahlt sein. Welcher konstante Betrag muss vierteljährlich vorschüssig 8 Jahre lang eingezahlt werden bei einem jährlichen Guthabenzinssatz von,5 %? Hinweis: Berechnen Sie zur Lösung dieser Aufgabe in einem ersten Schritt die (nachschüssige) Jahresersatzrate. Aufgabe 7 4 Punkte Gegeben ist die letzte Zeile eines Tilgungsplanes für einen Standard-Annuitätenkredit. Die Annuität in den ersten 9 Jahren beträgt 5.000,00 pro Jahr. Jahr j Restschuld S j (Beginn des Jahres) Zinsen Z j (Ende des Jahres) Tilgung T j (Ende des Jahres) Annuität A j (Ende des Jahres) , ,5 774, ,5.03,5 Wie hoch war die ursprüngliche Kreditsumme (Anfangsschuld S) zu Beginn der Laufzeit? Aufgabe 8 6 Punkte Ein Bauherr nimmt zur Finanzierung seines Hauses ein Hypothekendarlehen über ,00 auf. Der Zinssatz beträgt 8 % und für das erste Jahr wird eine Tilgung von % vereinbart. Es handelt sich um eine Annuitätentilgung (Annuitätenkredit). 8. Berechnen Sie die Laufzeit der Hypothek Erstellen Sie den Tilgungsplan (Restschuld zu Beginn des Jahres, Zinsen, Tilgung, Annuität) für das 7. Jahr. 7 BB-WMT-S GmbH Seite /

6 Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am Betriebswirtschaft BB-WMT-S Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet. Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen. Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor. Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug. Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren roten Schrift vor. Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Bewertungsschema ergebende Bewertung tragen Sie bitte in den Klausur-Mantelbogen ein. Unterzeichnen Sie bitte Ihre Bewertung auf dem Mantelbogen. Gemäß der Prüfungsordnung ist Ihrer Bewertung das folgende Bewertungsschema zu Grunde zu legen: von Punktzahl bis einschl. Ergebnis bestanden 0 49,5 nicht bestanden Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum. Juli 009 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040 / bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtlinie, Studienleistung 07/09, WMT, BB 009 GmbH BB-WMT-S

7 Bitte beachten Sie: Die jeweils im Lösungstext angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Aufgabe zu vergeben sind. Lösung vgl. SB, Abschn..4.5 / Punkte. 5x + x + 6 = x + 4 Gleichung quadrieren 5x + x + 6 = x + 8x + 6 Zusammenfassen 4x 6x 0 = 0 Normieren x,5 x,5 = 0 Lösungsformel quadratische Gleichung x, = ± + = ± x =,5 und x = 5 L =,. lg( 7 + ) = + lg( x 4) x Umformen ( 7 + ) lg( x 4) lg x = Logarithmengesetze 7x + lg = x 4 7x + = 0 x 4 ( x 4) = 0 40 Logarithmusdefinition 0 = b a = lg b Umformen 7x + = 0 x Vereinfachen x =4 { 4} L = a BB-WMT-S GmbH Seite /8

8 Lösung vgl. SB, Abschn.. Punkte Bildungsvorschrift arithmetische Folge (vgl. Formelsammlung 6.): a k = a + ( k ) d mit k N +, d 0. Damit ist a5 = a + 4d a = a + d und a = a + 0d a9 = a + 8d Einsetzen in die Ausgangsgleichungen ergibt a 5 + a = a + 4d + ( a + 0d) = a + 4d = 64 (I) a + a9 = a + d + ( a + 8d) = a + 9d = 44. (II) Aus (I) (II) folgt 5 d = 0 d = 4. Einsetzen in (I) liefert a = 64 a a = 8 = 4 Das Anfangsglied der Zahlenfolge ist a = 4. BB-WMT-S GmbH Seite /8

9 Lösung 3 vgl. SB 4, Abschn Punkte a0 Die allgemeine Form der Parabel lautet y = a x + a x +. Im Folgenden sind die Parameter, und a zu bestimmen. Die Funktion geht durch den Punkt a a 0 P (3, ), daraus erhält man die Gleichung: 9a + 3a + a0 = (I) Die Funktion geht durch den Punkt P (0, ), daraus erhält man die Gleichung: a 0 = (II) Die Funktion hat eine Nullstelle bei P (, 0), daraus erhält man die Gleichung: a a + a0 = 0 (III) Einsetzen von a 0 = 9a + 3a = a a = 0 in die Gleichungen (I) und (III) liefert 9a + 3a = 3 bzw.. a a = Aus der zweiten Gleichung erhält man a = a + (). Setzt man dieses in die erste Gleichung ein, so erhält man: ( a + ) + 3a = 3 9a a = 3 a = 6 a = 9 Dann ist a = a + = + = Die Gleichung der Parabel lautet damit y = x x BB-WMT-S GmbH Seite 3/8

10 Lösung 4 vgl. SB 4, Abschn..,. und.3 3 Punkte 4. Für den Ausdruck unter der Wurzel muss gelten: 6 x 0. Daraus folgt x 6, also x [ 4, 4]. Somit ist D = { x R 4 x 4} oder auch = [ 4, 4] 4. Es ist der Funktionswert f ( x) zu betrachten. D. f ( x) = x 6 ( x) = x 6 x = f ( x) 3 Da f ( x) = f ( x) für alle x aus dem Definitionsbereich, ist die Funktion ungerade (vgl. Formelsammlung 6.), d. h. zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 4.3 Zur Bestimmung der Nullstellen muss man f ( x) = 0 setzen: x x x = x = () oder = 0 (). 3 Quadrieren von 6 x liefert: 6 x = 0 x = 4 ; x = 4 BB-WMT-S GmbH Seite 4/8

11 Lösung 5 vgl. SB, Abschn..3 0 Punkte 5. Es ist der Barwert K 0 zu ermitteln. Für den Barwert nach n Zinsperioden gilt (vgl. Formelsammlung 8.): K n K 0 =. n q p Mit n = 7 (0,5), K n =0 000 (0,5) und q = + i = + =, 06 () ergibt sich: Laufzeit: K 0 = = 6 650,57. 7,06 Für die Laufzeit gilt (vgl. Formelsammlung 8.): log K n log K0 n =. log q p Mit K n =0 000 (0,5), K0 = 7 049, 60 (0,5) und q = + i = + =, 06 () ergibt sich: 00 log0 000 log 7 049,60 n = = 6 Jahre. log,06 BB-WMT-S GmbH Seite 5/8

12 Lösung 6 vgl. SB, Abschn.. und SB 3, Abschn.. 3 Punkte 40 % von ,00 sind ,00, dies ist der Rentenendwert. Berechnung der Jahresersatzrate (nachschüssige Rate) nach Formelsammlung 9.: n q Rn = r mit r = r E. q p Einsetzen von Rn = ,00 (0,5), q = + =, 05 () und n = 8 (0,5) ergibt 00 8, ,00 = r E. 0,05 Umstellen der Gleichung liefert ,00 0,05 r E = = 9.57,39. 8,05 Umrechnung in eine vierteljährliche vorschüssige Rate (Formelsammlung 9.4) re r = i m + ( m + ) Mit m = 4 (), i = p = 0, () und r E = 9.57, 39 () ergibt sich 3 re 9.57,39 r = = =.54,3. i 0,05 m + ( m + ) 4 + (4 + ) BB-WMT-S GmbH Seite 6/8

13 Lösung 7 vgl. SB 3, Abschn..3 4 Punkte Bestimmung des Aufzinsungsfaktors q : Für die Zinsrate i gilt nach Formalsammlung 0. die Beziehung. Z j = S j i Durch Umformen erhält man. Z j 774,64 i = = = 0,075. S j 0.38,5 Damit ist. q = + i = + 0,075 =,075 Zur Berechnung der Anfangsschuld S findet die Formel für den Tilgungsrest Formelsammlung 0. liefert T r Anwendung. * * n n q Tr = S q A q Durch Umstellen folgt T S = q r n * q + A q n * * n. ( q ) * Mit den Zahlenwerten n = 9 (), A =5.000, 00 (), q =, 075 und T =0.38, 5 () folgt ,5,075 S = ,00 = 5.000, ,075 (,075 ) r BB-WMT-S GmbH Seite 7/8

14 Lösung 8 vgl. SB 3, Abschn..3 6 Punkte 8. Zinsen im. Jahr: Z = S0 i = ,00 0,08 = 6.000,00 % Tilgung im ersten Jahr: T = S0 0,0 = ,00 0,0 =.000,00 Annuität: A = Z + T = 8.000,00 Laufzeit des Annuitätenkredits (Formelsammlung 0.): log A logt n =. log q Einsetzen von A =8.000,00, T =.000, 00 und q = + i =, 08 () liefert log8.000,00 log.000,00 n = = 8,55. log,08 Damit beträgt die Laufzeit 9 Jahre. 8. Restschuld zu Beginn des 7. Jahres (nach Zahlung von 6 Annuitäten), vgl. Formelsammlung 0.: 6 6 q S 6 = S0 q A. q Mit S0 = ,00, A =8.000, 00 und q =, 08 ergibt sich 6 6,08 S 6 = , = 40.09,7 0,08 Damit ergibt sich folgender Tilgungsplan (in Euro) für das 7. Jahr: Jahr j S j Restschuld zu Beginn des Jahre Zinsen, fällig am Ende des Jahres Z j Tilgung fällig am Ende des Jahres T j Annuität ,7 3.07,9 4.79, ,00 A Die Zahlenwerte ergeben sich unter Berücksichtigung von: Z 7 = S6 0,08 T7 = 8.000, 00 Z 7 BB-WMT-S GmbH Seite 8/8