2008W. Vorlesung im 2008W Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

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1 Logik Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im

2 Inhalt Logik Logik

3 Aussagen Die mathematische Logik verwendet mathematische Methoden, um das logische Denken formal zu beschreiben Populäre Definition: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder falsch oder wahr ist Problem: Wie definiert man wahr und falsch? Ein Beweis stellt sicher, daß eine Aussage wahr ist Definition: Eine Aussage ist eine Konstruktion, durch welche festgelegt wird, wie ihre Beweise zu konstruieren sind Eine Aussage, die wir nicht beweisen können, muß nicht unbedingt falsch sein

4 Definition der Implikation, Formation Sind P und Q Aussagen, dann bezeichnet P Q ebenfalls eine Aussage, die Implikation von P und Q Introduktion Um P Q zu beweisen, muß man Q beweisen, wobei man einen Beweis von P voraussetzen darf Elimination Hat man einen Beweis von P Q, so reicht ein Beweis von P, um auch Q zu beweisen Schlußregeln P Q I P Q P Q Q P E

5 Definition der Konjuktion, Logik Formation Sind P und Q Aussagen, dann bezeichnet P Q ebenfalls eine Aussage, die Konjunktion von P und Q Introduktion Um P Q zu beweisen, muß man sowohl P als auch Q beweisen Elimination Hat man einen Beweis von P Q so auch einen Beweis von P, und auch einen Beweis von Q Schlußregeln P Q I P Q P Q E0 P P Q E1 Q

6 Kommutativität der Konjunktion Logik Satz Die logische Konjunktion ist kommutativ, dh die Aussage A B B A ist allgemeingültig Beweis A B A B E1 B B A A B E0 A A B B A I I

7 Definition der Äquivalenz, Logik Notation Die logische Äquivalenz wird mit P Q bezeichnet und ist lediglich eine Abkürzung für (P Q) (Q P) Bemerkung Zwei Aussagen sind äquivalent wenn sie vom logischen Standpunkt aus betrachtet gleichwertig sind

8 Definition der Disjunktion, Formation Sind P und Q Aussagen, dann bezeichnet P Q ebenfalls eine Aussage, die Disjunktion von P und Q Introduktion Um P Q zu beweisen, genügt es, P zu beweisen, oder Q zu beweisen Elimination Folgt irgendeine Aussage R sowohl aus P als auch aus Q, dann folgt sie auch aus P Q (Beweis durch Fallunterscheidung) Schlußregeln P I0 P Q Q I1 P Q P R Q R R P Q E

9 Beispiel: Distributivität Logik A A I0 A B B C B C E0 B A B A B I 1 A (B C) E siehe oben A (B C) analog A B A C I (A B) (A C) I A (B C) (A B) (A C)

10 Sei X ein Datentyp, und P[x] für jedes x ɛ X eine Aussage Dann bezeichnet x ɛ X P[x] eine All-Aussage Die All-Aussage drückt eine universelle Quantifizierung aus Ein Beweis von x ɛ X P[x] konstruiert für jedes beliebige x ɛ X einen Beweis von P[x] Praktisch: Es sei x ɛ X P[x] zu beweisen Vorgangsweise: Annahme x ɛ X; beweise P[x] Hängt P[x] nicht von x ab, dann liegt eine normale Implikation vor: x ɛ X P ist dasselbe wie X P

11 Allquantor, Introduktion und Elimination Um x ɛ X P[x] zu beweisen, muß man P[x] für ein beliebiges x ɛ X beweisen -Introduktion: x ɛ X P[x] I x ɛ X P[x] Wurde x ɛ X P[x] bewiesen, und ist a ɛ X, dann hat man einen Beweis von P[a] -Elimination: x ɛ X P[x] a ɛ X E P[a]

12 Allquantor, Beispiel Logik x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] x ɛ X y ɛ Y A[x] B[y] I y ɛ Y (A[x] B[y]) I x ɛ X y ɛ Y (A[x] B[y]) I x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] x ɛ X y ɛ Y (A[x] B[y])

13 Allquantor: Beispiel (Fortsetzung) Annahmen: x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y], x ɛ X, y ɛ Y Zu beweisen: Die beiden Fälle: x ɛ X A[x] x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] A[x] B[y] A[x] B[y] E x ɛ X A[x] y ɛ Y B[y] A[x] B[y] x ɛ X E A[x] I 0 A[x] B[y] y ɛ Y E B[y] A[x] B[y] y ɛ Y B[y] I 1

14 Sei X ein Datentyp, und P[x] für jedes x ɛ X eine Aussage Dann bezeichnet x ɛ X P[x] eine Existenz-Aussage Die Existenzaussage drückt eine existenzielle Quantifizierung aus Ein Beweis von x ɛ X P[x] konstruiert ein a ɛ X und einen Beweis von P[a] Praktisch: Es sei x ɛ X P[x] zu beweisen Vorgangsweise: Man wählt ein passendes a ɛ X, und versucht damit P[a] zu beweisen Hängt P[x] nicht von x ab, dann liegt eine normale Konjunktion vor: x ɛ X P ist dasselbe wie X P

15 Existenzquantor: Introduktion und Elimination Um x ɛ X P[x] zu beweisen, muß man ein a ɛ X finden und damit P[a] beweisen -Introduktion: a ɛ X P[a] I x ɛ X P[x] Wurde x ɛ X P[x] bewiesen, so kann man für s weitere annehmen, daß es ein soches Objekt gibt -Elimination: y ɛ X P[y] x ɛ X P[x] Q Q E

16 Implikation, Schlußregeln: x ɛ P t[x] ɛ Q I x t[x] ɛ P Q f ɛ P Q x ɛ P E fx ɛ Q Der Beweis einer Implikation ist ein Algorithmus, der für jeden Input vom Typ P einen Output vom Typ Q liefert Funktionsdatentyp: Schreibweise: P Q oder Q P Konstruktor: Abstraktion: ( ); Selektor: Funktionsanwendung: apply

17 Introduktion und Elimination x ɛ P y ɛ Q I (x, y) ɛ P Q z ɛ P Q E0 fst z ɛ P Ein Beweis der Konjunktion P Q ist ein Paar, dessen Komponenten die Typen P bzw Q haben Verbunddatentyp (Direktes Produkt): P Q Konstruktor: (, ) ɛ P Q P Q; Selektoren: fst ɛ P Q P, snd ɛ P Q Q z ɛ P Q E1 snd z ɛ Q

18 Kommutativität der Konjunktion Logik Satz A B B A Beweis: c ɛ A B c ɛ A B E1 snd c ɛ B c ɛ A B E0 fst c ɛ A (snd c, fst c) ɛ B A I c (snd c, fst c) ɛ A B B A I commute ɛ A B B A, c (snd c, fst c), Intuitiver: (a, b) (b, a) Äquivalenz: ( c (snd c, fst c), c (snd c, fst c) ) ɛ A B B A

19 Introduktion und Elimination x ɛp I 0 Left x ɛp Q f ɛp R g ɛq R E either f g ɛp Q R y ɛq I 1 Right y ɛp Q Ein Beweis der Disjunktion P Q ist einer von P oder von Q, und als solcher gekennzeichnet Disjunkte Vereinigung (Direkte Summe): P + Q Konstruktoren: Left ɛ P P + Q, Right ɛ Q P + Q; Selektor: either ɛ(p R) (Q R) (P + Q R)

20 Beispiel: A (B C) A B y ɛ B C a ɛ A y ɛ B C E1 a ɛ A fst y ɛ B I 0 I 1 Left a ɛ A B Right(fst y) ɛ A B I a Left a ɛ A A B y Right(fst y) ɛ B C A B either(a Left a) (y Right(fst y)) ɛ A (B C) A B Mit f ɛ A (B C) A B g ɛ A (B C) A C erhalten wir auch: (f, g) ɛ A (B C) (A B) (A C) Es gibt auch: h ɛ(a B) (A C) A (B C)

21 Eine Aussage legt den Datentyp ihrer Beweise fest Ein Datentyp entspricht der Aussage, daß es ein Objekt dieses Typs gibt Jeder Algorithmus, der ein Objekt eines bestimmten Datentyps konstruiert, ist ein Beweis, daß es ein solches gibt Aussagen entsprechen Programmspezifikationen Beweise entsprechen Programmen Man kann Aussagen beweisen, indem man ein Objekt vom passenden Typ konstruiert Aus mathematischen Beweisen lassen sich verifizierte Programme extrahieren Fehlerfreie Software beliebiger Komplexität ist möglich