MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2015 Stand: 9. Juni 2015

2 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 2/33 Motivation System von 4 Reaktionsgleichungen A X B + X Y + C 2X + Y 3X X D (autokatalytisch) Konzentrationen von A und B werden konstant gehalten, C und D werden ständig abgeführt Ratengleichungen für die Konzentrationen X (t) und Y (t) dx dt (t) = α (β + 1)X (t) + ( X (t) ) 2 Y (t), dy dt (t) = βy (t) ( X (t) ) 2 Y (t)

3 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 3/33 Brüsselator α = 2, β = 5, 5

4 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 3/33 Brüsselator α = 2, β = 5, 5 α = 0.5, β = 5, 5

5 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 4/33 Chloroxid-Iod-Malonsäure-Reaktion I System von 3 Reaktionsgleichungen (MA = Malonsäure) MA + I 2 I MA + I + H + 2ClO 2 + 2I 2ClO2 + I 2 ClO2 + 4I + 4H + 2I 2 + Cl + 2H 2 O Konzentrationen: X (t) = c I, Y (t) = c ClO 2 Vereinfachtes Modell dx = A BX 4C XY dt dy dt = CX C XY α + X 2 α + X 2,

6 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 5/33 Chloroxid-Iod-Malonsäure-Reaktion II Einführung dimensionsloser Größen: x = X α, y = C αb Y, τ = Bt, a = A B, b = nichtlineares System von zwei Differentialgleichungen mit den Parametern a und b dx dτ = a x 4 xy 1 + x 2, ( dy dτ = bx 1 y ) 1 + x 2 C B α

7 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 6/33 Chloroxid-Iod-Malonsäure-Reaktion III a = 10, b = 5

8 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 7/33 Chloroxid-Iod-Malonsäure-Reaktion IV a = 20, b = 5

9 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 8/33 Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen, in der zu bestimmende Funktionen und ihre Ableitungen auftreten. Beispiele: y (x) + 2y (x)y(x) = x 2, ċ(t) = 3 ( sin(t) c(t) ) 2 u t (x, t) = u xx (x, t), u xx (x, y) + u yy (x, y) = f (x, y) Im Allgemeinen sind Differentialgleichungen nicht eindeutig lösbar. Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, sind geeignete Bedingungen, wie Anfangs- und Randwerte, vorzugeben.

10 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 9/33 Einteilung von Differentialgleichungen gewöhnliche Differentialgleichungen Die gesuchte Funktion hängt nur von einer Variablen ab. y (x)+2y (x)y(x) = x 2, ċ(t) = 3 ( sin(t) c(t) ) 2 partielle Differentialgleichungen Die zu bestimmende Funktion hängt von zwei oder mehr Variablen ab. u t (x, t) = u xx (x, t), u xx (x, y)+u yy (x, y) = f (x, y) Ordnung einer Differentialgleichung höchste auftretende Ableitungsordnung lineare Differentialgleichungen Funktion und Ableitungen höchstens in erster Potenz

11 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 10/33 Richtungsfeld y = f (x, y) = xy 2, y(0) = y 0

12 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 11/33 Trennung der Variablen Typ der Differentialgleichung y (x) = f (x)g ( y(x) ) bzw. y (x) g ( y(x) ) = f (x) mit gegebeben Funktionen f und g Lösungsweg Seien G eine Stammfunktion von 1 /g und F eine Stammfunktion von f. Dann kann die Lösung y(x) aus der Gleichung G ( y(x) ) = F (x) + C mit einer beliebigen Konstanten C bestimmt werden.

13 Substitutionen Ähnlichkeitsdifferentialgleichung y = f ( y x ) Substitution u(x) := y(x) x = u (x) = f ( u(x) ) u(x) x Gleichung der Form y = f (ax + by + c), a, b, c R Substitution u(x) = ax + by(x) + c = u (x) = a + bf ( u(x) ) G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 12/33

14 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 13/33 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung I Gegeben: Funktionen f, g, h Gesucht: Lösung der Differentialgleichung h(x)y (x) + g(x)y(x) = f (x) oder kurz Einteilung hy + gy = f f 0? ja homogen nein inhomogen

15 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 14/33 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung II Linearität Sind y 1 und y 2 Lösungen der homogenen Differentialgleichung, dann ist auch die Linearkombination αy 1 + βy 2 mit α, β R eine Lösung der homogenen Differentialgleichung. Folgerung Seien y 0 eine nichttriviale Lösung der homogenen Differentialgleichung (hy 0 + gy 0 = 0, y 0 0) und y p eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (hy p + gy p = f ). Dann ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch y = αy 0 + y p, α R gegeben.

16 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 15/33 Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung I 1. Bestimme eine nichttriviale Lösung y 0 der zugehörigen homogenen Differentialgleichung hy 0 + gy 0 = 0, was mittels Trennung der Veränderlichen auf ( ) g(x) y 0 (x) = exp h(x) dx führt alle Lösungen der homogenen Differentialgleichung y h (x) = αy 0 (x), α R

17 Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung II 2. Bestimmung einer partikulären Lösung des inhomogenen Differentialgleichung durch Variation der Konstanten Ansatz y p (x) = C(x)y 0 (x), y p(x) = C (x)y 0 (x) + C(x)y 0(x) in inhomogene Differentialgleichung einsetzen f (x) = h (C y 0 + Cy 0) + gcy 0 = C (hy 0 + gy 0 ) + C hy 0 = C hy 0 Integration liefert C(x) = f (x) h(x)y 0 (x) dx und somit y p (x) = y 0 (x) f (x) h(x)y 0 (x) dx G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 16/33

18 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 17/33 Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung III 3. Allgemeine Lösung ergibt sich gemäß y(x) = y h (x) + y p (x) = ( α + C(x) ) y 0 (x) mit α R 4. Probe bestätigt Rechnung

19 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 18/33 Bernoulli-Differentialgleichung I Gegeben: Funktionen f, g, h k R Gesucht: Lösung der Differentialgleichung Spezialfälle h(x)y (x) + g(x)y(x) = f (x) ( y(x) ) k k = 0: rechte Seite wird zu f (x) = inhomogene lineare Differentialgleichung h(x)y (x) + g(x)y(x) = f (x) k = 1: rechte Seite wird zu f (x)y(x) = homogene lineare Differentialgleichung h(x)y (x) + ( g(x) f (x) ) y(x) = 0

20 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 19/33 Bernoulli-Differentialgleichung II nun k 0 und k 1 Substitution z(x) = ( y(x) ) 1 k bzw. y(x) = z(x) ( y(x) ) k führt zu z (x) = (1 k) ( y(x) ) k y (x) bzw. y (x) = 1 ( ) kz y(x) (x) 1 k Einsetzen in Bernoulli-Differentialgleichung und Umstellen liefert h(x) 1 k z (x) + g(x)z(x) = f (x), also eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für z, woraus dann y ermittelt werden kann

21 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 20/33 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung I Gegeben: Funktionen a 0,..., a n, f Gesucht: Lösung der Differentialgleichung a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y(x) = f (x) oder in Kurzform Einteilung a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = f f 0? ja homogen nein inhomogen

22 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 21/33 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung II Fundamentalsystem Sind die Koeffizientenfunktionen a 0,..., a n, f stetig, dann gibt es n Funktionen (Basislösungen) y 1,..., y n derart, dass sich die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung als y h (x) = C 1 y 1 (x) + + C n y n (x) darstellen lässt, wobei C 1,..., C n beliebige reelle Konstanten sind

23 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 22/33 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung III Satz Sind die n Funktionen y 1,..., y n Lösungen der homogenen Differentialgleichung und gibt es eine Stelle x R, an der die Wronski- Determinante y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1 (x) y 2 (x)... y n(x) y (n 2) 1 (x) y (n 2) 2 (x)... y n (n 2) (x) y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y n (n 1) (x) von 0 verschieden ist, dann bilden y 1,..., y n ein Fundamentalsystem.

24 Lösung der inhomogenen Differentialgleichung analog zu linearen Differentialgleichungen erster Ordnung Ansatz für partikluäre Lösung y(x) = y h (x) + y p (x) y p (x) = C 1 (x)y 1 (x) + + C n (x)y n (x) zunächst: C 1,..., C n Lösung des linearen Gleichungssystems y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n y (n 2) 1 y (n 2) 2... y n (n 2) y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) C 1 C 2. C n 1 C n danach: integrieren, um C 1,..., C n zu erhalten 0 = 0. 0 f a n G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 23/33

25 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 24/33 Lineare Dgl. n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Gegeben: Konstanten a 0,..., a n R, Funktion f Gesucht: Lösung der Differentialgleichung a n y (n) (x) + a n 1 y (n 1) (x) + + a 1 y (x) + a 0 y(x) = f (x) Lösungsansatz für homogene Differentialgleichung mit einer Konstanten λ R Bestimmung der Ableitungen y(x) = e λx y (x) = λe λx, y (x) = λ 2 e λx,..., y (k) (x) = λ k e λx Einsetzen liefert 0 = a n λ n e λx + a n 1 λ n 1 e λx + + a 1 λe λx + a 0 e λx = ( a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 ) e λx

26 Charakteristisches Polynom charakteristisches Polynom p(λ) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 Fundamentalsatz der Algebra: Es gibt genau n (nicht notwendig verschiedene) Nullstellen λ 1,..., λ n C des Polynoms p. Basislösungen in Abhängigkeit der Aufteilung der Nullstellen 1. λ R ist k-fache Nullstelle von p e λx, xe λx,..., x k 1 e λx 2. λ = α ± βi ist Paar konjugierter k-facher Nullstellen von p e αx sin(βx), xe αx sin(βx),..., x k 1 e αx sin(βx), e αx cos(βx), xe αx cos(βx),..., x k 1 e αx cos(βx), G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 25/33

27 Bestimmung einer partikulären Lösung I Für speziellen Funktionen f als Inhomogenität können folgenden Ansätze zur Bestimmung einer partikulären Lösung verwendet werden, wenn das angegebene λ keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p ist: 1. f (x) = p k (x), λ = 0 y p (x) = A k x k + A k 1 x k A 1 x + A 0 2. f (x) = e αx p k (x), λ = α y p (x) = e αx( A k x k + A k 1 x k A 1 x + A 0 ) Dabei ist p k ein Polynom von Grad kleiner oder gleich k. Auch wenn in p k nur einige Potenzen von x auftreten, ist immer das vollständige Polynom im Ansatz zu verwenden. G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 26/33

28 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 27/33 Bestimmung einer partikulären Lösung II 3. f (x) = p k (x) cos(βx) + q l (x) sin(βx), λ = ±βi y p (x) = P M (x) cos(βx) + Q M (x) sin(βx) 4. f (x) = e αx( p k (x) cos(βx) + q l (x) sin(βx) ), λ = α ± βi y p (x) = e αx( P M (x) cos(βx) + Q M (x) sin(βx) ) Dabei sind p k und q l Polynome vom Grad kleiner oder gleich k bzw. l und P M und Q M Polynome vom Grad kleiner oder gleich M = max(k, l). Auch wenn in der rechten Seite nur einige Potenzen von x auftreten, ist immer das vollständige Polynom mit dem maximal vorkommenden Grad im Ansatz zu verwenden.

29 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 28/33 Bestimmung einer partikulären Lösung III Ist λ eine m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms p, dann ist der jeweilige Ansatz mit x m zu multiplizieren. Der jeweils gewählte Ansatz wird in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt. Ein Koeffizienten-Vergleich nach Potenzen von x erlaubt die Bestimmung der Koeffizienten der Polynome des Ansatzes. Ist die rechte Seite der Differentialgleichunng einen Summe von Terme der obigen Formen, dann wird für jeden einzelnen Term eine partikuläre Lösung bestimmt. Deren Summe ist dann die partikuläre Lösung für die gesamte rechte Seite.

30 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 29/33 Lineare Dgl. n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 1. allgemeine Lösung y h der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bestimmen 2. eine partikuläre Lösung y p der inhomogenen Differentialgleichung ermitteln 3. allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung y(x) = y h (x) + y p (x)

31 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 30/33 Eulersche Differentialgleichung Gegeben: Konstanten a 0,..., a n R Gesucht: Lösung der Differentialgleichung a n x n y (n) (x) + a n 1 x n 1 y (n 1) (x) + + a 1 xy (x) + a 0 y(x) = f (x) Substitution: t = ln(x) bzw. x = e t, neue Funktion z(t) = y(e t ) Schritte: 1. Ansatz für z insgesamt n-mal nach t ableiten 2. nach x k y (k) (x) umgestellt in Differentialgleichung einsetzen 3. lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für z(t) entsteht 4. Differentialgleichung lösen 5. Rücksubstitutuion von z und t auf y und x

32 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme Jede (explizite) Differentialgleichung n-ter Ordnung y (n) (x) = F ( x; y(x), y (x),..., y (n 1) (x) ) lässt sich als ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung mit n Gleichungen schreiben. Um dies zu sehen, nutzen wir die die Hilfsfunktionen z 1 := y, z 2 := y,..., z n := y (n 1) und leiten diese dann einmal ab. Es ergibt sich z 1 = z 2, z 2 = z 3,..., z n 1 = z n und z n(x) = F ( x; z 1 (x), z 2 (x),..., z n (x) ). G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 31/33

33 Lineare Differentialgleichungssysteme Ein System der Form y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n + g 1, y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n + g 2,. y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n + g n heißt lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit n Gleichungen. Wenn A die Matrix mit den Einträgen a ij bezeichnet und die Funktionen y i und g i zu den Vektoren y und g zusammengefasst werden, dann lässt sich das obige System kurz als schreiben. y = A y + g G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 32/33

34 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme Homogen: g 1 0,..., g n 0 Wir betrachten y (x) = A y Ansatz: y(x) = u(x)v mit Eigenvektor v von A zum Eigenwert λ Eingesetzt: somit ist u (x)v = y (x) = Ay(x) = u(x)av = u(x)λv, y(x) = e λx v eine Lösung des Differentialgleichungssystems Es sind also nur die Eigenwerte und Eigenvektoren von A zu bestimmen, um (fast) alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zu finden. (Bei mehrfachen Eigenwerten sind ggf. weitere Lösungen zu berücksichtigen.) G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 33/33