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Annika Stieber
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2 Reihe 6 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Literatur Die irrationalen Zahlen eine Einführung (9./10. Schuljahr) Dr. Walter Geßner, Würzburg Inhaltsübersicht Begründung des Reihenthemas Fachwissenschaftliche und didaktisch-methodische Orientierung Verlaufsübersicht Material

3 Reihe 6 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Literatur Begründung des Reihenthemas Die schrittweise Erweiterung der benötigten Zahlenmengen, von der Menge der natürlichen Zahlen bis hin zum Körper der komplexen Zahlen, ist eine der Grundaufgaben des Mathematikunterrichts. Demgemäß wird sie in allen Lehrplänen zu Recht hervorgehoben. Im Folgenden betrachten wir den Übergang vom Körper der rationalen Zahlen zum Körper der reellen Zahlen, der in den Jahrgangsstufen 9 und 10 zu leisten ist. Für diesen Schritt wird im Folgenden eine Unterrichtssequenz vorgestellt, die verschiedene Durchläufe erlaubt. Naturgemäß spielt dabei die Menge \ der irrationalen Zahlen eine entscheidende Rolle. Fachwissenschaftliche und didaktisch-methodische Orientierung Es gibt im Wesentlichen zwei (miteinander verwandte) Methoden, um aus zu konstruieren: die Dedekind schen Schnitte und die Cantor schen Fundamentalfolgen. Beide Verfahren lassen sich zwar elementarisieren, verlangen von den Schülerinnen und Schülern aber auch dann noch ein erhebliches Abstraktionsvermögen. Im Folgenden werden sie daher nicht verwendet. Stattdessen wird ein populärer, wenngleich nicht gerade axiomatischer Weg zur Definition von beschritten: Der rechnerischen Praxis entsprechend definieren wir als die Menge aller denkbaren Dezimalbrüche. Eingeschlossen sind positive und negative Dezimalbrüche mit endlich vielen (echten) Stellen, periodische Dezimalbrüche mit oder ohne Vorperiode, aber nun auch unperiodische Dezimalbrüche mit unendlich vielen Stellen. Diese populäre Definition von erkauft man allerdings mit der theoretischen Schwierigkeit, die Grundrechenarten zu definieren. An welcher Stelle soll man schließlich anfangen, Dezimalbrüche mit unendlich vielen echten Stellen zu addieren, wenn es keine letzten Stellen gibt? Hier hilft aber die Rechenpraxis weiter: Man legt sich bei der vorgelegten Grundrechenaufgabe auf eine bestimmte Mindestgenauigkeit fest, also eine feste Zahl von Dezimalstellen, und denkt sich die übrigen unendlich vielen Dezimalstellen abgeschnitten. Es verbleiben dann rationale Zahlen, mit denen man wie üblich rechnen kann. Auf diese Weise lassen sich die Grundrechenarten auch in der Zahlenmenge \ bis zu einer beliebigen Genauigkeit festlegen. Damit sind, für den Unterricht in der Sekundarstufe I völlig ausreichend, die Grundrechenarten in definiert. Ein weiterer Vorteil der Methode ist, dass die Permanenz der Rechengesetze nicht mehr eigens nachgewiesen werden muss. Somit bleibt Zeit, Themen zu wiederholen oder neu zu behandeln, die beim Übergang von zu eine große Rolle spielen: Die Zahlenmengen, 0 und ; Begriff der Primzahl; Primfaktorzerlegung. Definition der Zahlenmenge ; Dezimalbruchschreibweise der rationalen Zahlen; Einsicht, dass jede rationale Zahl sich entweder als Dezimalbruch mit endlich vielen (echten) Stellen oder als periodischer Dezimalbruch (mit oder ohne Vorperiode) schreiben lässt; praktische Durchführung der entsprechenden Umformungen. Beweisverfahren der indirekten Beweise bzw. Beweise durch Widerspruch : Zum Thema gehören auch Beweise für die Irrationalität verschiedener Quadratwurzeln und höherer Wurzelzahlen. Diese Beweise gehören zu den ersten indirekten, welche die Schülerinnen und Schüler überhaupt kennen lernen und sollten daher einen nachhaltigen Eindruck hinterlassen.

4 Reihe 6 S 3 Verlauf Material LEK Glossar Literatur Schematische Verlaufsübersicht Irrationale Zahlen Das beschriebene Thema wird in sechs Unterrichtseinheiten gegliedert, denen jeweils die Materialien M 1 bis M 6 zugeordnet sind: Einheit 1 Wiederholung der Zahlenmengen, 0 und ; Wiederholung der Primfaktorzerlegung für Zahlen aus ; Wiederholung der Zahlenmenge ; Dezimaldarstellung der Zahlen aus ; Erkenntnis, dass als Dezimalbruch entweder ein Bruch mit endlich vielen echten Stellen oder ein periodischer Dezimalbruch entsteht; Aufgaben zur Umformung. M1 Einheit 2 M 2 Demonstration, dass es unperiodische Dezimalbrüche mit unendlich vielen echten Stellen gibt; Definition der Menge der reellen Zahlen als Menge aller denkbaren Dezimalbrüche; Veranschaulichung durch die Zahlengerade; Definition der Grundrechenarten in durch die Methode des Abschneidens ; Menge der irrationalen Zahlen = \. Einheit 3 M 3 Beweis der Irrationalität von ED10. Der Beweis erfolgt fast intuitiv und erfordert nicht einmal eine Primfaktorzerlegung. Einheit 4 M 4 Beweis der Irrationalität von EFp, p = Primzahl. Einheit 5 M 5 Diskussion maßgleicher und maßfremder Streckenpaare als geometrische Anwendung der algebraischen Überlegungen. Einheit 6 M 6 k Beweis der Irrationalität von p, p = Primzahl. Minimalplan Bei Zeitmangel oder für einen betont praktisch orientierten Unterricht dürfte es ausreichen, den Stoff nur im Rahmen der Materialien M 1 bis M 3 zu behandeln.

5 Reihe 6 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Literatur Materialübersicht M 1 (Ab) Wiederholung M 2 (Ab) Irrationale und reelle Zahlen M 3 (Ab) Ist ED10 eine rationale oder eine irrationale Zahl? M 4 (Ab) Die Irrationalität von EFp (p = Primzahl) M 5 (Ab) Maßgleiche und maßfremde Strecken M 6 (Ab) Die Irrationalität von k p (p = Primzahl)

6 Reihe 6 Verlauf Material S 4 LEK Glossar Literatur M 3 Ist 10 eine rationale oder eine irrationale Zahl? Vorüberlegung Die Zahlen 65, 130, 4500, , enden mit 0, 1, 2, 3, 4 Nullen. Quadriere diese Zahlen. Mit wie vielen Nullen enden die Quadratzahlen? Ergebnis: Die Quadratzahl einer natürlichen Zahl endet stets mit einer Anzahl von Nullen (eventuell mit 0 Nullen). Untersuchung von ED10 Wir gehen nach einer Methode vor, die man indirekter Beweis oder Beweis durch Widerspruch nennt. Dazu nehmen wir an, ED10 wäre eine rationale Zahl. Dann kann ED10 als gewöhnlicher Bruch geschrieben werden: a ED10 = b, wobei a und b natürliche Zahlen sind. Multiplikation beider Seiten mit b und Quadrieren ergibt 10b 2 = a 2. Mit wie vielen Nullen enden die Quadratzahlen a 2 und b 2? Die Zahl 10b 2 der linken Seite endet folglich mit einer Anzahl von Nullen. Damit hat sich ein Widerspruch ergeben, denn ein und dieselbe Zahl kann nicht gleichzeitig mit einer geraden und einer ungeraden Anzahl von Nullen enden. Die Annahme, ED10 sei eine rationale Zahl, war also falsch. Folglich ist ED10 eine irrationale Zahl und stellt als solche einen unperiodischen Dezimalbruch mit unendlich vielen echten Stellen dar. Aufgaben a) Weshalb funktioniert der eben angegebene Beweis nicht für EFD 100 = 10 oder für EDD 1000 = 100? b) Beweise, dass auch EDD 1000 und EDD 1000D00 irrationale Zahlen sind. c) Wenn a und b irrationale Zahlen sind, ist dann auch ihr Produkt a b oder ihr b Quotient, immer eine irrationale Zahl? a [Hinweis: Nimm a =EDD 1000 und b = ED10.]

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