MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2015 Stand: 5. Mai 2015

2 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 2/56 Quellen Klaus Strube Sebastian Franz Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band I: Analysis, Vieweg+Teubner, Arens, Hettlich, Karpfinger, Kockelkorn, Lichtenegger, Stachel: Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, 2012.

3 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 3/56 Funktion mehrerer Variablen Reelle Funktion von n reellen Variablen f : D f R n R, x = (x 1,..., x n ) f (x) = f (x 1,..., x n ) Jedem x = (x 1,..., x n ) D f zugeordnet. wird eindeutig eine reelle Zahl Schreibweisen: f (x), f (x 1,..., x n ), f (x, y) bzw. f (x, y, z) Angabe der Zuordnung x f (x): explizit: (p, V ) T (p, V ) = p V R, implizit: (p, T ) V (p, T ) = V, wobei V Lösung der Gleichung ( p + a v 2 ) (v b) = RT ist, andere Formen

4 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 4/56 Darstellung von Funktionen zweier Variablen Graph { (x, ) } Γ f := f (x) : x Df R 3 Höhenlinien Punkte (x, y) mit gleichem Funktionswert c bilden die Höhenlinie zum Niveau c { (x, y) Df : f (x, y) = c } Senkrechte Schnitte Graphen der Funktionen f (y) = f (c, y) und ˆf (x) = f (x, c) für jeweils konstantes c Rechnen mit Funktionen mehrerer Variablen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division wie bei Funktionen mit einer Variable

5 Graph einer Funktion G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 5/56

6 Graphen von verschiedenen Funktionen G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 6/56

7 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 7/56 Niveaumengen und Schnitte T = T (V, p) = V p

8 Niveaumengen 1 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 8/56

9 Niveaumengen 2 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 9/56

10 Niveaumengen 3 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 10/56

11 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 11/56 Verknüpfung von Funktionen gegeben: f : D f R R, g : D g R n R Verknüpfung f g : D g R, x (f g)(x) = f ( g(x) ) Beispiel f : R R, x x 2, g : R 2 R, (x, y) sin(x) + cos(y) f g : R 2 R, (x, y) ( sin(x) + cos(y) ) 2

12 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 12/56 Abstand von Punkten Abstand von x, y R n x y : = n (x i y i ) 2 = i=1 (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 Bemerkung Die obige Definition beschreibt genau den üblichen Abstand von Punkten, wie wir ihn in der Ebene (n = 2) und im Raum (n = 3) kennen.

13 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 13/56 Grenzwert von Punktfolgen Definition (Grenzwert von Punktfolgen) Die Folge { x k }k N mit x k R n konvergiert gegen x, wenn gilt. Wir schreiben dann lim x k x = 0 k lim x k = x k und nennen x den Grenzwert der Folge { x k }k N. Bemerkung Eine Folge von Punkten konvergiert genau dann, wenn jede einzelne Komponte konvergiert.

14 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 14/56 Grenzwert von Funktionen mehrerer Variablen I Definition (Grenzwert einer Funktion) Sei f : D R n R eine Funktion. Der Wert f R heißt Grenzwert von f an der Stelle x D, wenn für alle Folgen { x k } k N D mit x k x und lim k x k = x die Beziehung gilt. Dafür wird dann kurz geschrieben. lim f (x k) = f k lim f (x) = f x x

15 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 15/56 Grenzwert von Funktionen mehrerer Variablen II Es sind alle Folgen zu betrachten, die gegen x konvergieren.

16 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 16/56 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variablen Definition (Stetigkeit) Die Funktion f : D R n R heißt an der Stelle x D stetig, wenn lim x x f (x) = f (x ) gilt. Die Funktion f heißt auf A D stetig, wenn f in allen x A stetig ist. Ist f auf D stetig, so wird f kurz stetige Funktion genannt. Bemerkung In der Definition des Grenzwertes und damit auch in der Definition der Stetigkeit ist es entscheidend, dass alle möglichen Folgen betrachtet werden, nicht nur einige.

17 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 17/56 Grenzwerte und Stetigkeit I z(x, y) = sin(πxy) x 2 + y 2

18 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 18/56 Grenzwerte und Stetigkeit II z(x, y) = x sin ( ) 1 y

19 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 19/56 Grenzwerte und Stetigkeit III z(x, y) = xy 2 x 2 + y 2

20 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 20/56 Rechnen mit stetigen Funktionen Seien f, g : D R n R in x D stetig. Dann sind auch f + g, f g, f g in x stetig. Gilt g(x ) 0, dann ist auch in x stetig. f g

21 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 21/56 Partielle Ableitungen I Gegeben: Funktion f : D R n R, Punkt x Hilfsfunktionen ϕ j : R R, t f (x 1,..., x j 1, t, x j+1,..., x n), j = 1,..., n, Bemerkung Bei Funktionen zweier Variablen entsprechen die Hilfsfunktionen gerade den Schnitte, die wir bei der Darstellung der Funktionen kennengeleernt haben.

22 Partielle Ableitungen II G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 22/56

23 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 23/56 Partielle Ableitungen III Definition Ist die Funktion ϕ j an der Stelle t = xj differenzierbar, so heißt f an der Stelle x partiell nach x j differenzierbar. Wir nennen die Funktion f an der Stelle x partiell differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen nach allen Variablen x 1,..., x n existieren. Übliche Schreibweisen für die partiellen Ableitungen f x j (x ), f x j (x 1,..., x n), f xj (x ), f xj (x 1,..., x n), j f (x ) Bemerkung Um partielle Ableitungen zu bestimmen, verwenden wir die gleichen Techniken wie beim normalen Differenzieren. Für die partielle Ableitung nach x j werden alle anderen Variablen wie Konstanten betrachtet.

24 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 24/56 Höhere partielle Ableitungen Wenn f partiell nach x j differenzierbar ist, dann lässt sich f / x j wieder als Funktion von n Variablen auffassen. Somit können wir untersuchen, ob die Funktion f / x j selber partielle Ableitungen besitzt. Wenn ja, sind diese die zweiten partiellen Ableitungen der Ausgangsfunktion f. Rekursive Definition für eine Funktion f zweier Variablen f Funktion selbst f x, f y partielle Abl. (erster Ordung) f xx, f xy, f yx, f yy partielle Abl. zweiter Ordung 2 f x 2, 2 f x y,... f xxx, f xyx,... partielle Abl. dritter Ordnung 3 f x y x

25 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 25/56 Vertauschbarkeit von partiellen Ableitungen Satz (Schwarz) Sei f : D R n R eine Funktion von n Variablen. Besitzt f auf D alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m und sind diese auf D stetig, dann hängen die partiellen Ableitungen der Ordnungen k n nicht von der Reihenfolge der Differentiation ab. Bemerkung Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist für die Vertauschbarkeit entscheidend. Im Fall der Vertauschbarkeit genügt damit die Angabe, wie oft nach welcher Variablen zu differenzieren ist.

26 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 26/56 Totale Differenzierbarkeit Definition Die Funktion f : D R n R heißt in x D (total) differenzierbar, falls es einen Vektor d R n mit f (x) f (x ) d (x x ) lim x x x x = 0 gibt. In diesem Fall heißt d Ableitung oder Gradient von f in x. Dafür wird kurz geschrieben. f (x ), grad f (x ), f (x )

27 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 27/56 Zusammenhänge Satz Sei f : D R n R in x D differenzierbar. Dann haben wir (i) f ist in x stetig; (ii) f ist in x partiell differenzierbar mit 1 f (x ) grad f (x ) =., n f (x ) d. h., die Vektorkomponenten des Gradienten sind genau die partiellen Ableitungen. Satz Sei f : D R n R auf D partiell differenzierbar nach allen n Variablen. Wenn diese auf D stetig sind, dann ist f auf D differenzierbar.

28 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 28/56 Geometrische Deutung Seien f : D R 2 R eine Funktion und x D. Ist f in (x, y ) D partiell differenzierbar, dann lässt sich gemäß z = f (x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) die Tangentialebene an f im Punkt (x, y ) definieren. Bemerkung Ist f in (x, y ) differenzierbar, dann stellt die Tangentialebene unter allen Ebenen, die durch den Punkt ( x, y, f (x, y ) ) gehen, die beste Näherung an f in der Umgebung von (x, y ) dar.

29 Tangentialebene G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 29/56

30 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 30/56 Kettenregel Seien f : D R n R auf D und v 1,..., v n : M R k R auf M differenzierbar. Weiterhin gelte ( v 1 (z),..., v n (z) ) D für alle z = (z 1,..., z k ) M. Dann ist die Funktion h : M R, z f ( v 1 (z),..., v n (z) ) auf M differenzierbar und die partiellen Ableitungen lassen sich gemäß n j h(z) = i f ( v 1 (z),..., v n (z) ) j v i (z) }{{}}{{} i=1 äußere Ableitung innere Ableitung bestimmen.

31 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 31/56 Implizite Funktionen Gegeben: F : D F R n+1 R differenzierbar mit n+1 F 0 implizit definierte Funktion f : D f R n R mittels F ( x 1,..., x n, f (x 1,..., x n ) ) = 0 Dies heißt: Bei gegebenen Werten x 1,..., x n wird y = f (x 1,..., x n ) als Lösung von bestimmt. F (x 1,..., x n, y) = 0

32 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 32/56 Partielle Ableitungen von impliziten Funktionen Implizit gegebene Funktion f Es gilt: 0 = i F ( x, f (x) ) F ( x 1,..., x n, f (x 1,..., x n ) ) = 0 = 1 F ( x, f (x) ) x i F ( x, f (x) ) x i x i x i + + n F ( x, f (x) ) x n + n+1 F ( x, f (x) ) f (x) x i x i

33 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 32/56 Partielle Ableitungen von impliziten Funktionen Implizit gegebene Funktion f Es gilt: 0 = i F ( x, f (x) ) F ( x 1,..., x n, f (x 1,..., x n ) ) = 0 = 1 F ( x, f (x) ) = 0 x i F ( x, f (x) ) = 1 x x i i x i + + n F ( x, f (x) ) = 0 x n + n+1 F ( x, f (x) ) f (x) x i x i

34 Partielle Ableitungen von impliziten Funktionen Implizit gegebene Funktion f F ( x 1,..., x n, f (x 1,..., x n ) ) = 0 Es gilt: 0 = i F ( x, f (x) ) = i F ( x, f (x) ) + n+1 F ( x, f (x) ) f x i (x) G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 32/56

35 Partielle Ableitungen von impliziten Funktionen Implizit gegebene Funktion f F ( x 1,..., x n, f (x 1,..., x n ) ) = 0 Es gilt: somit 0 = i F ( x, f (x) ) = i F ( x, f (x) ) + n+1 F ( x, f (x) ) f x i (x) f (x) = ( ) if x, f (x) x i n+1 F ( x, f (x) ) G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 32/56

36 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 33/56 Taylor-Entwicklung für Funktionen zweier Variablen Gegeben: Funktion f : R 2 R mit ihren partiellen Ableitungen im Punkt (x, y ) R 2 Gesucht: Näherung für f in Umgebung von (x, y ) Unter geeigneten Voraussetzungen gilt f (x, y) = f (x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) + 1 { f xx (x, y )(x x ) f xy (x, y )(x x )(y y ) +f yy (x, y )(y y ) 2 } +...

37 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 34/56 Beispiele für Taylor-Entwicklungen I f (x, y) = e xy + y

38 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 34/56 Beispiele für Taylor-Entwicklungen I f (x, y) = e xy + y, p 1 (x, y) = 1 + y

39 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 34/56 Beispiele für Taylor-Entwicklungen I f (x, y) = e xy + y, p 2 (x, y) = 1 + y + xy

40 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 35/56 Beispiele für Taylor-Entwicklungen II f (x, y) = sin(πxy), x = 0, y = 0, p 2 (x, y) = πxy

41 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 36/56 Beispiele für Taylor-Entwicklungen III f (x, y) = sin(πxy), x = 1, y = 1/2, p 2 (x, y) = 1 π2 8 (x + 2y 2)2

42 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 37/56 Taylor-Entwicklung für Funktionen mehrerer Variablen Gegeben: Funktion f : R n R mit ihren partiellen Ableitungen im Punkt x R n Gesucht: Näherung für f in Umgebung von x Unter geeigneten Voraussetzungen gilt f (x) = f (x ) + f (x ) (x x )+ 1 2 (x x ) T H(x )(x x )+... mit dem Gradienten f (x ) und der Hesse-Matrix 2 f (x ) 2 f x 2 x 1 1 x 2 (x )... 2 f x 1 x n (x ) H(x 2 f x ) = 1 x 2 (x ) 2 f (x )... 2 f x2 2 x 2 x n (x ) f x 1 x n (x ) 2 f x 2 x n (x )... 2 f (x ) xn 2

43 Fehlerfortpflanzung Taylor-Entwicklung nur bis zu den ersten Ableitungen liefert: n f (x) f (x ) }{{} k f (x ) (x k xk }{{} ) k=1 = f = x k somit Bemerkung f n k f (x ) x k k=1 Die Änderung der Größe f ergibt sich aus den Änderungen der Eingangsgrößen x k, wobei die partiellen Ableitungen als Verstärkungsfaktoren auftreten. Totales Differential df = n k f dx k k=1 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 38/56

44 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 39/56 Lokale Extremwerte Definition (Lokale Extremwerte) Eine Funktion f : D R n R hat an der Stelle x D ein lokales Minimum bzw. lokales Maximum, wenn es eine Umgebung M von x derart gibt, dass für alle x M D gilt. Bemerkung f (x ) f (x) bzw. f (x ) f (x) Wenn eine Funktion in einer Umgebung des Punktes x konstant ist, dann hat die Funktion in x sowohl ein lokales Minimum als auch ein lokales Maximum.

45 Lokale Extremwerte: Illustration G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 40/56

46 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 41/56 Notwendiges Kriterium Satz (Notwendiges Kriterium für lokale Extremwerte) Sei f : D R n R partiell differenzierbar. Wenn f an der Stelle x D ein lokales Extremum hat, dann gilt i f (x ) = 0, i = 1,..., n, d. h., alle partiellen Ableitungen verschwinden in x. Die Umkehrung gilt ohne weitere Bedingungen nicht. Beispiel: Sattelpunkt f : R 2 R, (x, y) x 2 y 2, f x (x, y) = 2x, f y (x, y) = 2y. Im Punkt (0, 0) verschwinden beide partiellen Ableitungen. Ein lokales Extremum liegt dort aber nicht vor, da f in der Umgebung von (0, 0) sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

47 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 42/56 Hinreichendes Kriterium Satz (Hinreichendes Kriterium für lokale Extremwerte) Sei f : D R 2 R eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2. Gilt an der Stelle (x, y ) im Inneren von D x f (x, y ) = 0, y f (x, y ) = 0 und := xx f (x, y ) yy f (x, y ) xy f (x, y ) 2 > 0, dann hat f an der Stelle (x, y ) ein lokales Maximum, falls xx f (x, y ) < 0 gilt, bzw. ein lokales Minimum, falls erfüllt ist. xx f (x, y ) > 0

48 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 43/56 Bemerkungen := xx f (x, y ) yy f (x, y ) xy f (x, y ) 2 Im Fall < 0 liegt kein Extremum sondern ein Sattelpunkt vor, vgl. x 2 y 2 mit (0, 0) = 2 ( 2) = 4. Ist = 0, so keine die Entscheidung, ob ein Extremum vorliegt, erst unter Berücksichtigung weiterer Bedingungen (z. B. höhere Ableitungen) getroffen werden. Wenn > 0 gilt, dann kann f xx nicht 0 sein.

49 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 44/56 Beispiel f (x, y) = x 2 + y 2 + xy 2x + 3y + 7

50 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 45/56 Beispiel f (x, y) = y 2 (x 1) + x 2 (x + 1)

51 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 46/56 Ausgleichsrechnung und Fehlerquadratmethode zwei (physikalische) Größen x und y in funktionaler Abhängigkeit y = f (x; a 1,..., a k ) mit Parametern a 1,..., a k, die mittels einer Messreihe (x i, y i ), i = 1,..., n, n > k, bestimmt werden soll. Idee: Minimiere die Summe der Fehlerquadrate F (a 1,..., a k ) := n i=1 ( f (x i ; a 1,..., a k ) y i ) 2 min a 1,...,a k Notwendiges Kriterium für Minimum j F (a 1,..., a k ) = 0, j = 1,..., k ergibt k Gleichungen für a 1,..., a k

52 Ausgleichsgerade funktionaler Zusammenhang Fehlerquadratfunktion F (a, b) = y = ax + b n i=1 notwendige Bedingungen für Minimum F a (a, b) = F b (a, b) = (ax i + b y i ) 2 min a,b n 2(ax i + b y i )x i = 0, i=1 n 2(ax i + b y i ) = 0 i=1 ergeben lineares Gleichungssystem für a und b G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 47/56

53 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 48/56 Ausgleichsgerade Lineares Gleichungssystem n a xi 2 +b Lösung mit x = 1 n n x i, i=1 s 2 x = 1 n 1 n i=1 a i=1 n x i +b i=1 a = s xy s 2 x n x i = i=1 n 1 = i=1 n x i y i, i=1 n i=1 y i, b = y ax y = 1 n n y i, i=1 (x i x) 2, s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i y) i=1

54 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 49/56 Beispiele linearer Zusammenhang: y = ax + b

55 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 49/56 Beispiele linearer Zusammenhang: y = ax + b

56 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 50/56 Beispiele exponentieller Zusammenhang: y = ae bx nach Logarithmieren: ln(y) = ln ( ae bx) = ln(a) + bx

57 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 50/56 Beispiele exponentieller Zusammenhang: y = ae bx nach Logarithmieren: ln(y) = ln ( ae bx) = ln(a) + bx

58 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 51/56 Extremwerte unter Nebenbedingungen Oft werden Extremwerte nicht auf dem gesamten Definitionsbereich D gesucht, sondern unter allen Punkten, die gewisse Nebenbedingungen erfüllen. Diese werden von den eigentlichen Extremwerten nur in Ausnahmefällen erfüllt. Problemstellung: Gegeben f : D R n R, g 1,..., g m : D R Gesucht Extremstellen von f auf der Menge G := { x D : g 1 (x) = 0,..., g m (x) = 0 } = { x D : g(x) = 0 } mit g 1 (x) g(x) =. g m (x)

59 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 52/56 Lagrange-Funktion Lagrange-Funktion L(x, λ) = f (x) + λ g(x) oder ausführlich L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f (x 1,..., x n ) + λ 1 g 1 (x 1,..., x n ) + + λ m g m (x 1,..., x n )

60 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 53/56 Kriterium für Extremwerte unter Nebenbedingungen Satz Die Funktionen f, g 1,..., g m : D R n R seien stetig partiell differenzierbar. Wenn x G D eine lokale Extremstelle von f auf G ist und die Matrix 1 g 1 (x )... 1 g m (x )..... n g 1 (x )... n g m (x ) den Rang m besitzt, dann gibt es einen Lagrange-Multiplikator λ R m derart, dass all (n + m) partiellen Ableitungen von L im Punkt (x, λ ) R n+m verschwinden, d. h., die Bedingungen m j f (x1,..., xn) + λ k g k(x1,..., xn) = 0, j = 1,..., n, sind erfüllt. k=1 g l (x 1,..., x n) = 0, l = 1,..., m,

61 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 54/56 Beispiel f (x, y) = x 2 + y 2 min unter g(x, y) = x + y 1 = 0

62 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 55/56 Beispiel f (x, y) = (1 x 2 )(1 y 2 ) min unter g(x, y) = x 2 +y = 0

63 G. Matthies Mathematik 2 für Chemiker 56/56 Beispiel Ellipse mit den Halbachsen a = 3 und b = 2 einbeschriebene Rechtecke mit den Seitenlängen 2x und 2y

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