Stellen Sie für das im folgenden Signalflussbild dargestellte dynamische System ein Zustandsraummodell K

Transkript

1 Aufgaben Aufgabe : Stellen Sie für das im folgenden Signalflussbild dargestellte dnamische Sstem ein Zustandsraummodell auf. u Aufgabe 2: Wir betrachten das folgende Regelsstem vierter Ordnung: r e u 5 K P ( s 2) Als Verstärkungsfaktor des P-Reglers wird K P 2 gewählt. a) Verwenden Sie das Nquist-Kriterium für die Abklärung, ob das vorliegende Regelsstem asmptotisch stabil ist. b) Nennen Sie drei weitere Methoden zur Abklärung der Stabilität dieses Regelsstems.

2 Aufgabe : Wir betrachten das folgende Regelsstem: r Regel- strecke e Regler u Die Regelstrecke wird durch eine Serieschaltung von zwei Teilsstemen mit den folgenden Übertragungsfunktionen modelliert: Σ () s und Σ. s 2 () s s 2 0.5s 25 Die Übertragungsfunktion des Reglers lautet: Cs () s a) Skizzieren Sie im vorbereiteten Bode-Diagramm (Seite ) den Amplituden- und den Phasengang der Kreisverstärkung des Regelkreises (ohne Berechnung der einzelnen Punkte der beiden Verläufe). b) Bestimmen Sie graphisch die Durchtrittsfrequenz und die Phasenreserve des Regelsstems. c) Mit welchem stationären Nachlauffehler für eine konstante Führungsgrösse rechnen Sie? (Begründen Sie Ihre Antwort!) 2

3 Aufgabe : Wir betrachten die unten skizzierte mechanische Anordnung, bei der die Neigung der schiefen Ebene hdraulisch verändert werden kann (der Wagen kann nicht abheben). m vt () p( t) ht () ϕ() t u() t Als Steuergrösse ut () dieses Sstems wird der Volumenstrom der Hdraulikflüssigkeit in den Hdraulikzlinder und als Ausgangsgrösse die Position pt () eines Wagens mit der Masse m auf der schiefen Ebene betrachtet. Die Winkelgeschwindigkeit ϕ bleibt immer sehr klein, so dass die Zentrifugalkräfte vernachlässigt werden können. a) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen dieses Sstems für den reibungsfreien Fall her. Nehmen Sie dabei an, dass die Geschwindigkeit des Kolbenhubes h direkt proportional zum Volumenstrom in den Hdraulikzlinder ist. Schreiben Sie die Gleichungen in der Zustandsraumdarstellung auf, wobei die Zustandsgrössen x p, x 2 p und x h zu verwenden sind. Tipp: sinϕ() t ht () 2 ht () b) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichungen um den Betriebspunkt h 0 0 (nehmen Sie an, dass diese Lage mit der Vorrichtung erreicht werden kann). Tipp: h ht () 2 ht () h 0 c) Ist das Sstem asmptotisch stabil, stabil oder instabil? Begründen Sie Ihre Antwort sowohl mathematisch mittels Stabilitätsanalse als auch intuitiv! d) Ist das linearisierte Sstem vollständig steuerbar?

4 Aufgabe 5: Wir betrachten das folgende Sstem: x x 2 zt () ut () x 7x() t 2z() t x 2 αx 8x 2 ut () t () t () xt () zt () zt () x a) Für welchen Wert des Parameters α ist das Sstem nicht vollständig steuerbar und / oder nicht vollständig beobachtbar? b) Welche Ordnung hätte ein Zustandsraummodell minimaler Ordnung mit dem gleichen Input-Output-Verhalten wie das obige Sstem? c) Geben Sie ein Zustandsraummodell minimaler Ordnung an. Aufgabe 6: Wir betrachten das folgende Regelsstem mit einem PD-Regler: r e PD-Regler u s 2 s 7 Die Reglerparameter sind wie folgt eingestellt: Verstärkungsfaktor: Vorhaltezeit: T d k p s a) Berechnen Sie die Einheitssprungantwort des Regelsstems bei anfänglicher Ruhelage. b) Bestimmen Sie den stationären Nachlauffehler dieses Regelsstems.

5 Aufgabe 7: Ist die folgende regelungstechnische Problemstellung lösbar? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie alle Argumente an. d r e Cs () u Ps () Die zu regelnde Strecke ist durch ihre Übertragungsfunktion Ps () gegeben: Ps () ( s 2 ) ( s ) ( s 2 s ) Die auszuregelnden Störungen haben die Form n dt () cos( ω i t), 0 rad/s ω i 0. rad/s. i Der zu findende Regler Cs ()(nicht Teil dieser Aufgabe) soll für den geschlossenen Regelkreis Ts () eine Anstiegszeit t 90 von 0 s realisieren und alle Störungen um mindestens 20 db reduzieren. Aufgabe 8: Für eine Regelstrecke mit der Übertragungsfunktion Σ() s s 2 6s 5 soll ein PID-Regler ausgelegt werden. w Regel- strecke e PID- Regler u a) Bestimmen Sie die Parameter des PID-Reglers so, dass die Pole des Regelsstems bei 5 ± 5j und liegen. b) Bestimmen Sie, ob das geregelte Sstem minimalphasig oder nicht-minimalphasig ist. 5

6 Lösungen Aufgabe : u x x 2 x Zustandsraummodell für die gewählten Zustandsgrössen im Signalflussbild: x x 2 x x u 5x [ x 2 ] 9x 5x 2 u() t 2x x x [ x 2x ] 2x 5x t () x 72x ( ) x x 2 Die zugehörigen Sstemmatrizen lauten: A , B 0, C 0, D Beachten Sie, dass dieses Zustandsraummodell nicht die einzige Repräsentation des Sstems darstellt. Je nach Wahl der Zustandsgrössen werden andere Zustandsraummodelle resultieren. 6

7 Aufgabe 2: a) Die Regelstrecke ist asmptotisch stabil, somit kann das vereinfachte Nqust-Kriterium angewendenet werden. Die kritische Kreisfrequenz des open loop sstems lässt sich sehr einfach bestimmen, da es sich um eine Serieschaltung von gleichen Tiefpass-Elemente erster Ordnung handelt: Ls () 5K P ( s 2) Der Phasengang eines Tiefpass-Elements beträgt bei der Eckfrequenz ω eck 2 rad/s genau π. Da bei einer Serieschaltung die Phasen sich addieren, beträgt der Phasengang des open loop sstems bei 2 rad/s genau π π. Deshalb handelt es sich dabei um die kritische Kreisfrequenz: 2 rad/s. Für diese Frequenz beträgt der Amplitudengang ω c Ljω ( c ) 5K P jω c j ( 8) b) Somit umläuft der Frequenzgang des open loop sstems den Nquist-Punkt ± 0j nicht, so dass nach dem vereinfachten Nquist-Kriteriums das Sstem asmptotisch stabil ist. - Die Pole (resp. Eigenwerte) des Regelsstems berechnen. Falls alle Pole (resp. Eigenwerte) negativen Realteil haben, ist das Sstem asmptotisch stabil. - Lapunov-Stabilitätsanalse - Hurwitz-Methode Aufgabe : a) Σ () log( Σ ( 0) ) 20log( 0) 20 [db] Resonanzüberhöhung : Σ 2 2δω δ 0.5 δ 0.05 Σ max Σ 2δ δ 2 max 20 db db b) Durchtrittsfrequenz und Phasenreserve:. rad/s und ϕ 5. ω c c) lim L0 ( ) stationärer Nachlauffehler: SNF ω L0 () kein stationärer Nachlauffehler! 7

8 BodeDiagramm 0 20 db 20dB 0 20 db/dek Phasengang [Grad] Amplitudengang [db] db/dek : Σ ( jω) : Σ 2 ( jω) : P( jω) Σ ( jω)σ 2 ( jω) : C( jω) : L( jω) P( jω)c( jω) 5 Phasenreserve: 5 20dB 80 db/dek ω c. rad/s 90 0 db/dek 60 db/dek Frequenz [rad/s] 8

9 Aufgabe : a) Die Bewegungsgleichung lautet: Σ F mgsinϕ m p. Mit der Wahl der folgenden Zustandsgrössen x pt (), x 2 p und x ht () kann die Bewegungsgleichung in der Zustandsraumdarstellung aufgeschrieben werden: x 2, x 2 gsinϕ g x 2 x und x. α ut () x b) Linearisierung der Bewegungsgleichung um den Betriebspunkt h 0 0 liefert: x Ax Bu() t mit A f f f f x x 2 x u f 2 f 2 f und, x x 2 x 0 0 g B f u α f f f f x x 2 x u h 0 0 h 0 0 wobei f x x x 2 x h 0 verwendet wurde (vgl. Tipp in der Aufgabe!). c) Charakteristische Gleichung lautet: s 0 det( si A) det 0 s g s 0 s s 2 s s instabil! d) Steuerbarkeitsmatrix: U 0 0 αg B AB A 2 B 0 αg 0, rang( U) vollständig steuerbar! α 0 0 9

10 Aufgabe 5: a) Ein Sstem ist nicht vollständig steuerbar und / oder nicht vollständig beobachtbar, falls eine Pol-Nullstellen-Kürzung vorliegt. Die Übertragungsfunktion des Sstems kann als eine Serieschaltung der beiden Teilsstemen Σ () s und s 2 Σ 2 () s 8s α angegeben werden: s 7 s s 7 Σ() s Σ () s Σ 2 () s s 5. s s α s 7 Falls eine Pol-Nullstellen-Kürzung vorliegen soll, dann muss s 2 8s α sein, d.h.: s 2 8s α ( s 5) ( s β) s 5 ein Faktor des Polnoms s 2 8s α s 2 ( β 5)s 5β. Ein Koeffizientenvergleich ergibt β und α 5β 5. b) Zustandsraummodell minimaler Ordnung wäre dann zweiter Ordnung. c) Ausgehend von Σ() s s 5 s 5 s s α s 7 ( s 5) ( s ) s 7 ( s ) ( s 7) kann das folgende Zustandsraummodell minimaler Ordnung in steuerbarer Standardform angegeben werden: A 0, 0, C 0, D s 2 s 2 Aufgabe 6: Das Führungsverhalten des Regelsstems wird durch die Übertragungsfunktion der komplementären Empfindlichkeit beschrieben: Ts () 2 k P ( T d s) Cs ()Ps s 2 s Cs ()Ps k P ( T d s) s 2 s 7 2k P T d s 2k P s 2 ( 2k P T d )s ( 2k P 7) 2k P ( T d s) s 2 s 7 2k P ( T d s) 0

11 9s 8 Für k p 9 und T d 0.5 s erhalten wir: Ts () s 2 0s 25 a) Die Sprungantwort des Regelsstems bei anfänglicher Ruhelage: Ys () Ts () Rs () Ts () 9s s s s 25 s Partialbruchzerlegung: 9s ( s 5) 2 -- s Ys () 9s ( s 5) 2 -- s A --- s B C , wobei ( s 5) ( s 5) 2 A B 9s 8 8 9s ,, ( s 5) C s 5 s 0 s 5 9s 8 A C ( s 5) s s ( s 5) s Laplace-Rücktransformation ergibt: t () [ 2 2e 5t 5te 5t ]. 25 b) Stationärer Nachlauffehler (SNF): 8 SNF lim t () lim sy() s t s Aufgabe 7: Die Strecke hat eine nicht-minimalphasige Nullstelle bei ζ rad/s, da s 2 ( s ) ( s ). Die Durchtrittsfrequenz ω c muss deshalb kleiner als 0.5 rad/s Dies ist nicht im Widerspruch mit der Forderung für 0 s. Das ergibt ein ω.7 c rad/s 0.7 rad/s t 90 Die Störungen bei 0. rad/s können hingegen nicht um 20 db gedämpft werden (das würde bei rad/s verlangen). ω c Das wichtigste Argument, das gegen eine lösbarkeit spricht, ist aber die Feststellung, dass die Strecke einen Pop bei π rad/s hat. Das bedeutet, dass eine instabile Pol-Nullstellen-Kürzung stattfindet und damit das Sstem nicht stabiliserbar ist. t 90 Resultat: Die Problemstellung ist nicht lösbar

12 Aufgabe 8: Die Übertragungsfunktion des Regelsstems lautet: Ts () Cs ()Ps Cs ()Ps k P k d s k i -- s s 2 6s 5 k P k d s k i -- s k d s 2 k P s k i s ( k d 6)s 2 ( k P 5)s k i Charakteristisches Polnom (Nennerpolnom von aufweisen, d.h. Ts ()) muss die vorgegebenen Nullstellen s ( k d 6)s 2 ( k P 5)s k i ( s 5 5j) ( s 5 5j) ( s ) [( s 5) 2 25] ( s ) ( s 2 0s 50) ( s ) Koeffizientenvergleich ergibt für die Reglerparameter: k P 5 80 k P 25, s s 2 80s 50 7 k d 6 k d -- und k i 50 k i 50. ES / 0. März