Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung

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1 Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Marcus Jung

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Reihen 3. Denition Konvergenzkriterien für Reihen absolute Konvergenz Summationsreihenfolge Produkt von Reihen Potenzreihen 6 2. Konvergenz von Potenzreihen Rechenregeln Exponentialfunktion 7 3. Eigenschaften Umkehrfunktion Trigonometrische Funktionen

3 Reihen Reihen. Denition Bildet man zu einer gegebenen Folge (a n ) R die neue Folge (s n ) mit s n := n = a 0 + a + a a n so nennt man diese eine Reihe und schreibt hierfür. Die s n heiÿen auch Parti- alsummen der Reihe. Ist konvergent, so wird der Grenzwert s = lim n ebenfalls mit bezeichnet. n Wichtig: Reihen und Folgen unterscheiden sich lediglich dadurch, dass man bei Reihen versucht, Konvergenzaussagen in Abhängigkeit von den Summanden zu erhalten. Alle bisherigen Sätze über Folgen, gelten auch für Reihen. Beispiele:. Die geometrische Reihe: Für x < gilt: x k = + x + x 2 + x = x Mittels vollständiger Induktion lässt sich zeigen, dass sich die Pratialsumme s n darstellen lässt als x n+ x. Die Grenzwertbildung n liefert obige Formel. 2. Die harmonische Reihe: Diese divergiert: k = =.2 Konvergenzkriterien für Reihen. Cauchysches Konvergenzkriterium: ( ) sei eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe Zu jedem ɛ > 0 existiert ein N N, sodass gilt: n < ɛ für alle n m N k=m 2. Ist konvergent, so folgt aus. lim k = 0 3. Linearität: Sind und und (λ ) und es gilt: ( + b k ) = + b k und konvergiert genau dann, wenn gilt: b k konvergente Reihen, so konvergieren auch die Reihen ( + b k ) 3

4 Reihen (λ ) = λ 4. Leibnizsches Konvergenzkriterium: Sei ( ) eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen mit lim k = 0. Dann konvergiert die alternierende Reihe ( ) k und es gilt die Einschlieÿung: 2n ( ) k ( ) k 2n ( ) k Beispiele: für konvergierende Reihen:. Die alternierende harmonische Reihe: 2. Die Leibnizsche Reihe ( ) k 2k+ k= ( ) k k.3 absolute Konvergenz Eine Reihe heiÿt absolut konvergent, falls die Reihe konvergiert. Bemerkung: Eine absolut konvergente Folge konvergiert auch im gewöhnlichen Sinn. Dies folgt aus dem Cauchy'schen Konvergenzkriterium und der Dreiecksungleichung. Die Umkehrung gilt nicht, wie an der alternierenden harmonischen Reihe gesehen werden kann. Somit ist die absolute Konvergenz eine stärkere Forderung als die gewöhnliche Konvergenz. Konvergenzkriterien:. Sei f : [, ] R + eine monoton fallende Funktion. Dann gilt: f(k) konvergiert f(x)dx konvergiert k= Beispiel: Da das Integral dx x s und divergiert für s 2. Majorantenkriterium: Sei für s > konvergiert, konvergiert also die Reihe k= k s für s > c k eine konvergente Reihe mit nur nichtnegativen Gliedern und (a n ) eine Folge mit c k für alle n N. Dann konvergiert die Reihe absolut. 3. Quotientenkriterium: Sei eine Reihe mit 0 für alle n n 0. Es gebe eine reelle Zahl θ mit 0 < θ <, sodass a n+ a n θ für alle n > n 0. Dann konvergiert die Reihe absolut. Beispiel: Die Reihe n 2 2 konvergiert, da mit a n k := n2 2 für alle n 3 gilt: n 4

5 Reihen a n+ a n = (n+)2 2 n 2 n+ n 2 = 2 ( + n )2 2 ( + 3 )2 = 8 9 =: θ < 4. Wurzelkriterium: Sei eine Reihe. Weiter gebe es eine reelle Zahl θ mit 0 < θ <, sodass k ak θ So konvergiert die Reihe absolut. Bemerkung:. Die Voraussetzung des Quotienten- bzw. Wurzelkriteriums ist dann erfüllt, falls lim k + < bzw. lim k k < gilt. 2. Gilt dagegen lim k + > bzw. lim k k > so ist die Reihe divergent. Beispiele:. Wegen n k(k+) = n k= k= (absolut) konvergent mit dem Grenzwert 2. Die Reihe n n k= k r n k= k= k 2 3. Die Reihe ( k k+ ) = n+ ist die Reihe n k= n k(k+) = k= k(k+) k r, r N, r 2 ist (absolut) konvergent, denn es gilt nach Beispiel : < + n k=2 z k k! ist für jedes z C absolut konvergent. Dies folgt mit dem Quotientenkriterium aus: + = z k+ 0(k ) Es gilt e z = k(k ) < 2 z k k! 4. Die Reihe ( ) k z2k+ ist für z < absolut konvergent, denn + 2k+ = z2 (2k+) (2k+3) z 2 < (k ).4 Summationsreihenfolge Man fragt sich nun, ob man die Summationsreihenfolge bei einer Reihe ähnlich wie bei einer (endlichen) Summe beliebig vertauschen kann, ohne dass sich hierdurch der Grenzwert ändert. Dabei sollen natürlich nicht notwendigerweise nur endlich viele Summanden vertauscht werden dürfen, sondern es werden allgemein Reihen der Form a bk untersucht, wo b : N 0 N 0 eine beliebige Bijektion (Permutation) von N 0 ist. Umordnungssatz: 5

6 2 Potenzreihen Ist die Reihe absolut konvergent, so ist auch jede umgeordnete Reihe a bk absolut konvergent und es gilt: = a b k.5 Produkt von Reihen Die Reihen und b l seien absolut konvergent. Dann ist die Reihe a ck b dk für l=0 jede Numerierung der Indexpaare (c, d) : N 0 N 2 0 absolut konvergent und es gilt: a ck b dk = ( )( b k ) 2 Potenzreihen Eine Reihe der form f(z) = (z z 0 ) k heiÿt eine (komplexe) Potenzreihe zum Entwicklungspunkt z Konvergenz von Potenzreihen. Zu jeder Potenzreihe gibt es eine Zahl r, 0 r, den sogenannten Konvergenzradius der Potenzreihe, mit den Eigenschaften: z z 0 < r (z z 0 ) k absolut konvergent z z 0 > r (z z 0 ) k divergent 2. Für den Konvergenzradius hat man die Formel von Cauchy, Hadamard: r = lim k sup k 3. Falls einer der folgenden Grenzwerte existiert, ist er gleich dem Konvergenzradius r: r = lim k k ak 4. Die abgeleitete Reihe bzw. r = lim k + k= k(z z 0 ) k hat den gleichen Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe. Umgekehrt lässt sich hieraus schlieÿen, dass auch die integrierte Potenzreihe den gleichen Konvergenzradius wie die Ausgangsreihe besitzt. Beispiele:. Die Reihe k!z k konvergiert nur für z = 0, d!z k für z keine Nullfolge ist. Der Konvergenzradius ist daher r = 0; dies sieht man z.b. auch leicht unter Anwendung der 2. Formel. 6

7 3 Exponentialfunktion 2. Die geometrische Reihe z k hat den Konvergenzradius r=. 3. Die Exponentialreihe Identitätssatz: Sind f(x) = z k k! hat den Konvergenzradius r =. (x x 0 ) k und f(x) = b k (x x 0 ) k reelle Potenzreihen, die in einem Intervall ]x 0 ɛ, x 0 +ɛ[ die gleiche Funktion f(x) darstellen, so gilt für alle k: = b k 2.2 Rechenregeln Seien f(z) = z k und g(z) = b k z k Potenzreihen mit den Konvergenzradien r, r 2 > 0. Dann gelten:. f(z) + g(z) = ( + b k )z k, z < min(r, r2) 2. λf(z) = f(z) = λ z k, z < r 3. Cauchy Produkt für Potenzreihen: f(z)g(z) = ( k a l b k l )z k z < min(r, r 2 ) l=0 3 Exponentialfunktion Für z C wird deniert: exp(z) = k! zk 3. Eigenschaften Wegen + = (k+)! k! = k + (k ) ist der Konvergenzradius r =. Die Funktion exp(z) ist daher für alle z C erklärt und stetig. Schlieÿlich hat man die Funktionalgleichung: exp(z + w) = exp(z) exp(w) Beweis in der Übung. Weitere wichtige Eigenschaften: a) Für alle z C : exp(z) 0 b) Für alle z C : exp( z) = exp(z) c) Für alle x R : exp(x) > 0 d)lim x + exp(x) = und lim x exp(x) = 0 e)exp : R R ist streng monoton wachsend 7

8 3 Exponentialfunktion f)e := exp() = k! = lim n ( + n )n 3.2 Umkehrfunktion Wegen e) besitzt die reelle Exponentialfunktion exp : R R eine Umkehrfunktion: ln :]0, [ R Dies ist der natürliche Logaritmus. Als Eigenschaften erhält man: a)ln :]0, [ R ist streng monoton wachsend und stetig b) lim x 0+ lnx = und lim x lnx = c) Für alle x, y > 0 : ln(xy) = ln(x) + ln(y) und Für alle x > 0, q Q : ln(x q ) = qln(x) d) ln( + x) = ( ) k k+ xk+ mit < x 3.3 Trigonometrische Funktionen Für z C wird deniert: sinz := cosz := ( ) k (2k+)! z2k+ ( ) k (2k)! z2k Beide Potenzreihen haben den Konvergenzradius r =, die beiden Funktionen sind also auf ganz C deniert und stetig. Eigenschaften: a) sin( z) = sinz (ungerade Funktion) b) cos( z) = cosz(gerade Funktion) c)sin(0) = 0 und cos(0) = d)e iz = cosz + isin(z) e)sinz = 2i (eiz e iz ) f)cosz = 2 (eiz + e iz ) g)sin 2 z + cos 2 z = 8